8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
2．下列说法中正确的是（ ）
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行
C．，，则
D．，，，则
3．如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦， 则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方体的棱，，，所在的直线中，与直线成异面直线的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．已知直线、、与平面、，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
其中假命题是
A．① B．② C．③ D．③④
7．过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
8．在直三棱柱中，，，，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为（ ）
A． B． C． D．
9．许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体．正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱．如图所示，由正二十面体的一个顶点和与相邻的五个顶点可构成正五棱锥，则与面所成角的余弦值约为（ ）（参考数据）
A． B． C． D．
10．已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
11．在直三棱柱中，点M是侧棱中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.
14．已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有____________条．
15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________（填序号）.
16．下列命题中正确的个数为_____________个
①若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；
②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；
④若，，则；
17．已知四面体的所有棱长均为，、分别为棱、的中点，为棱上异于、的动点．则下列结论中正确的结论的序号为__________．
①线段的长度为；
②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；
③的余弦值的取值范围是；
④周长的最小值为．
三、解答题
18．如图，正方体中，为侧面的中心，求：
（1）与所成的角；
（2）与所成的角．
19．如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．
20．如图，已知直三棱柱，，，，，E，F是和上的两点，且，.
(1)证明：B，C，E，F四点共面；
(2)求点A到平面BCE的距离.
21．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】
如图所示， 作于，连接，过作于．
连，平面平面．
平面，平面，平面，
与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，
．，故选B．
本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形．
2．D
根据线面关系，逐一判断每个选项即可.
【详解】
解：对于A选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故错误；
对于B选项，如图，，，，分别为正方体中所在棱的中点，平面设为平面，易知正方体的三个顶点，，到平面的距离相等，但所在平面与相交，故错误；
对于选项C，可能在平面内，故错误；
对于选项D，正确.
故选：D.
3．C
分别做直线与的平行线构成三角形，得到异面直线与所成角，求其余弦值即可解决.
【详解】
圆锥底面周长为，又其侧面展开图为半圆，则圆锥母线长
直角三角形中，，,，则
分别取、、的中点M、N、P，连接、、、、
又由O为中点，则，，
则为异面直线与所成角或其补角.
由，可知平面，则
在△中，,，，则
在△中，，，
则
则异面直线与所成角的余弦值为
故选：C
4．C
连接，由，得到为异面直线与所成的角，结合余弦定理，即可求解.
【详解】
连接，由，所以为异面直线与所成的角，
因为三棱锥的底面是边长为的等边三角形，且侧棱长为，
在底面ABC上的射影D为BC的中点，
可得,
由余弦定理，可得，
因为，所以，
所以异面直线AB与所成的角的为.
故选：C.
5．C
由异面直线的概念，逐项判断即可得解.
【详解】
由题意，直线、、均与直线相交，
由异面直线的概念可得直线与直线成异面直线.
故选：C.
6．D
根据空间直线和平面平行或垂直的性质分别进行判断即可．
【详解】
①若，，则根据公理4可知成立；
②若，，则成立；
③若，，则可能平行、相交或异面，故③错误；
④若，，则或，故④错误；
故③④是假命题．
故选：D．
本题主要考查命题的真假判断，根据空间直线和平面之间的位置关系是解决本题的关键．
7．D
根据三条直线是否在同一个平面内分两种情况讨论可得答案.
【详解】
过空间任意一点引三条直线，当三条直线在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是；
当三条直线不在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是.
故选：D
8．C
取AB中点E，连接，,可知（或其补角）为异面直线所求角，解三角形即可求解.
【详解】
取AB中点E，连接，，如图，
分别是,中点，
,
（或其补角）即为异面直线与直线所成的角,
直三棱柱中，，
，,,
，
，
故异面直线与直线所成的角大小为，
故选：C
9．A
若为在面上的射影，由正十二面体的性质知与各顶点的连线所成三角形都是等腰三角形且顶角均为，令求出，又面即可求与面所成角的余弦值.
【详解】
由题意，在面上的射影，如下图示，
∴五个三角形都是等腰三角形且，易知，而，令，
∴，又正二十面体的每一个面均为等边三角形即，且面，
∴与面所成角的余弦值为.
故选：A
关键点点睛：射影与各顶点的连线所成三角形都是等腰三角形且顶角均为，结合已知条件即可求与面所成角的余弦值.
10．C
根据平面与平面的位置关系，即可判断A、C是否正确；根面面平行的判定定理，即可判断B是否正确；根据面面垂直和线面垂直的关系和线面的位置关系，即可判断D是否正确.
【详解】
对于A，，则，故A错误；
对于B，若，且，相交，，则，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则或，故D错误．
本题主要考查了线面、面面位置关系以及面面平行判定定理的应用，属于基础题.
11．B
可以取的中点，连接，将异面直线与转化为直线与所成的角，在连接，通过解三角形即可完成求解.
【详解】
如图所示，取的中点，连接，分别为、的中点，所以为的中位线，所以，所以异面直线与就是直线与所成的角，即或其补角，因为，所以，，，在中，，，，所以.
故选：B.
12．D
根据题意还原正方体，结合正方体的结构特征和异面直线的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据题意，还原正方体，如图所示，
连接，可得，又由，所以，所以A正确；
由正方体的结构特征，可知，所以B正确；
因为,为在平面上的射影，所以，所以C正确；
根据正方体的结构特征和异面直线的定义，可得与是异面直线，所以D错误.
故选：D.
13．
确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.
【详解】
如图，在正方体中，记的中点为，连接，
则平面即为平面．证明如下：
由正方体的性质可知，，则，四点共面，
记的中点为，连接，易证．连接，则，
所以平面，则．
同理可证，，，则平面，
所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．
因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，
其对角线，，所以其面积．
故答案为：
本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
14．3
根据条件先将直线平移至过点，然后根据直线所成角的角平分线以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的条数.
【详解】
将直线平移，使两直线经过点，如下图所示：
设直线所成角的角平分线为，过点垂直于直线所在平面的直线为，
因为所成角为，当直线经过点且直线在直线所在平面内且垂直于直线，
此时与直线所成角均为；
当直线在直线所在平面内时，若绕着点旋转，此时与直线所成角相等，
且所成角从变化到，再从变化到，所以此时满足条件的有条，
综上所述：过空间定点与成角的直线共有条，
故答案为：.
结论点睛：已知异面直线所成角为，过空间任意一点作直线，使得与成等角：
（1）当时，此时不存在；
（2）当时，此时有一条；
（3）当，此时有两条；
（4）当时，此时有三条；
（5）当时，此时有四条.
15．③④
本题直接判断直线AM与CC1是异面直线，直线与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，用反证法证明直线AM与BN不平行，即可得到答案.
【详解】
根据平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点的直线成异面直线，
因为平面，平面，平面，
直线不过点，所以直线AM与CC1是异面直线，
同理直线与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，
故①错误，③④正确；
若AM与BN是平行直线，取中点，连，
则，所以四边形是平行四边形，
则有，，这与相交矛盾，
所以不平行，故②错误.
故答案为：③④.
本题考查异面直线，是基础题.
16．3
根据公理2及公理1可证①成立，根据公理3及其推论可证②成立，通过反例可得③不成立，从而可得③错误，由平行公理知④正确.
【详解】
对于①，因为，平面，因此平面，
同理平面，平面，故三点共线.故①正确.
对于②，如图
因为，故可确定一个平面，因为，
，故，所以.
在平面内过作直线，因为，故重合或者，
但，从而重合，也就是这四条直线共面，故②正确.
对于③，以四棱锥为例，
与异面，与异面，但与相交，并不异面，故③错误；
对于④若，，由平行公理可得正确，故④正确.
故答案为：3
17．①④
将正四面体放在正方体中观察.
对于①，可根据、分别为正方体前后两个面的中心可得出结论；
对于②，取为的中点，取为的中点，此时与相交；
对于③，计算可得，由逼近思想可作出判断；
对于④，空间问题平面化的技巧，将三角形与放在同一平面上，可计算出.
【详解】
在棱长为的正方体上取如下图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为四面体，
显然，、分别为正方体前后两个面的中心，故线段的长度为正方体棱长，故 ①对；
对于②，如图，取为的中点，取为的中点，取为的中点，则由正方体的性质易知，、、三点在一条直线上，故此时与相交于，故②错；
对于③，，，
又有，故，
故点无限接近点时，会无限接近，故的余弦值的取值范围不为，③错误；
对于④，如图将等边三角形与铺平，放在同一平面上，
故有，当且仅当为中点时取最小值，
故在正方体中，故周长的最小值为，故④对.
故答案为：①④.
思路点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；
（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.
18．（1）45°；（2）30°．
（1）由题意得（或其补角）为异面直线与所成的角，即可得答案；
（2）连接，，，则（或其补角）为异面直线与所成的角，即可得答案；
【详解】
（1）如图，∵，∴（或其补角）为异面直线与所成的角，
又中，，∴与所成的角为45°．
（2）连接，，，
∵，，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，∴（或其补角）为异面直线与所成的角．
连接、，易得，
∴为等边三角形，
又依题意知为的中点，∴，
即与所成的角是30°．
19．证明见解析
将三点共线转化为证明两面的交线问题，利用两面相交有且只有一条交线，即两面的公共点都在交线上.
【详解】
证明：如图，连接，，
则，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
又，平面，
则平面，
因为平面平面，
所以．即，，三点共线．
关键点点睛：本题的关键点是证明平面，平面平面，，即可证，，三点共线．
20．(1)证明见解析
(2)
（1）由已知得到，即证明四点共面；
（2）先转化顶点求出四面体的体积，再通过余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式求出，再利用体积公式进行求解.
(1)
证明：因为，所以，
又因为，所以，即B，C，E，F四点共面.
(2)
解：因为，
又因为，点到平面的距离为，所以；
在中，，，，则，，
所以，
设A到平面BCE的距离为，则，解得，
即点A到平面BCE的距离为.
21．（1）见解析；（2）见解析.
(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；
(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.
【详解】
（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED 平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE 平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C 平面A1ACC1，AC 平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E 平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页