8.2立体图形的直观图 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.2 立体图形的直观图
一、单选题
1．若一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，则该平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A．6 B．3
C．3 D．3
5．如图所示为一个平面图形采用斜二测画法得到的直观图其直观图是一个边长为1的菱形，则该平面图形的面积为（ ）．
A．2 B．1 C． D．
6．如图，一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形，则原三角形的面积是（ ）
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
7．如图，是水平放置的的直观图，则中边上的高等于（ ）
A．4 B． C．2 D．
8．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称为攒尖．依其平面有圆形攒尖，三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也四有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示．某园林建筑屋顶为六角攒尖，它的主轮廓可近似看作一个正六棱锥（底面为正六边形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心）．若正六棱锥的侧棱与高线所成的角为，则其外接球半径与侧棱长的比值为（ ）
A． B． C． D．
9．水平放置的有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．一个菱形的边长为，一个内角为，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（ ）.
A． B． C． D．
11．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
12．根据斜二测画法的规则画直观图时，把轴画成对应的轴，则与的度数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．或，
二、填空题
13．如图，是一个平面图形的水平放置的斜二测直观图，则这个平面图形的面积等于______．
14．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．
其中正确结论的个数为________．
15．如图所示为水平放置的正方形，在平面直角坐标系中点的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图，则四边形的面积为___________.
16．水平放置的矩形，，，则其直观图的面积为___________.
三、解答题
17．如图所示是由正方形ABCD和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图.
18．画底面半径为1cm，母线长为3cm的圆柱的直观图。
19．如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．
（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
20．如图所示,中,,边AC上的高,求其水平放置的直观图的面积.
21．用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据斜二测画法确定直观图与平面图形的面积关系，即可求出平面图形的面积
【详解】
由题意，结合斜二测画法可知，直观图面积是平面图形面积的，
因为直观图是边长为2的正三角形，
所以平面图形的面积为，
故选：B
2．B
根据直观图画出原图，可得原图形为直角梯形，计算该直角梯形的面积即可.
【详解】
过点作，垂足为
则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形
，
根据直观图画出原图如下：
可得原图形为直角梯形，，
且，
可得原四边形的面积为
故选：B.
3．D
在直观图中∥轴，可知原图形中∥轴，故,,求直观图中的长即可求解.
【详解】
∵直观图是等腰直角三角形，，∴，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半,
∴△的边上的高.故选D.
本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题.
4．A
利用斜二测画法还原△ABC，计算边AB上的高.
【详解】
过点C′作C′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，则∠C′D′B′＝45°.
∵在Rt△B′C′D′中，B′C′＝3，∴C′D′＝3 .所以△ABC的边AB上的高CD＝2C′D′＝6 .
故选：A.
斜二测直观图是高中立体几何的一种常见用图.以原来的图形参数为蓝本，将图形的底边保持不变，高变为原来的1/2，90°角自动更改为45°角，这样得到的就是斜二测直观图.
5．A
逆向应用斜二测画法规则画出原图形，根据斜二测画法规则可以逆向得到原图形的形状为长方形，并求得长和观，计算得到面积.
【详解】
如图，直观图中的菱形对应长方形，画出原图形，底边高面积为2.
故选：A
6．C
利用斜二测画法中边长的比例关系求出面积的比.
【详解】
∵S△A′B′C′＝a2sin 60°＝a2，
∴S△ABC＝S△A′B′C′＝a2.
故选：C.
斜二测直观图的面积与原图形的面积比为，
原图形的面积与直观图的面积比为.
7．A
根据直观图的作图方法即可求得答案.
【详解】
由题意可知，，且，即OA边上的高为4.
故选：A.
8．A
设底面中心为H，连接，由正棱锥性质知，底面，则，求得，设正六棱锥外接球半径为R，可求得，在直角中，利用勾股定理求得，即可求得的比值.
【详解】
如图，设底面中心为H，底面边长为a，连接，，
底面为正六边形，
由正棱锥性质知，底面
又侧棱与高所成的角为，，则，即
设正六棱锥外接球球心为O，半径为R，连接,则，
，
在直角中，，即
故选：A
方法点睛：本题考查正六棱锥的外接球，空间几何体与球接、切问题的求解方法：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.
9．C
根据直观图和原图面积比的关系，即得解
【详解】
由题意，.
且
故
故选：C
10．C
根据斜二测画法的规则，求出对角线的长度，根据图形，求直观图的面积.
【详解】
由条件可知，较长的对角线的长度是，
较短的对角线的长度是，
根据斜二测画法的规则可知，，，菱形直观图的面积
故选：C
11．B
根据斜二测画法的方法：平行于轴的线段长度减半，水平长度不变即可判断..
【详解】
由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；
当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，
当线段与x轴平行时，线段长度减半，
直角坐标系变成斜坐标系，而平行关系没有改变.
故选：B.
12．D
根据斜二测画法的规则，即可得出正确选项.
【详解】
根据斜二测画法的规则，的度数应为或，
指的是画立体图形时的轴与轴的夹角，所以度数为．
故选：D．
13．
根据直观图还原平面图形，然后计算出平面图形的面积.
【详解】
根据直观图还原如下图所示：
，
所以，
故答案为：.
14．4
根据题意举出特例即可判断.
【详解】
（1）如图所示：四边形ABCD为矩形，故（1）满足条件；
（2）四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故（2）满足条件；
（3）四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故（3）满足条件；
（4）四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故（4）满足条件；
故正确的结论有4个．
故答案为：4．
15．
用斜二测画法画出直观图后可求其面积.
【详解】
用斜二测画法画出正方形的直观图如图所示：
其中，，，
故四边形的面积为，
故答案为：.
16．
作出矩形的斜二测直观图，结合平行四边形的面积公式可求得结果.
【详解】
利用斜二测画法作出直观图，如图所示，产生平行四边形，
其中，，，
过点作于，则，
则.
故答案为：.
17．作图见解析
根据斜二测画法画出平面图形的直观图.
【详解】
（1）以AB所在直线为轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图①所示），再建立坐标系，使两坐标轴的夹角为（如图②所示）.
（2）以为中点，在轴上截取；分别过，作轴的平行线，截取，.在轴上截取.
（3）连接，，，得到平面图形.
（4）去掉辅助线，就得到所求的直观图（如图③所示）
本小题主要考查斜二测画法，属于基础题.
18．见解析.
以底面圆圆心为原点，两条垂直的直径所在直线为轴，上下底中心连线为轴建立空间直角坐标系，斜二测画法中，，轴表示水平面，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．
【详解】
圆柱直观图如图：

本题考查空间几何体的斜二测画法，属于基础题．
19．（1）平面图见解析，面积为；（2）体积为，表面积为.
（1）根据斜二测画法所画的直观图与平面图的关系作出平面图形，然后根据面积公式求解出面积即可；
（2）画出几何体的直观图，然后根据圆柱、圆锥的体积和表面积公式求解出旋转形成的几何体的体积及表面积.
【详解】
（1）平面四边形的平面图如下图所示：
由直观图可知菱形的高为：，
所以面积为；
（2）旋转而成的几何体如下图所示：
该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，
由（1）可知圆柱的底面圆半径为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
20．
画出直观图或直接根据直观图与原图像面积的关系求解即可.
【详解】
解法一:画轴与轴,两轴交于,使,作的直观图如图所示,则,,故的高为,所以.即水平放置的直观图的面积为.
解法二:的面积为,由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得水平放置的直观图的面积是.
本题主要考查了直观图的画法与直观图和原图像面积的关系.属于基础题型.
21．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
在原平面直角坐标系中分别找出两个图形顶点的坐标，画，轴，使，按照在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度不变，在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度为原来的一半，找出对应顶点的坐标，连接顶点，即可得到（1）（2）两个平面图形的直观图．
【详解】
解：（1）
画，轴，使，在轴上截取，在轴上截取．
过作轴的平行线，且取线段长度为2，连接，，，，
则四边形的直观图即为四边形；
（2）
画，轴，使，在轴上截取，
在轴过、分别作的平行线，与在轴上过作轴的平行线分别交于，，连接，，，．
则四边形的直观图即为四边形．
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