4.5函数的应用（二）同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 4.5 函数的应用（二） 同步练习
一、单选题
1．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在下列区间中，方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知，结果取整数）（ ）
A．23天 B．33天 C．43天 D．50天
6．已知12是函数的一个零点，则的值是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．+1
7．函数的零点所在的区间可能是（ ）
A． B．， C．， D．，
8．声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ）
A．104倍 B．105倍 C．106倍 D．107倍
9．已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
11．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C．（0，1） D．
12．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
二、填空题
13．函数在区间上的零点为______.
14．函数的零点个数为_______.
15．已知函数，若，则的取值范围是__________．
16．密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．
如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 __________ 元．
17．已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．
三、解答题
18．已知函数．
（1）若，求函数f（x）的零点；
（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．
19．某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率与日产量（万枚）间的关系为： ，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利元，每出现1件次品则亏损15元.
(1)将日盈利额y（万元）表示为日常量x（万枚）的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？
20．已知关于x的二次方程.
（1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围；
（2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围.
21．已知函数，.
（1）当时，解不等式；
（2）关于的方程在区间内恰有一解，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．C
由第一次所取的区间是，取该区间的中点，可得第二次所取的区间，利用同样的方法得到第三次所取的区间.
【详解】
因为第一次所取的区间是，
所以第二次所取的区间可能是，
则第三次所取的区间可能是，
故选：C
2．A
判断出所给区间的端点值的乘积小于0可得答案.
【详解】
；；
；；；
所以.
故选：A.
3．B
利用二分法求函数零点所满足的条件可得出合适的选项.
【详解】
观察图象与轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．
故选：B.
4．B
设函数，结合导函数判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间.
【详解】
设函数，
所以是增函数，
，，
方程的解所在的区间为.
故选：B
5．B
根据题设条件先求出、，从而得到，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.
【详解】
，故，故，
令，∴，故，
故选：B.
6．B
由求得，再由分段函数的性质求的值，进而求即可.
【详解】
由题意知：，可得，
∴，则.
∴.
故选：B
7．B
结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.
【详解】
因为，
所以，又函数图象连续且在单调递增，
所以函数的零点所在的区间是，，
故选：B．
本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.
8．C
根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果.
【详解】
设一般正常人听觉能忍受的最高声强为，平时常人交谈时声强为，
由题意得
解得
∴
故选：C
9．A
由题意得，函数与函数有三个不同的交点，结合图象可得出结果.
【详解】
解：由题意可得，直线与函数至多有一个交点，
而直线与函数至多两个交点，
函数与函数有三个不同的交点，
则只需要满足直线与函数有一个交点
直线与函数有两个交点即可，
如图所示，与函数的图象交点为，，
故有.
而当时，直线和射线无交点，
故实数的取值范围是.
故选：A.
10．C
【详解】
分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
11．C
函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数的取值范围．
【详解】
因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．
作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．
故选：C．
12．C
将代入函数结合求得即可得解.
【详解】
，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
13．##
直接解方程即可得答案.
【详解】
方程的两个根分别为，，
所以函数在区间上有1个零点，为.
故答案为：
14．2
由题意结合函数零点的概念可转化条件得，在同一直角坐标系中作出函数与的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数.
【详解】
令，则，
在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：
由图象可知，函数与的图象有两个交点，
所以方程有两个不同实根，所以函数的零点个数为2.
故答案为：2.
本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.
15．
画出函数图象，可得，，再根据基本不等式可求出.
【详解】
画出的函数图象如图，不妨设，
因为，则由图可得，
，可得，即，
又，当且仅当取等号，因为，所以等号不成立，
所以解得，即的取值范围是.
故答案为：.
16．201
根据题意，构造函数，由函数的值域即可容易求得.
【详解】
设标价为，
则当时，优惠金额；
当时，优惠券2的优惠金额，优惠券3的优惠金额.
故当标价在之间，只能用优惠券1，故不满足题意；
当标价超过100时，若满足题意，，且，
解得.
则答案不唯一，只需在区间内任取一个元素即可.本题中选取标价为.
故答案为：.
本题考查实际问题中函数模型的应用，属中档题.
17．
分离参数可得，做出的函数图象，根据二次函数的对称性求出的值，并求出的范围即可得出答案．
【详解】
由可看到，
令，
作出的函数图象如图所示：
有三个不相等的实数根，，，
直线与的图象有三个交点，
设三个交点的横坐标从小到大分别为，，，
由二次函数的对称性可知，
令可得或（舍，
，．
即的取值范围是，
故答案为：．
结论点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
18．（1）；（2）当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
（1）根据解析式，求得定义域，当时，令，解得∈[﹣1，1]，所以零点为.
（2）若f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0，代入求得a不存在，若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1），解得a=0，经检验符合题意，即可得答案.
【详解】
（1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，
即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，
由，得，
化简得，即，则∈[﹣1，1]，
所以，函数f（x）的零点为；
（2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0；
代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数，
若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；
又当a＝0时，，
则；
对任意x∈[﹣1，1]都成立，
综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
19．(1)
(2)日产量应为3万枚
（1）利用题中的条件可以直接列出函数关系式，利用合格产品数量乘以30，减去次品数量乘以15，即可得到函数关系式；
（2）由（1）分析求出每一段函数的最大值，再进行比较，即可得出结果．
(1)
当时，，
当时，，
所以，
∴.
(2)
由（1）知，当时，日盈利为0元，
当时，
，
当且仅当，即x＝3时取等号，
所以为使日盈利最大，日产量应为3万枚．
20．（1）；（2）.
(1)把方程根的问题转化为抛物线与轴的交点问题，根据题意画出图像，判断函数值得符号即可；
（2）和第一问的方法一样，数形结合，但要考虑对称轴在区间的情况，避免漏解.
【详解】
解：（1）由题设知抛物线与x轴的交点分别在区间和内，画出二次函数的示意图如图所示.得
，故.
（2）如图1-2所示，抛物线与x轴交点落在区间内，对称轴在区间图内通过（千万不能遗漏），可列出不等式组
，
于是有.
21．（1）；（2）.
（1）时，利用指数函数的单调性可得不等式，解分式不等式即可；
（2）关于的方程在区间内恰有一解，等价于，在区间内恰有一解，再转化为二次函数在内恰有一解，即可求的取值范围．
【详解】
（1）当时，，即
不等式解为
（2），即
化简得到：，在区间内恰有一解，令
当时，方程有解为，满足条件；
当时：
当，时，方程有唯一解为，满足条件；
当，即时
在区间内恰有一解，由于则，，
或，时根为，即且
综上所述： 的取值范围
本题主要考查了指数函数单调性的应用，考查了分类讨论以及转化思想的应用，同时考查二次函数根的分布，属于中档题．
答案第1页，共2页
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