第12章 复数 章末检测试卷（PDF版无答案）

12章章末检测试卷
(时间：120 分钟 满分：150 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
2
1．设 i 是虚数单位，则复数 i3－ 等于( )
i
A．－i B．－3i C．i D．3i
2
2．复数 (i 为虚数单位)的虚部是( )
2＋i
2 2 2 2
A．－ B. C．－ i D. i
5 5 5 5
5i
3．复数 1＋ 在复平面内对应的点的坐标为( )
3－i
A.
1 3
，
3 3
B.
，
2 2 2 2
1 15 5 15
C. － ， D. ， 4 4 4 4
4．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是 1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形
的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
1＋5i
5．复数 z的实部是虚部的两倍，且满足 z＋a＝ ，则实数 a等于( )
1＋i
A．－1 B．5 C．1 D．9
6．若复数 z＝3－4i 的模为 a，虚部为 b，则 a＋b等于( )
A．5＋4i B．5－4i
C．1 D．9
7．已知方程 x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根 b，且 z＝a＋bi，则复数 z等于( )
A．2－2i B．2＋2i C．－2＋2i D．－2－2i
|z1|＋|z2|
8．定义复数的一种运算 z1*z2＝ (等式右边为普通运算)，若复数 z＝a＋bi， z 为 z的共2
轭复数，且正实数 a，b满足 a＋b＝3，则 z* z 的最小值为( )
9 3 2 3 9
A. B. C. D.
2 2 2 4
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的
得 2 分，有选错的得 0 分)
1
2
9．下面关于复数 z＝ 的四个说法中，正确的有( )
－1＋i
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为 1＋i D．z的虚部为－1
10．已知 i 为虚数单位，复数 z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数 a的值为( )
A．0 B. 1 C．－1 D．2
11．设 z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )
A．若|z1＋z2|＝0，则 z 1＝ z 2
B．若 z1＝ z 2，则 z 1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则 z1· z 1＝z2· z 2
D．若|z1|＝|z2|，则 z21＝z22
12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N*}，其中 i 为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
1－i
A．(1－i)(1＋i) B.
1＋i
1＋i
C. D．(1－i)2
1－i
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
a＋i
13．若复数 z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数(其中 i 是虚数单位)，则 a＝________，
1＋ai
＝________.
14．在复数集 C内方程 z2－4z＋5＝0 的解集为_____________________．
15．若复数 z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数 z 所对应的向量互相垂直，则 a＝________.
16．世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算
具有了几何意义，例如，|z|＝|OZ|，即复数 z的模的几何意义为 z对应的点 Z到原点的距离．在
复平面内，复数 z0＝3i(i 是虚数单位)，其对应的点为 Z0，Z 为曲线|z|＝1 上的动点，则 Z0 与
Z之间的最小距离为________．
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
→
17．(10 分)复平面内有 O，A，B，C 四点，点 O 为原点，点 A 对应的复数是 3＋i，向量AC
→
对应的复数是－2－4i，向量BC对应的复数是－4－i，求点 B对应的复数．
2
18．(12 分)已知复数 z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)当实数 m取什么值时，复数 z是：①实数；②纯虚数；
z2
(2)当 m＝0 时，化简 .
z＋5＋2i
19．(12 分)已知 m∈R，复数 z＝(m－2)＋(m2－9)i.
(1)若 z对应的点在第一象限，求 m的取值范围；
8
(2)若 z的共轭复数 z 与复数 ＋5i 相等，求 m的值．
m
20．(12 分)已知 x＝－1＋i 是方程 x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根．
(1)求实数 a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
3
21．(12 分)已知复数 z满足|z|＝ 2，z2 的虚部为 2.
(1)求复数 z；
(2)设 z，z2，z－z2 在复平面内对应的点分别为 A，B，C，求△ABC的面积．
1
22．(12 分)设 z是虚数，ω＝z＋ 是实数，且－1<ω<2.
z
(1)求|z|的值及 z的实部的取值范围；
1－z
(2)设 μ＝ ，求证：μ为纯虚数；
1＋z
(3)在(2)的条件下求 ω－μ2的最小值．
4