8.3简单几何体的表面积与体积 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．如图所示，正四棱台的下底面与半球的底面重合，上底面四个顶点均在半球的球面上，若正四棱台的高与上底面边长均为1，则半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）
A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．8：3
3．棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在边长为的正方形中，线段BC的端点分别在边、上滑动，且，现将，分别沿AB，AC折起使点重合，重合后记为点，得到三被锥.现有以下结论：
①平面；
②当分别为、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为；
③的取值范围为；
④三棱锥体积的最大值为.
则正确的结论的个数为
A． B． C． D．
5．已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为，则圆柱的体积为 （ ）
A． B． C． D．
7．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（ ）
A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈
8．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为，则这个漏斗的容积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
11．如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．在四边型中（如图1所示），，，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知圆锥的侧面积为20π，底面圆O的直径为8，当过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面面积最大时，则点O到截面的距离为______________.
14．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．
15．将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_____________.
16．已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________.
17．圆柱上 下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为___________.
三、解答题
18．如图，在五面体ABCDEF中，已知平面ABCD，，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
19．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积.
20．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．
（1）求新多面体的体积；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求新多面体为几面体？并证明．
21．斜三棱柱中，侧面的面积为S，且它与侧棱的距离为h，求此三棱柱的体积.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
根据正四棱台的特点，利用数形结合，列式求半径，再求半球的体积.
【详解】
设半球的球心为O，正四棱台的上底面的一个顶点A在下底面的投影为B，
可知为半球的半径，因为，
所以半球的体积为．
故选：B
2．A
根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．
【详解】
设圆锥的高为，底面半径为，
则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，
由可得：，即，
圆锥的体积．
当且仅当，即时取等号．
该圆锥体积的最小值为．
内切球体积为．
该圆锥体积与其内切球体积比．
故选：A．
方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
3．C
根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长求解.
【详解】
因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，
所以，
解得，
所以球的表面积为：.
故选：C
4．C
根据题意得,折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PAPB、PAPC，由线面垂直的判断定理得①正确；三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP＝2、BP＝CP＝1，得外接球的半径R＝，由此得三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，故②正确；由题意得，，，在中，由边长关系得，故③正确；由等体积转化计算即可，故④错误.
【详解】
由题意得，折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PAPB、PAPC，
在①中，由PAPB，PAPC，且PB PC，所以平面成立，故①正确；
在②中，当分别为、的中点时，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三棱锥P﹣ABC的外接球直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP＝2、BP＝CP＝，
得外接球的半径R＝，所以外接球的表面积为，故②正确；
在③中，正方形的边长为2，所以，，，在中，由边长关系得+，解得，故③正确；
在④中，正方形的边长为2，且，则，
所以在上递减，无最大值，故④错误.
故选：C
本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题．
5．C
根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.
【详解】
解:因为圆柱的底面半径为1，高为2，
所以圆柱的表面积.
故选：C.
本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.
6．C
先由球的体积求得球的半径，再根据圆柱的体积公式可求得答案.
【详解】
解：因为该球的体积为，设球的半径为R，则，解得。
所以圆柱的体积为：，
故选：C.
7．B
先利用上下底面圆的周长分别求得圆的半径，再利用圆台体积公式计算即可.
【详解】
由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），
所以它的体积为
所以(立方丈).
故选：B.
本题考查了圆台的体积公式，属于基础题.
8．C
根据球的体积公式求出半径，根据圆柱的体积公式可求得结果.
【详解】
设球的半径为，则，所以，
所以圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
所以圆柱的体积为.
故选：C
9．A
长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，即可得到答案；
【详解】
长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，
故个漏斗的容积为，
故选：A
10．D
先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】
解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．
解法二:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
11．B
由图形可得正八面体的棱长为，分别求出正八面体的体积及表面积，再由等体积法求正八面体的内切球半径，即可求出球的表面积．
【详解】
根据图形，在正方体中易知正八面体的棱长为,
如图，
在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，
在中，
则该正八面体的体积，
该八面体的表面积
设正八面体的内切球半径为，
，即，解得，
故选：B
12．D
根据题意，可知，由勾股定理求出，由三角形全等进而得出，取的中点，连接，则，由于球心到球上任意一点的距离相等，从而可知点为四面体外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式进行计算，即可求出结果.
【详解】
解：，，，
又，则，，
可知，则，
取的中点，连接，则，
所以点为四面体外接球的球心，
则外接球的半径为：，
所以四面体外接球的表面积.
故选：D.
13．
由题可得圆锥的高，母线长，可得过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面为直角三角形时面积最大，再利用等体积法即求.
【详解】
设圆锥的底面圆的半径为r，高为h,母线长为l,则，
∴，h=3,
由于h如图，△SAB为截面三角形，SO为圆锥的高，设点O到截面的距离为d，则
，
∴，即，
∴，即点O到截面的距离为.
故答案为：.
14．4
根据圆柱侧面积公式直径求解.
【详解】
设圆柱的高为，有，得．
故答案为：4.
15．
根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥求解.
【详解】
如图所示：正三角形绕AB所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，
圆锥的底面半径为,
所以所得几何体的表面积为，
故答案为：
16．4
写出侧面积表达式，求出，即可得圆台的母线长．
【详解】
解：，，
．
故答案为：4
17．80π
作出圆柱的轴截面，求出圆柱的高，即可得表面积．
【详解】
如图是圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，
由得，，又，∴，
∴圆柱表面积为．
故答案为：．
18．（1）证明见解析；（2）．
（1）先证明平面，再利用线面平行的性质，证明；
（2）在平面内作于点，证明是三棱锥的高，即可求三棱锥的体积．
【详解】
（1）因为，平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以．
（2）如图，
在平面内过点B作于点．
因为平面，平面，所以．
又，平面，，
所以平面，
所以是三棱锥的高．
在直角三角形中，，，所以．
因为平面，平面，所以．
又由（1）知，，且，所以，所以，
所以三棱锥的体积．
19．体积为：；表面积为：.
求得球的半径，由此求得球的体积和表面积.
【详解】
设球的半径为，则，
所以球的体积为，
表面积为.
20．（1）；（2）；（3）新多面体是七面体；证明见解析．
（1）分别求得正四面体和正八面体的体积，由新多面体体积为原正四面体体积与正八面体体积之和求解；
（2）在正八面体中，取的中点为M，连结，易得为二面角的平面角，利用余弦定理求解；
（3）由（2）可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为，设此角为．再求得四面体相邻面所构成的二面角的余弦值为判断.
【详解】
（1）如图所示：，在正四面体中，分别取PT，QR的中点，连接QN，RN，NG，
则 ，
所以平面QNR，
所以正四面体的体积为 ，
如图所示，在正八面体中，连接AC交平面EFBH于点O，则平面EFBH，
所以 ，
所以正八面体的体积为，
因为新多面体体积为原正四面体体积与正八面体体积之和，
所以.
（2）如图，在正八面体中，取的中点为M，连结，易得为二面角的平面角．
易得，，
由余弦定理得.
（3）新多面体是七面体，证明如下：
由（2）可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为，设此角为．
在正四面体中，易得为二面角的平面角．
由余弦定理得，
即正四面体相邻面所构成的二面角的余弦值为，
所以，因此新多面体是七面体．
关键点点睛：本题第三问关键是将判断拼接后两个几何体相邻面是否共面，转化为二面角之和是否为而得解.
21．
解法一：以侧面为公共面补上一个三棱柱，使两个三棱柱拼成一个平行六面体，然后以为底面求解；
解法二：连接、，则截面将此三棱柱分割成一个三棱锥和一个四棱锥求解.
【详解】
解法一：如图所示：
以侧面为公共面补上一个三棱柱，使两个三棱柱拼成一个平行六面体，
以为底面，则到平面的距离即为平行六面体的高.
，故.
解法二：如图所示：
连接、，则截面将此三棱柱分割成一个三棱锥和一个四棱锥.
，又平面，
.
故.
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