10.1随机事件与概率 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 10.1 随机事件与概率 同步练习
一、单选题
1．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
2．有两个事件，事件抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件人中至少有人生日相同.下列说法正确的是（ ）
A．事件、都是随机事件 B．事件、都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件
3．“微信红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的金额为10元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色 黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色 紫色两种颜色的毛线编织的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．某地区教研部门为了落实义务教育阶段双减政策，拟出台作业指导方案.在出台方案之前作一个调查，了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例.对随机抽出的2000名学生进行了调查，因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题：问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？问题2：你是否抄袭过作业？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50个白球和50个红球的不透明袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色.要求摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不要做.由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.调查结果为2000人中共有612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近（ ）（提示：假设一年为365天，其中日期为偶数的天数为179天）
A．10.2% B．12.2% C．24.4% D．30.6%
6．在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（ ）
A． B． C． D．
8．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男 子 伯，侯 公，共五级.若给有巨大贡献的3人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，、、表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9、0.8、0.7，如果系统中至少有1个开关正常工作，那么系统就能正常工作，那么该系统正常工作的概率是（ ）
A．0.994 B．0．504 C．0.496 D．0.06
11．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
12．高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为_______.
14．从甲 乙 丙 丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲 乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).
15．小王同学有本不同的数学书，本不同的物理书和本不同的化学书，从中任取本，则这本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）．
16．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是________．
17．从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中先后取出两张，用表示结果，其中x表示第一张卡片上的数字，y表示第二张卡片上的数字，事件“数字之和大于9”的集合表示为____________.
三、解答题
18．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.
（1）写出这个试验的所有结果；
（2）设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；
（3）把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题.
19．某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上每隔分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲： 乙：
(1)画出这两组数据的茎叶图；
(2)求出这两组数据的平均值和方差（用分数表示）；并说明那个车间的产品较稳定；
(3)从甲中任取一个数据，从乙中任取一个数据，求满足条件的概率．
20．桌面上有2张红色纸牌（编号分别为1，2）和2张蓝色纸牌（编号分别为1，2），从中不放回地抽取三次，设事件表示随机事件“第二次抽到的是编号为2的红色纸牌”，事件表示随机事件“抽到2张蓝色纸牌”，事件表示随机事件“前两次抽到的编号之和为4”，试用样本点表示事件，，．
21．某市为遏制新型冠状病毒肺炎的传播，针对不同的风险区，施行了不同的封控政策.为保障封控区人民群众日常生活和核酸检测的顺利进行，现面向全市招募志愿者，从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值；
(2)若从第2，4组中用分层抽样的方法抽取5名志愿者，再从这5名志愿者中抽取2名志愿者负责某中风险小区的日常生活物资的运输工作，求这2名志愿者来自同一年龄分组的概率.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
由随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，知，由此能求出实数的取值范围．
【详解】
随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，
，即，
解得，即．
故选：D．
本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．C
判断事件、的类型，由此可得出结论.
【详解】
对于事件，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件为随机事件；
对于事件B，一年有天或天，由抽屉原理可知，人中至少有人生日相同，事件为必然事件.
故选：C.
本题考查事件类型的判断，属于基础题.
3．B
首先求出个红包供甲、乙等人抢共有种情况，求出甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元共有种情况，再利用古典概型公式计算即可.
【详解】
个红包供甲、乙等人抢共有种情况，
若甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元，只能是1.36元和3.22元，1.59元和3.22元，
2.31元和3.22元，1.52元和3.22元，四种情况，共有种情况.
故甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率为
故选：B
4．B
通过列举法求出所有基本情况数及满足要求的基本情况数，再由古典概型概率公式即可得解.
【详解】
由题意，该同学选择的两种颜色的基本情况有：
（白，黄），（白，紫），（黄，紫），共3种情况；
其中满足要求的基本情况有1种；
故所求概率.
故选：B.
5．B
利用概率估计整体，可得回答第一个问题与第二个问题各1000人，再根据偶数天估计第一个问题回答“是”的人数，进而可估计第二个问题回答“是”的人数，可得解.
【详解】
由题意可知，每个学生摸出1个白球或红球的可能性都是，
即大约有1000人回答了第一个问题，另1000人回答了第二个问题，
在摸出白球的情况下，回答“是”的概率为，
所以在回答第一个问题的1000人中，大约有490人回答了“是”，
所以可以推测在回答第二个问题的1000人中，大约有人回答了“是”，
即估计抄袭过作业的学生所占百分比为，
故选：B.
6．C
根据分步乘法计数原理确定两位老师打分组合出的所有基本事件总数，利用列举法可求得符合题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
用表示两位老师的打分，则的所有可能情况有种.
当时，可取，，共种；
当，，，，，，，时，的取值均有种；
当时，可取，，共种；
综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的情况有种，
由古典概型的概率公式可得所求概率.
故选：C.
7．A
设在网上购买的人数占比为，实体店购买的人数占比为，分别求出各自被投诉的人数的占比，即可求解.
【详解】
设在网上购买的人数占比为，实体店购买的人数占比为，
由题意可得，网上购买的合格率为，
则网上购买被投诉的人数占比为，实体店里购买的被投诉的人数占比为，
所以，解得.
故选：A．
本题主要考查了概率的应用，其中解答中认真审题，求出各自被投诉的人数的占比是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
8．C
由题意知试验发生包含的所有事件共有6种，事件和事件是互斥事件，看出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．
【详解】
解：事件表示“小于5的点数出现”，
的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，
表示事件是出现点数为5和6．
事件表示“小于5的偶数点出现”，
它包含的事件是出现点数为2和4，
，
．
故选：C．
9．D
先由题意，确定3人封爵所包含的总的基本事件个数，再求出满足条件的基本事件个数，基本事件个数比，即可为所求概率.
【详解】
由题意，每个人被封爵都有5种情况，因此对3人封爵，共有种，
3人中恰好有两人被封同一等级共有种情况；
则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为.
故选：D.
本题主要考查求古典概型的概率，属于常考题型.
10．A
先根据独立事件的乘法公式计算出系统不能正常工作的概率，在根据对立事件的概率公式可得答案.
【详解】
依题意、、不能正常工作的概率分别为：，
所以系统不能正常工作的概率为，
所以系统能正常工作的概率．
故选：A.
本题考查了独立事件的乘法公式，考查了对立事件的概率公式，属于基础题.
11．C
【详解】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
12．B
利用分类分步计数，结合捆绑法、排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再由全排列求六位同学任意安排的方法数，应用古典概率的求法求概率即可.
【详解】
1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有种；
2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的4个空中，分两种情况：
当插入前2个空有种，再把甲插入五名同学所成排的5个空中后3个空有种；
当插入后2个空有种，再把甲插入有种；
所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有种，
而六位同学任意安排的方法数为种，
所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为.
故选：B
13．0.2
命中6环以下（含6环）的对立事件就是命中七环及以上，根据对立事件关系求解概率.
【详解】
设“命中9环以上（含9环）”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“命中6环以下（含6环）”为事件D，
则D与互为对立事件.因为，，，且A，B，C三个事件互斥，
所以，所以.
故答案为：0.2
此题考查互斥事件概率的加法公式，以及通过对立事件的概率关系求解概率.
14．
先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲 乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.
【详解】
解：从4名同学中选2名同学共有种,
甲 乙两人都没有被选到有种，
甲 乙两人都没有被选到的概率为.
15．
利用古典概型公式计算概率.
【详解】
共本不同的数，任取2本包含种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有，
所以这本书属于不同学科的概率.
故答案为：
16．0.902
根据题意，设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，则至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，分别求出这四个事件的概率，求和即可得解.
【详解】
设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，
P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)＋P(A∩B∩C)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
故答案为：0.902.
17．
利用列举法即可求解
【详解】
从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中先后取出两张，用表示结果，
其中x表示第一张卡片上的数字，y表示第二张卡片上的数字，
事件“数字之和大于9”的集合表示为，
故答案为：
18．（1）{（a1，a2），（a1，b），（a2，b），（a2，a1），（b，a1），（b，a2）}；（2）A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}；（3）第一问：{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b），（b，a1），（b，a2），（b，b）}；第二问：A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}.
（1）用列举法写出即可；
（2）用列举法写出即可；
（3）用列举法写出即可.
【详解】
（1）这个试验的所有可能结果Ω＝{（a1，a2），（a1，b），（a2，b），（a2，a1），（b，a1），（b，a2）}.
（2）A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}.
（3）①这个试验的所有可能结果Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b），（b，a1），（b，a2），（b，b）}.
②A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}.
19．(1)答案见解析
(2)平均数均为100，，甲稳定
(3)
（1）直接画出茎叶图即可.
（2）根据公式计算平均值和方差得到答案.
（3）列出所有情况，统计不满足的情况，计算概率得到答案.
(1)
茎叶图如图所示：
(2)
，
，
，
，
，甲更稳定.
(3)
所有可能的情况有：
，共有9种.
不满足的情况有：，，三种，故.
20．答案见解析
根据题意直接列举即可.
【详解】
记2张红色纸牌为红1，红2，2张蓝色纸牌为蓝1，蓝2，
则事件{（红1，红2，蓝1），（红1，红2，蓝2），（蓝1，红2，红1），（蓝2，红2，红1），（蓝1，红2，蓝2），（蓝2，红2，蓝1）}．
事件{（蓝1，蓝2，红1），（蓝1，红1，蓝2），（红1，蓝1，蓝2），（蓝2，蓝1，红1），（红1，蓝2，蓝1），（蓝2，红1，蓝1），（蓝1，蓝2，红2），（蓝1，红2，蓝2），（红2，蓝1，蓝2），（蓝2，蓝1，红2），（红2，蓝2，蓝1），（蓝2，红2，蓝1）}．
事件{（蓝2，红2，红1），（蓝2，红2，蓝1），（红2，蓝2，红1），（红2，蓝2，蓝1）}．
21．(1)
(2)0.4
(1)根据频率分布直方图直接计算即可；
(2)根据列举法列出所有可能的基本事件，进而得出2名志愿者来自同一年龄分组的概率.
(1)
∵，
∴.
(2)
∵，
∴从第2组中抽取2名志愿者，记为A，B；从第4组中抽取3名志愿者，记为c，d，e.
从这5名志愿者中抽取2名志愿者的所有基本事件为：，共10种，
其中2名志愿者来自同一年龄分组的有：，共4种，
∴所求概率为是.
答案第1页，共2页
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