第七章 复数 单元同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 第七章 复数 同步练习
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数+i是实数，则|z|的最小值为（ ）
A．0 B． C．5 D．
3．设复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，若（为虚数单位），则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
6．设复数，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．
7．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（ ）
A．0 B．1 C．-i D．-1
8．已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
9．已知a为实数，i为虚数单位，若是纯虚数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
10．若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．若，则（ ）
A．0 B．1
C． D．2
12．复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设，，则的三角形式为___________.
14．计算_______.
15．若方程有实数根，则实数k的取值是____________．
16．是虚数单位，复数_____________．
三、解答题
17．已知复数（，i为虚数单位），且为实数.
（1）求复数z；
（2）设复数（x，）满足，求的最小值.
18．己知z为复数，为实数，为纯虚数，其中i是虚数单位，为z的共轭复数.
（1）求；
（2）若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数a的取值范围.
19．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）.
（1）求复数；
（2）求的模.
20．计算:
(1);
(2).
21．设虚数满足，且是一个实系数一元二次方程的两个根，求．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．A
根据复数的除法运算法则，即可求解.
【详解】
根据复数的除法运算法则，可得复数.
故选：A.
本题主要考查了复数的运算法则，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
2．D
利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.
【详解】
解：∵复数是实数
故
当且仅当时取等号
的最小值为
故选：D
3．B
利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解.
【详解】
解析因为，
所以，.
故选：B
4．D
根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.
【详解】
因为，所以，
所以复数所对应的点的坐标为.
故选:D.
5．B
将展开可得答案.
【详解】
，所以
故选：B
6．D
根据复数模的定义求解即可.
【详解】
,.
故选：B
7．D
由已知条件得，结合复数的除法运算即可得到标准形式，从而求出复数的虚部.
【详解】
解：，∴，
∴z的虚部为-1.
故选:D.
8．B
依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，， ，所以，即，解得或
故选：B
9．B
根据复数的分类计算．
【详解】
，它是纯虚数，则，．
故选：B．
10．B
设,由是实数和，互为共轭复数得到的限制条件，再结合充分条件、必要条件的定义，即可判断
【详解】
由题意，不妨设
若是实数，则
故，即，由于不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立.
因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B
11．C
先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】
因为，所以 ．
故选：C．
本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．
12．C
本题可根据虚部的定义得出结果.
【详解】
因为复数，
所以的虚部是，
故选：C.
13．
先将化简，然后计算，再转化为三角形式即可
【详解】
因为，
，
所以
，
故答案为：
14．-511
利用复数的运算公式，化简求值.
【详解】
原式.
故答案为：
思路点睛：本题考查复数的次幂的运算，注意，，
以及，等公式化简求值.
15．
将方程整理为：，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出的值.
【详解】
因为有实数根，所以有实根，
所以，所以，所以，
故答案为：.
16．
利用复数的除法化简可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
17．（1）；（2）
(1)设复数，化简, 由复数的相等求解.
(2) 设（x，）,由得，可得 的关系，从而解出答案.
【详解】
解：（1）由（），
得，
为实数，
，.
（2）设（x，），，
，
，即，
，
即复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.
的最小值为.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
18．（1）；（2）.
（1）设由为实数可得，为纯虚数可得，可得解；
（2）化简可得，结合对应的点在第三象限，可得解.
【详解】
（1）设
为实数
又为纯虚数

；
（2）
因为在复平面对应的点在第三象限

本题考查了复数的相关概念及几何意义，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题
19．（1）；（2）
（1）设，由为实数，为纯虚数，可求出的值，进而可求出复数；
（2）结合复数的四则运算，对进行化简，进而求出即可.
【详解】
（1）设，
由为实数，可得，即.
∵为纯虚数，
∴，即，
∴.
（2），
∴.
本题考查复数的概念，考查复数的模，考查复数的四则运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
20．(1) ;(2).
（1）先计算，再计算得到答案.
（2）化简得到，再计算得到答案.
【详解】
(1)
(2)
.
本题考查了复数的运算，意在考查学生的计算能力.
21．或
先探讨实系数一元二次方程的两个虚根的关系，由此设，结合已知条件列出方程即可得解.
【详解】
一元二次方程中，，
则有，，得原方程的二根为和，
显然与互为共轭复数，即实系数一元二次方程有虚根时，这两个虚根互为共轭复数，
因是一个实系数一元二次方程的两个虚根，则有，
设(且)，而，
于是得，
所以或
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页