6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2=ac，则B的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，若，，，则∠B=（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学，特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的周长为（ ）
A． B．
C． D．
9．在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定
10．已知中，，那么满足条件的（ ）
A．有两个解 B．有一个解 C．无解 D．不确定
11．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
12．P是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
二、填空题
13．海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为___________．
14．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：.则△ABM与△ABC的面积之比为________.
15．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且的面积为，则的内切圆的半径为______．
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的周长的最大值是______.
三、解答题
17．如图，从山顶到山脚有两条线路供游人选择，一条从沿直线路径步行到达，另一条从乘缆车到达后，然后沿直线路径步行到，已知米，经测量得（且为锐角）．
（1）求路径的长；
（2）甲从以m/min的速度沿步行1min后，乙乘缆车以130m/min的速度驶向，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小．
18．在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长．
19．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．
②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．
20．在中，角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
21．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
利用余弦定理可构造方程直接求得结果.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
即，解得：或（舍），.
故选：B.
2．C
利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角
【详解】
解：当航线垂直于河岸时，航程最短，
如图，在中，，所以，
所以，所以，
故选：C
3．A
利用余弦定理解答即可.
【详解】
由b2=ac，
得，
因为0所以B∈.
故选：A.
4．B
在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.
【详解】
Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，
由AC-BC=AB得，约为米.
故选：B
5．C
根据锐角三角形以及可得，可得，根据正弦定理得，进一步可得b的取值范围.
【详解】
在锐角三角形中， ，即，且，则，
即，综上，则，
因为，，
所以由正弦定理得，得，
因为，
所以，
所以，
所以b的取值范围为.
故选：C.
本题了锐角三角形的概念，考查了正弦定理，考查了余弦函数的单调性，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.
6．C
利用正弦定理计算可得；
【详解】
解：在中，，，，由正弦定理可得，即，解得，因为，所以或，又，所以，所以；
故选：C
7．D
利用余弦定理可求得、的值，可求得的值，由此可求得的值.
【详解】
在中，，，，
由余弦定理可得，解得，则，所以，，
因此，.
故选：D.
8．A
根据题意，利用余弦定理，可求得长，即可求得AB为直径的圆的周长，利用正弦定理，可求得 的外接圆半径R，根据圆的几何性质，可求得劣弧AB对应的圆心角，代入公式即可求得弧长，即可得答案.
【详解】
因为，，
所以，所以，
故以AB为直径的圆的周长为，所以月牙的长弧对应圆周长的一半为，
设的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，
由正弦定理得，所以，
所以四边形OABC为菱形，且，
所以劣弧AB的长为，
所以该月牙形的周长为.
故选：A
9．C
根据给定条件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答.
【详解】
在中，原等式化为：，由正弦定理得，，
即，由余弦定理得：，整理得，
则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
10．A
通过比较与的大小关系，简单判断可得结果.
【详解】
由题可知：∵，
∴．
∴A有两个解即满足条件的有两个解．
故选：A．
11．A
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以，根据向量的线性运算法则，化简可得，根据三角形的性质，分析即可得答案.
【详解】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得，
因为，
所以，即，
即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：A
12．B
根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】
由，可得，即，
等式两边平方，化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．
13．
由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．
【详解】
∵，，
∴周长为，即，
∴，，，，
∴的面积．
故答案为：．
14．1∶4
由已知得出M，B，C三点共线，令，利用平面向量的加法法则可得值，进而可得△ABM与△ABC面积之比．
【详解】
如图，由可知M，B，C三点共线，
令，则
所以，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.
故答案为：1∶4
15．
根据已知条件可以求出三角形的周长，然后利用公式可以直接求出内切圆的半径.
【详解】
因为的面积为，
所以，解得．
又，由余弦定理可得，
所以，
所以的周长为，
设的内切圆的半径为，
则，
解得．
故答案为：.
16．9
利用正弦定理将角化边，即可得到，再利用基本不等式求出的最大值，即可求出的最大值，从而得解.
【详解】
由，
根据正弦定理，得，即．
因为，所以，即．
因为a>0，c>0，所以，
所以．
即，当且仅当时，，
所以，
即的周长的最大值为9．
故答案为：9.
17．（1）1260；（2）分钟.
（1）求出，再由正弦定理得出路径的长；
（2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，由余弦定理求出，再由的范围得出所求时间.
【详解】
（1）在中，由得，由，A为锐角得，
∴．
∵，
∴．
（2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，则
．
∵
∴当时，甲，乙两人距离最短，此时甲已出发分钟．
18．（1）；（2）．
（1）由正弦定理进行角化边的运算，可得到，应用余弦定理可得到角；（2）因为为的平分线，则，用两角和的正弦公式可计算，再由正弦定理可得的长.
【详解】
解：
（1）由正弦定理及得，，
由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）由（1）得角，
又因为为的平分线，点在上，所以，
又因为，且，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
即，解得．
思路点睛：解三角形的问题，常用正弦定理将边化角或角化边，再用正余弦定理解三角形即可.
19．(1)；
(2)①；②.
（1）利用正余弦定理即求；
（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.
(1)
∵且,
∴，即，
∴，又，
∴；
(2)
选①∵AD平分∠BAC，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
由基本不等式可得：
，
∴，当且仅当时取“=”，
∴，
即的面积的最小值为；
②因为AD是BC边上的中线，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
∵，
∴，
在中，，由余弦定理得，
∴
∴，
解得，当且仅当时取“=”，
所以，
即的面积的最大值为.
20．（1）；（2）．
（1）由正弦定理化角为边，然后结合余弦定理可得；
（2）已知等式中应用基本不等式得最大值，再由面积公式可得．
【详解】
解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即．
再由余弦定理可得，即．
因为，所以．因为，所以．
（2）因为，所以，当且仅当时取等，
故，则的最大值为．
关键点点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式．在三角形问题中出现边角混合关系时，可用正弦定理进行边角转化，化边为角后由三角函数恒等变换公式化简变形求值，化角为边后可结合余弦定理或直接利用代数运算求解．
21．条件选择见解析；（1）；（2）.
（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值；
（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围.
【详解】
解：（1）选①，
由正弦定理得：，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
选②，
∴，
∴，
∵，∴，则，
∴；
选③，
得，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴.
（2）已知为锐角三角形，且，
由正弦定理得：，
∴，，
∴，
∵为锐角三角形，
∴，
∴，∴.
关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页