7.2复数的四则运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.2 复数的四则运算
一、单选题
1．设复数在复平面内对应的点为，则( )
A． B． C． D．
2．已知复数，，则为（ ）
A． B． C． D．
3．复数，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
4．若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
7．若复数对应的点是，则（ ）
A． B． C．-1 D．1
8．已知是虚数单位，复数的共轭复数为，下列说法正确的是（ ）
A．如果，则，互为共轭复数
B．如果复数，满足，则
C．如果，则
D．
9．“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
11．已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
12．已知复数，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
13．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（ ）
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
14．复数的虚部为（ ）
A． B．1 C．2 D．
15．若，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．设，若，则__________．
17．已知，则 的最小值是_________．
18．设，则___________________ ．
三、解答题
19．已知，i为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若，求实数a，b的值.
20．已知复数，其中是实数，
（1）若在复平面内表示复数的点位于第一象限，求的范围；
（2）若是纯虚数，是正实数，
①求，
②求；
21．ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z，
（1）求复数z；
（2）z是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，求实数p，q的值.
22．已知复数，.
（1）若，求a的值；
（2）若z是纯虚数，求a的值；
（3）若，求实数b的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
先求出复数，然后化简即可
【详解】
由题意可得，
所以，
故选：D
2．C
根据复数的运算法则，化简得到，再结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，复数，
可得，
则.
故选：C.
3．D
先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以其共轭复数为.
故选：D.
4．B
设,由是实数和，互为共轭复数得到的限制条件，再结合充分条件、必要条件的定义，即可判断
【详解】
由题意，不妨设
若是实数，则
故，即，由于不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立.
因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B
5．C
设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】
设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
6．A
设，根据，求得，即可求得复数的虚部，得到答案.
【详解】
设，
因为，可得，
则，可得，所以复数的虚部是.
故选：A
关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.
7．B
由题得，代入化简即得解.
【详解】
由题得.
故选：B
8．D
对于A，举反例，可判断；对于B，设，代入验证可判断；对于C，举反例可判断；对于D，设，，代入可验证.
【详解】
对于A，设，，，但，不互为共轭复数，故错误；
对于B，设（，），（，）．
由，得，
则，而不一定等于，故错误；
对于C，当时，有，故错误；
对于D，设，，则，正确
故选：
9．B
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
时，方程为，只有实根，无虚根，不充分，
一元二次方程有虚根，则，，是必要的，
因此是必要不充分条件．
故选：B．
10．D
根据复数的乘方运算和复数的除法运算求得，再由共轭复数的概念可得选项.
【详解】
解：因为 ，所以，
故，
故选：D
结论点睛：求解复数的运算问题时要牢记复数的相关运算技巧和结论：，，，，，，．
11．B
先求出共轭复数，从而可求出其虚部
【详解】
由，得，
所以的虚部是，
故选：B
12．C
将变形，得，利用复数除法计算法则求解即可.
【详解】
因为，，所以.
故选：C.
13．B
根据复数的加法法则即可求出.
【详解】
z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
故选：B.
14．A
根据复数的乘法与除法运算法则，直接计算，再由复数的概念，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以其虚部为.
故选：A.
本题主要考查复数的运算，考查求复数的虚部，属于基础题型.
15．C
根据复数的除法求出后求模，也可直接根据模的性质求解.
【详解】
法1：由，
所以.
法二：.
故选：C
16．-2
求出，算出，再利用复数的乘法和乘方的运算律计算即可.
【详解】
，故
又
故
故
故答案为：-2
本题考查复数的次幂运算，熟练复数乘法和乘方的运算律是求解的关键.需要掌握一定的整体代换技巧和转化与化归数学思想.
17．1
由，得z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．
，表示Z到点所对应的点的距离，求出后减去半径可得最小值．
【详解】
解：因为，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．
，表示Z到点所对应的点的距离，
，
所以．
故答案为1．
方法点睛：本题考查复数模的几何意义，表示复平面上对应的点到原点的距离，表示在复平面上对应的点与对应的点间的距离．因此有表示对应的点为圆心，为半径的圆．
18．
根据复数的除法运算法则化简复数，再代入模长公式计算.
【详解】
，所以
故答案为：
19．（1）；（2）
（1）求出的共轭复数，代入化简，再求；
（2）根据，得到，列方程组即可求解.
【详解】
（1）已知，，
，
.
（2），
，
，解得.
此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解.
20．（1）；（2）①2；②-1.
（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均大于0求解；
（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，求得值，再求出，最后根据复数的乘方规律计算可得．
【详解】
解：（1）由题可得：，
因为复数在第一象限，
所以，解得．
（2）依题意得：
因为是纯虚数，则：，解得或；解得且；
综上可得或；
又因为是正实数，则．
当时，，
因为，，，，，，，，，
所
．
21．（1）；（2）.
（1）根据A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D的坐标（x，y），利用求解；
（2）根据3+5i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，然后利用根与系数的关系求解.
【详解】
（1）复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），
设D的坐标（x，y），由于，
∴（x﹣1，y﹣3）＝（2，﹣1），
∴x﹣1＝2，y﹣3＝﹣1，
解得x＝3，y＝2
，故D（3，2），
则点D对应的复数z＝3+2i；
（2）∵3+2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，
∴3﹣2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的另一个根，
则3+2i+3﹣2i＝，（3+2i）（3﹣2i）＝，
即p＝12，q＝26.
22．（1）；（2）；（3）.
先化简为再根据条件列出等式或不等式，求解即可
【详解】
由题意知.
（1）因为，所以，所以.
（2）因为z是纯虚数，所以，所以.
（3）因为，所以，所以.
答案第1页，共2页
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