6.2平面向量的运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.2 平面向量的运算
一、单选题
1．设均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．7
2．已知，设，则（ ）．
A． B． C． D．
3．已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．式子化简结果是（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
8．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
9．已知向量满足，则与夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．己知，，与的夹角为，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
12．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为实数0 C．与方向相同 D．
13．若单位向量满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
14．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
15．已知边长为1的正方形，设，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
16．已知向量，的夹角为60°，，则______.
17．如图，等腰三角形，，．，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，，分别是，的中点，则的最小值为_____.
18．已知平面上不共线的四点、、、，若，则______．
三、解答题
19．如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段的一个靠近点B的三等分点,设.
(1)用向量与表示向量;
(2)若,求证:C,D,E三点共线.
20．在△ABC中，已知，，，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设.
(1)若，求的值；
(2)求的最小值.
21．已知向量与向量的夹角为，且，.
（1）求；
（2）若，求.
22．已知平面内两个不共线的向量，.
（1）求；
（2）求与的夹角.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
由已知，利用向量数量积的运算律求得，又即可求.
【详解】
由题设，，又均为单位向量，
∴，
∴，则.
故选：A
2．D
根据向量的数乘定义求解．
【详解】
由得是线段上的点，且，如图，
因此，，．
故选：D．
3．D
根据向量投影的计算公式，结合夹角范围即得结果.
【详解】
设与的夹角为，故向量在向量上的投影为，因为，
所以，又因为，得.
故选：D.
本题考查了利用数量积几何意义求向量夹角，属于基础题.
4．A
利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，
所以，
所以，整理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得.
所以的最大值为
故选：A
关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.
5．D
利用求出，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可.
【详解】
，即，
．．
故选：D．
6．B
根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】
由
.
故选：B.
7．A
利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】
由，则，，
又向量与的夹角为，
所以.
故选：A
本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
8．A
利用数量积的定义，即可求解.
【详解】
解：,所以,即，
解得,又因为向量夹角的范围为，则与的夹角为30°，
故选：A.
9．B
先求得，再利用向量夹角公式，结合向量数量积的运算计算即可得到答案.
【详解】
，
∴=1，
所以，
故向量与的夹角为.
故选：B.
本题考查了向量的夹角，向量的模，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10．C
根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断．
【详解】
因为，，与的夹角为，
所以，，，
所以满足，
因为，
所以，
所以，
故选：C
11．A
利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，
,
，
所以，所以三角形是等腰三角形.
故选：A
12．D
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
13．C
先由已知条件求出，再由即可求出答案.
【详解】
解：因为为单位向量，
所以，所以,
所以，
故选：C.
14．C
利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.
【详解】
故选：C.
15．B
根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案.
【详解】
因为是边长为1的正方形，，
所以
又，所以
故选：B
16．2
先利用数量积的运算律展开，再计算即得解.
【详解】
由题得.
故答案为：2
本题主要考查平面向量的数量积运算律和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．
根据条件便可得到，然后两边平方即可得出，而由条件，代入上式即可得出，从而配方即可求出的最小值，进而得出的最小值．
【详解】
解：
；
，，代入上式得：
；
；
时，取最小值；
的最小值为．
故答案为：．
本题考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式，配方求二次函数最值的方法．
18．2
利用平面向量的线性运算化简已知条件，得到，由此求得.
【详解】
因为，所以有，
于是有，因此．
故答案为：
本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.
19．(1),;(2)证明见解析.
（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出，，即可用、表示；
（2）由，只需找到与的关系，即可得证.
【详解】
解：(1)∵,,
∴,
.
(2)证明:
,
∴与平行,
又∵与有共同点C,
∴，，三点共线.
本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义以及向量共线的应用问题，属于基础题．
20．(1)
(2)
（1）首先根据向量的线性运算得到和，从而得到，，即可得到.
（2）首先根据题意得到，根据，，得到，从而得到，再求解最小值即可.
(1)
因为C，O，E三点共线，所以有，
即，得，
同理可设，
所以得，，解得.
所以，即.
(2)
解：
，
由（1）可知，，所以，
所以，
令，则，
等号当且仅当，即时，的最小值为.
21．（1）；（2）或.
（1）本小题先求出，再求即可；
（2）本小题先求出，再求解.
【详解】
解：（1）∵，
∴，∴，
∴.
（2）∵，
∴，
整理得：，
解得：或.
本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.
22．（1）2；（2）.
（1）根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值；
（2）可求出的值，进而可求出的值，从而可求出与的夹角．
【详解】
解：（1），
，
；
（2），
，且，
与的夹角为．
对向量数量积定义进行变行是求解向量长度，向量夹角的常用方法，同时要注意夹角的范围．
答案第1页，共2页
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