5.7三角函数的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 5.7 三角函数的应用
一、单选题
1．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（ ）
A．95米 B．100米 C．105米 D．110米
3．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的有（ ）
A．函数不具有奇偶性；
B．函数在区间上单调递增；
C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大；
D．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉．
5．某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（ ）
（参考数据：）
A．50 B．38 C．27 D．15
6．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，某大楼AB旁有一山坡，其斜坡CD的坡度（或坡比），山坡坡面上点E处有一休息亭.某数学兴趣小组测得山坡坡脚C与大楼水平距离米，与休息亭距离米，并从E点测得大楼顶部点的仰角为，点A，B，C，D，E在同一平面内，则大楼AB的高度约为（ ）
（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
A．89.0米 B．74.2米 C．74.0米 D．59.2米
8．如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin，则当t=0时，角θ的大小及单摆的频率是（ ）
A． ， B． 2， C． ，π D． 2，π
9．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ）
A． B． C． D．
10．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
11．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图所示，有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sinθ≈θ，试估算气球的高BC的值约为（ ）
A．70m B．86m C．102m D．118m
二、填空题
13．梅州城区某公园有一座摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米，匀速运行一周大约18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第12分钟时，他距地面大约为___________米.
14．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
（1）这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为____万度；
（2）这段曲线的函数解析式为______________.
15．如图.已知是半径为，圆心角为的扇形，D是弧上的动点.过点D作，垂足为A.某公司欲建一个风景区，该风景区由和正方形构成，则该风景区面积的最大值为___________'.
16．函数，若存在，使得对任意都有成立，则的最小值是_____________．
17．已知函数在有且仅有5个零点．下述四个结论：①在上有且仅有3个极大值点；②在上有且仅有2个极小值点：③在上单调递增；④的取值范围是．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．
三、解答题
18．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.
19．已知函数的部分图象如图所示，点，为图象与轴的交点，为最高点，且为等腰直角三角形．
（1）求的解析式；
（2）求满足不等式的的取值集合．
20．在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如下表所示：
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日
日期位置序号 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355
存活时间小时 5.6 10.2 12.3 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
（1）试选用一个形如的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间 与日期位置序号之间的函数解析式．
（2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时．
21．当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.
（月份） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8
（1）根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型；
（2）当自然气温不低于13.7℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间.
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．B
由已知条件可得每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，设直角三角形的较大直角边为，另一直角边为，勾股定理求出即可得直角三角形三边长，求出，代入两角和的正切公式即可得解.
【详解】
解：根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，
故设直角三角形较大直角边为，则另一直角边为，
所以，解方程得：，
∴，，则，
∴．
故选：B.
本题考查知识的迁移应用，解题的关键在于根据题意，发现每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，进而列式计算，考查运算求解能力，是中档题.
2．C
设函数关系式为，根据题意求得各参数得解析式，然后计算可得．
【详解】
设该游客在摩天轮上离地面高度（米）与时间t（分钟）的函数关系为，
由题意可知，，，所以，即．
又，得，故，
所以，
所以．
故选：C．
3．A
根据图象利用特殊点的函数值的正负可排除得到答案.
【详解】
，故BC错误；
，故D错误，
故选：A.
4．A
对A，结合奇偶性的定义判断即可；对B，利用正弦型函数的单调性作出判断；对C，分别判断的振幅大小可得；对D，求出周期，可得频率，即可得出结论.
【详解】
对A，的定义域为R，
又，
即为奇函数，故A错误；
对B，时，，，，
故，，，在上均为增函数，
故在区间上单调递增，故B正确；
对C，的振幅为，，则，
所以的振幅大于的振幅，故声音甲的响度一定比纯音响度大，故C正确；
对D，易知的周期为，则其频率为，而的周期为，则其频率为，由，得声音甲比纯音更低沉，故D正确．
故错误的选项为A.
故选：A.
关键点睛：本题考查新定义问题，解题的关键是正确利用正弦函数的性质结合求解.
5．C
作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度.
【详解】
设走了3分钟到达（如图所示），
走过的圆心角为，
，
因为 ，
所以，
所以
所以，
所以建筑物的高度：
故选：C
6．C
根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解.
【详解】
由题意可知，A＝，32＋2＝52，
则T＝8，ω＝＝，
y＝sin.
由sin φ＝，得sin φ＝.
∵|φ|＜，
∴φ＝.
因此频率是，初相为.
故选：C
7．A
过点分别作底面，，然后根据题意分别求出，最后相加即可求出答案.
【详解】
如图，过点作底面垂线，于，
因为斜坡CD的坡度，所以
设，，在中，，即，
解得，则，
所以，
因为在E点测得大楼顶部点的仰角为，
所以
,
故选：A
8．A
根据单摆所摆动角所满足的关系式和频率的定义可得选项.
【详解】
当t=0时，θ=sin，由函数解析式易知单摆的周期为=π，故单摆的频率为.
故选：A.
本题考查三角函数的实际应用，关键在于理解三角函数所表达的实际意义，属于基础题.
9．C
利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角
【详解】
解：当航线垂直于河岸时，航程最短，
如图，在中，，所以，
所以，所以，
故选：C
10．A
由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．
【详解】
解：依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：A．
本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．C
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
12．B
中，求出，然后再在中求出．
【详解】
AC＝，
又∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝86m.
故选：B．
本题考查解三角形的应用，掌握仰角、视角等概念是解题基础．
13．55
建立平面直角坐标系，第分钟时所在位置的高度为，设出其三角函数的表达式，由题意，得出其周期，求出解析式，然后将代入，可得答案.
【详解】
如图设为地面，圆为摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米.
则摩天轮的最低点离地面10米，即
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时所在位置的高度为
则
由题意，,则，所以
当时，
故答案为：55
14． 50 30
根据图象可得最值以及振幅、周期，利用最低点可求初相位，从而可得解析式.
【详解】
由图知，最大用电量为50，最小用电量为30，
故，所以，
又由图象可得半周期为，，故，
又时，，∴ ，∴.
故.
故答案：50，30，.
15．(或
设，把正方形的面积和的面积表示为的三角函数，利用三角函数求最值.
【详解】
设，则，所以正方形的面积，的面积.
则风景区的面积，
其中，当，即时，
取得最大值，且最大值为.
16．2
先确定的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值也就是半个周期，由此可得结果.
【详解】
解：因为函数，若存在，使得对任意都有成立，
所以是最小值，是最大值，
所以的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，也就是半个周期，
所以的最小值为，
故答案为：2
此题考查三角函数的性质，确定的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值也就是半个周期是解题的关键，属于中档题.
17．①④
作出函数的图象，根据在有且仅有5个零点，再逐项判断.
【详解】
如图所示：
由图象可知在上有且仅有3个极大值点，故①正确;
在上可能有3个极小值点，故②错误；
因为函数在有且仅有5个零点，所以，解得，故④正确；
因为，所以，若在上单调递增，则，解得，不符合，故③错误；
故答案为：①④
关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定的范围.
18．.
在△ABC中计算，后在△MAC中计算，再在△AMN中计算出即可.
【详解】
根据题意，
m，
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理得 ，
m，
在△AMN中，，
故答案为：150 m.
【点晴】
此题考正余弦定理的应用，属于简单题.
19．（1）；（2）.
（1）根据为图象的最高点可以求出，根据为等腰直角三角形可以求出，进而求出周期，即求出，代入即可求出；
（2）根据三角函数的性质结合图象即可解出.
【详解】
（1）因为为图象的最高点，所以．
又为等腰直角三角形，所以．
则函数的周期为8，由，，可得，
所以,
由，得，
则，．，，
又，所以,
所以；
（2），即，
则，，
解得，,
所以不等式的解集为．
本题考查根据图象求三角函数的解析式，同时考查与三角函数相关的不等式，属于基础题.
20．（1）；（2）有121天（或122天）.
（1）确定函数模型为，找出最大值和最小值，，，由周期为可得，最大值点对应可求得，从而得函数解析式；
（2）解不等式可得．
【详解】
（1）细菌存活时间与日期位置序号之间的函数解析式满足，由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，∴，故．
又，故．
又，∴．当时，，
∴，
∴．
（2）由得，
∴，可得．
∴这种细菌一年中大约有121天（或122天）的存活时间大于15.9小时．
本题考查三角函数模型的应用，掌握五点法是解题关键．
21．（1）；（2）每年的十一月初至第二年的四月末
（1）作出散点图，得到曲线后，根据周期变化特点可考虑用余弦型函数模型；结合图象可求得解析式；
（2）令可求得的取值，从而可确定最佳旅游时间.
【详解】
（1）以月份为横轴，气温为纵轴作出散点图，并以光滑的曲线连接各散点，得到如图所示的曲线
由于各地月平均气温是以个月为周期变化的，故依散点图所绘制的图象，可以考虑用来模拟
由最高气温为，最低气温为得：，
又
又时，y取最大值，则
为惠灵顿市的常年气温函数模型
（2）当时，或
说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于，是惠灵顿市的最佳旅游时间
本题考查三角函数的实际应用问题，关键是能够建立起合适的函数模型，进而通过三角函数图象求解析式的方法求得拟合的函数模型.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页