2.2基本不等式 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 2.2 基本不等式 同步练习
一、单选题
1．已知，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
4．已知实数均为正数，满足，，则的最小值是
A．10 B．9 C． D．
5．已知数列的前项和为，，若存在两项，，使得，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的一条棱的长为，该棱在正视图中的投影长为，在侧视图与俯视图中的投影长为与，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
7．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8
9．已知，函数的最小值为（ ）
A．4 B．7 C．2 D．8
10．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
11．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．若正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
15．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
16．已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______.
17．已知正实数，满足，则的最小值为______.
18．的最小值为___________.
三、解答题
19．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
20．设a0，b0，a+b＝2．
（1）证明：≥4；
（2）证明：a3+b3≥2．
21．（1）若，求最大值；
（2）已知，求的最大值．
22．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
由题意知利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，，所以，
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
2．C
利用基本不等式即可求解.
【详解】
解：，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
3．D
由，知，，，由，得，结合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值．
【详解】
由，知，，，
由，得，
又，
，当且仅当，
即时，取得最小值9，
，的最大值为9．
故选：．
4．B
利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值．
【详解】
，，，，当且仅当时，取等号．
则，
当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
5．B
运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得．求得，
，运用基本不等式，检验等号成立的条件，根据单调性即可得出结果.
【详解】
解：，可得，即，
时，，又，
相减可得，即，
是首项为，公比为的等比数列．
所以．
，即，
得，
所以
，
当且仅当时取等号，即为，．
因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，
因为，在上单调递减，在上单调递增，所以当，时，取得最小值为．
故选：B.
本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
6．C
根据三视图的定义，构造一个长方体，利用长方体的边长关系，求得m的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】
如图：构造长方体
设，在长方体中，DE为正视图中投影，BE为侧视图中投影，AC为俯视图的投影，
则，，
设，
则，，
所以，即，
由于，
所以，解得，
当且仅当时等号成立，
故选：C.
解题的关键是构造长方体，利用三视图的定义，得到对应的投影，再根据边长的关系求解，考查利用基本不等式求最值问题，综合性较强，属中档题.
7．A
将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【详解】
因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为3.
故选：A.
方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
8．A
由题意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立 m2+7m＜（）min，即可求得实数m的取值范围．
【详解】
解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），
∵不等式m2+7m成立，
∴m2+7m≤8，
求得﹣8≤m≤1．
故选：A．
9．B
结合基本不等式即可.
【详解】
因为，所以，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为7.
故选：B
10．B
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
11．B
由题可得，根据展开利用基本不等式可求.
【详解】
，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
12．C
利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
当且仅当，即时取等号.
所以的最大值为.
故选：C
13．D
由可得，由基本不等式可得，即，解不等式即可求解.
【详解】
由可得，
因为，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，解得：，
所以，
当且仅当即时等号成立，
的最小值为.
故选：D.
14．D
利用参变分离的方法将不等式变形为恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.
【详解】
由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，
当且仅当时取等
所以．
故选：D．
15．D
当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解
【详解】
当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
16．
不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可.
【详解】
由已知得：，
，
当且仅当时取等号；
由题意：，
即，
解得：或，
故答案为：.
方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
17．2
由题意，得，可求出的最小值，可得的最小值.
【详解】
解：由，得，
故（当且仅当，时取等号），
故答案为：2.
本题主要考查基本不等式的性质与应用，解本题的关键是求出后利用基本不等式求出的最小值，考查学生的推理与计算能力，属于中档题.
18．9
由结合基本不等式得出答案.
【详解】
因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.
故答案为：
19．（1）最大值为；（2）最小值为5.
（1）直接用基本不等式求解；
（2）依题意，，进而用基本不等式可求得结果.
【详解】
（1）因为所以，
即当且仅当取等号.
又，所以当时，的最大值为
（2）因为且.
当且仅当即取等号.又，所以当时，的最小值为5.
20．（1）证明见解析（2）证明见解析
（1）把展开化简，利用基本不等式即可得证；
（2）结合已知条件，利用两数和的立方公式展开，再用基本不等式即可得证.
【详解】
（1）证明：因为，，.
.
且（当且仅当时取等号），
故.
所以
（2）证明：
当且仅当时取等号，
又，
故.
21．（1）；（2）.
（1）将变形为，再根据基本不等式求解即可；
（2）将变形为，再根据基本不等式求解即可.
【详解】
解：(1)因为，所以.
所以，
由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
故的最大值是
(2)由得，
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以，即.
所以的最大值为.
本题考查基本不等式求最值问题，是中档题.本题解题的核心是适当的变形，凑为“和定”或“积定”问题即可，同时还要注意基本不等式的使用条件.
22．将水池的底面设计成边长为20m的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元
设出底面的长为,宽为,根据总容积求得与的等量关系.表示出总的造价后,将式子转化为关于的等式,结合基本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值.
【详解】
设底面的长为m,宽为m,水池总造价为元,
容积为1,可得,
因此,
根据题意, 池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为150元,有
,
由基本不等式及不等式性质,可得
,
即,
当且仅当时,等号成立.
所以,将水池的底面设计成边长为20m的正方形时,总造价最低,最低总造价是116000元.
本题考查基本不等式在实际问题中的应用,根据基本不等式求最值,注意等号成立的条件,属于基础题.
答案第1页，共2页
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