4.4对数函数 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 4.4 对数函数
一、单选题
1．下列函数中是偶函数且在区间单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，则函数的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
4．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（ ）
A．2566 B．2567 C．2568 D．2569
5．函数与（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S=f(x)的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
8．设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知满足，其中e是自然对数的底数，则的值为（ ）
A．e B． C． D．
10．已知函数（，），则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则该函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数，则的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
14．方程的解集为（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．已知函数，则____________．
17．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
18．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________
三、解答题
19．已知函数在上的最大值与最小值之和为．
（1）求实数的值；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．已知函数，其中a为常数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．
21．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数，若关于的方程在有解，求的取值范围.
22．设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
（1）若函数为“函数”，求实数的值；
（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；
（3）已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．
【详解】
解：是偶函数且在区间上单调递减，满足条件；
是非奇非 偶函数，不满足条件；
是偶函数，但在区间上单调递增，不满足条件；
是奇函数不是偶函数，不合题意.
故选：．
2．B
判断的奇偶性和对称性，结合函数值的对应性进行排除即可．
【详解】
解：由得，得，即函数的定义域为，
则，即函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，，
，排除，
故选：．
3．D
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
4．B
由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案.
【详解】
由题可知，．
因为，所以，
所以的整数部分为2567．
故选：B.
本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力．
5．A
分别在和两种情况下做出函数图象，对比选项可得结果.
【详解】
当时，大致图象如图所示；当时，大致图象如图所示.
故选：A.
6．D
根据给定信息求出函数f(x)的解析式，再借助解析式即可选择图象.
【详解】
依题意：P点在BC上时，，，P点在CD上时，，，
P点在DA上时，，，
于是得，函数f(x)的图象是三条线段组成的折线，只有选项D符合.
故选：D
7．C
本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】
取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
8．A
先求出的定义域，然后利用奇函数的性质求出的值，从而得到的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出的值域．
【详解】
因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.
故选：.
9．D
把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.
【详解】
因为，，
所以，，
即，，
所以，均为方程的根，
又因为方程的根唯一，
所以.
故选：D.
本题考查数与方程的关系，解题的关健要把两个条件式子化为结构一致，然后构造出一个方程，考查抽象概括能力，属于难题.
10．B
利用奇偶性定义判断的奇偶性，结合、的函数值符号，排除错误选项即可.
【详解】
由题意，，
∴，即为偶函数，排除A、D；
当时，，
当时，，
∴、对应函数值异号，排除C；
故选：B
11．D
求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求解.
【详解】
由，得或，
因此函数的定义域是，
是由和复合而成，
又函数的对称轴为，
在上单调递增，单调递增，
由复合函数的单调性知，
的单调递增区间是，
故选：D.
12．B
首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围.
【详解】
时，，
又的值域为，则时，的值域包含，
，解得：.
故选：B
13．D
根据题意，利用排除法分析，先计算的值，排除，再比较与的值，结合函数单调性的定义排除，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，，
所以，在区间上，在轴下方有图象，排除，
又，而，有，不会是增函数，排除，
故选：．
14．D
根据指对数的关系解方程，即可求解集.
【详解】
由得：，
故选：D.
15．B
根据对数函数的图象，求得参数范围；再根据幂函数的图象，即可容易判断.
【详解】
由的图象可知，，
所以，得，，
所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.
故选：B.
本题考查由对数函数的图象求参数范围，涉及幂函数图象的应用，属综合基础题.
16．
由函数的解析式由内到外逐层可计算得出的值.
【详解】
，，
因此，.
故答案为：.
本题考查分段函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.
17．-3
当时，代入条件即可得解.
【详解】
因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
18．
由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.
【详解】
由，解得：或，故函数的定义域为，
又，
为上的偶函数；
当时，单调递增，
设，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；
由可知，解得．
故答案为：.
方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
19．（1）；（2）
（1）根据指对数函数的单调性得函数在上是单调函数，进而得，解方程得；
（2）根据题意，将问题转化为对于任意的，恒成立，进而求函数的最值即可.
【详解】
解：（1）因为函数在上的单调性相同，
所以函数在上是单调函数，
所以函数在上的最大值与最小值之和为，
所以，解得和（舍）
所以实数的值为.
（2）由（1）得，
因为对于任意的，不等式恒成立，
所以对于任意的，恒成立，
当时，为单调递增函数，
所以，所以，即
所以实数的取值范围
本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的，恒成立求解.
20．(1)
(2)
（1）利用换元法转化为求二次函数的值域即得；
（2）通过换元可得，恒成立，再利用函数的单调性及基本不等式求函数的最值即得.
(1)
当时，．
令，易知，于是求函数的值域等价转化为求函数在R上的值域．
∵的值域为，
∴函数的值域为．
(2)
设，∵，∴．
∵，恒成立，
∴，恒成立，
∴，恒成立．
令，，
易知在上单调递增，
∴，
令，，
∵，当且仅当时取等号，
∴．
∴，即实数a的取值范围是．
21．（1）；（2）.
（1）由可得，从而可求出不等式的解集，
（2）由，得，再由可得的范围，从而可求出的取值范围
【详解】
（1）原不等式可化为，即，
所以原不等式的解集为
（2）由，
∴，
当时，，，
22．（1）；（2）；（3）1.
（1）由题意可得，根据解析式即可求解.
（2）由题意可得，根据解析式整理可得，讨论或，使方程有根即可求解.
（3）根据函数，求出，，设，从而可得，得出，构造函数，使其在区间上单调递增即可.
【详解】
解：（1）由为“函数”，得
即，解得，故实数的值为；
（2）由函数为“G(1)函数”可知，存在实数，
使得，，
即；
由，得， 整理得.
① 当时，，符合题意；
② 当时，由，即，
解得且；
综上，实数的取值范围是；
（3）由为“函数”，得，
即，从而，，
不妨设，则由，即，
得，
令，则在区间上单调递增，
又，
如图，可知，故实数的最大值为1.
关键点点睛：本题考查了函数的新定义，解题的关键是理解函数为“函数”的定义，对于（3）将问题转化为在区间上单调递增，考查了分析能力、转化能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页