7.1复数的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.1 复数的概念 同步练习
一、单选题
1．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．欧拉公式(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若复数，则z的虚部是（ ）
A． B． C．2 D．
4．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．复数(其中为虚数单位)，则（ ）
A．5 B． C．2 D．
6．已知复数（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点为
A． B． C． D．
7．已知复数﹑满足，复数满足或者，且对任意成立，则正整数n的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．复数(其中为虚数单位)，则（ ）
A．5 B． C．2 D．
9．已知为虚数单位，实数，满足，则（ ）
A．10 B． C．3 D．1
10．设i虚数单位，复数，则（　　）
A． B．5 C．1 D．2
11．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
12．已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
13．已知复数满足，则为虚数单位的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，复平面内的平行四边形的顶点和对应的复数分别为和，则点对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
15．欧拉公式(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
16．已知，则的取值范围是_____________；
17．如果则实数m的值为________．
18．复数的实部为_______.
三、解答题
19．已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数.
20．已知关于x的方程有实数根b．
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数满足，求的最小值．
21．复数（）.
（1）若为纯虚数求实数的值，及在复平面内对应的点的坐标；
（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.
22．当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）复数实数；
（2）复数纯虚数；
（3）复平面内，复数对应的点位于直线上.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
本题可根据得出点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，即可得出结果.
【详解】
因为，所以复数在复平面内所对应的点到点的距离为，
则点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，
故的取值范围为，的最大值为，
故选：C.
2．B
根据欧拉公式，化简复数得的，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
所以复数表示的复数在复平面内对应的点为位于第二象限．
故选：B.
3．A
利用，化简复数z，再求复数z的虚部.
【详解】
因为，所以，，
所以复数z的虚部是.
故选：A.
4．A
直接利用复数模的几何意义求出的轨迹．然后利用数形结合求解即可．
【详解】
解：
点到点与到点的距离之和为2．
点的轨迹为线段．
而表示为点到点的距离．
数形结合，得最小距离为1
所以|z＋i＋1|min＝1.
故选：A
5．B
根据复数加法运算求得复数，然后利用模长公式求得模长.
【详解】
.
故选：B.
6．B
求出复数的共轭复数，即可得出复数对应的点的坐标.
【详解】
由题意，可知，则在复平面内所对应的点为.
故选：B.
本题考查共轭复数对应的点的坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.
7．C
用向量表示，根据题意，可得，因为或者，根据其几何意义可得的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n，数形结合，即可得答案.
【详解】
用向量表示，
因为，所以，
又满足或者，
则可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B为圆心，半径为r的圆上的向量，则终点可能的个数即为n，
因为，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为，
如图所示，则最多有10个可能的终点，即n=10.
故选：C
解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
8．B
根据复数加法运算求得复数，然后利用模长公式求得模长.
【详解】
.
故选：B.
9．B
利用复数相等的条件列式求得，值，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：由，得，
，．
则．
故选：．
本题考查复数的运算，两复数相等的充要条件的应用，两复数相等则实部与实部相等、虚部与虚部相等；
10．A
利用模的定义求解即可
【详解】
故选：A
11．D
利用复数的除法运算，化简，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.
【详解】
，
的共扼复数为，的虚部为，
，在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：D.
本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
12．C
首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】
，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
13．D
设，根据复数模的计算公式和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值.
【详解】
由可设：，，
（其中），
当时，.
故选：D.
14．D
由复数对应的坐标，结合向量的线性关系求，即可写出对应的复数.
【详解】
如图，由，而，
∴，故对应的复数为.
故选：D.
15．B
根据欧拉公式，化简复数得的，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
所以复数表示的复数在复平面内对应的点为位于第二象限．
故选：B.
16．
利用复数的几何意义求解，表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点，表示复平面内到点的距离，结合两点间距离公式可求范围.
【详解】
因为在复平面内，表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点，即复数对应的点都在以为圆心，半径为1的圆上；
表示复平面内的点到点的距离，最小值为，
最大值为，所以的取值范围是.
故答案为：.
结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，表示以为圆心，以r为半径的圆上的点.
17．2
根据复数的性质，列出方程，即可得答案.
【详解】
由题意得，
解得．
故答案为：2
18．
利用复数的乘除法计算可得答案.
【详解】
因为,
所以复数的实部为.
故答案为:.
本题考查了复数的乘除法运算以及复数的概念,属于基础题.
19．
分别写出所给三个复数在复平面内对应的点坐标,设第四个点的坐标为.根据正方形对边平行且相等可知,即可求得点的坐标.
【详解】
设复数在复平面上分别对应点
设正方形的第四个顶点对应的坐标是,则其对应的复数为,则,
又
故这个正方形的第四个顶点对应的复数是
本题考查了复数与复平面内对应的点坐标表示方法,由几何关系求复数,属于基础题.
20．（1）；（2）．
（1）复数方程有实根，方程化简为、，利用复数相等，即解方程组即可．
（2）先把、代入方程，同时设复数，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，
再数形结合，求出，得到．
【详解】
解：（1）是方程的实根，
，
解得．
（2）设，由，
得，
即，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，
当点在的连线上时，有最大值或最小值，
，
半径，
当时．
有最小值且．
本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．属于中档题．
21．（1），；（2）.
（1）先化简出的代数形式，再根据题意求实数的值和在复平面内对应的点的坐标；
（2）先化简出的代数形式，再根据题意建立不等式求实数的取值范围即可.
【详解】
解：因为，所以
（1）若为纯虚数，则，解得：，
此时，在复平面内对应的点的坐标为：，
所以为纯虚数时实数，在复平面内对应的点的坐标为：
（2）若在复平面内对应的点位于三象限，
则，解得
所以在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围：.
本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.
22．（1）或；（2）；（3）或.
（1）由虚部为0，求解值；
（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值；
（3）由实部与虚部的和为0，列式求解值．
【详解】
解：由题可知，复数，
（1）当为实数时，则虚部为0，
由，解得：或；
（2）当纯虚数时，实部为0且虚部不为0，
由，解得：；
（3）当对应的点位于直线上时，则，
即：实部与虚部的和为0，
由，解得：或．
本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页