6.1平面向量的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A．或 B．与平行
C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得
3．设O是的外心，则，，是
A．相等向量 B．模相等的向量 C．平行向量 D．起点相同的向量
4．下列命题中正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若和是都是单位向量，则
C．若，则与的夹角为0°
D．零向量与任何向量共线
5．过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
6．已知向量，，则与共线的单位向量为
A． B．
C．或 D．或
7．下列命题中，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．在中，点D，E分别为边，的中点，则如图所示的向量中，相等向量有（ ）
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
9．
A． B． C． D．
10．已知平面内两个不共线向量，，且，若向量与共线，则k=（ ）
A．3或-2 B．1或-6 C．-3或2 D．-1或6
11．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若都是单位向量，则；
③向量与相等．
则所有正确命题的序号是（ ）
A．① B．③
C．①③ D．①②
12．对于单位向量、，下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在直角中，，为边的中点，为线段上一动点，且满足，则的取值范围为_______________.
14．有四个物理量：“质量”、“速度”、“位移”、“力”，其中不能称为向量的是___________．
15．已知，不共线，若向量与向量反向共线，则实数的值为______.
16．已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.
17．已知，且，则____．
三、解答题
18．如图所示，点D，E，F分别是直角三角形三边的中点，分别写出图中与，相等的向量以及与的模相等的向量.
19．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点
（1）作出向量，，(表示200m)；
（2）求的模.
20．下列量中哪些是向量？
悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.
21．已知四边形ABCD为正方形，，AP与CD交于点E，若，计算.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果.
【详解】
由题意知：是的重心，设，
则有解得
故.
故选：C
本题考查三角形的重心公式，属基础题.
2．B
根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
向量与共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；
向量与共线，则与平行，故B正确；
为零向量，则满足与共线，方向不一定相同或相反；故C错；
当，时，满足与共线，但不存在实数，使得，故D错.
故选：B.
本题主要考查向量共线的有关判定，属于基础题型.
3．B
易知O是外接圆的圆心，从而＝R（R为△ABC外接圆的半径），由此可得结论．
【详解】
∵三角形的外心是三角形外接圆的圆心，∴点O到三个顶点A，B，C的距离相等，∴,,是模相等的向量，即.
故选：B
本题考查相等向量的定义，正确理解相等向量的定义是解决问题的关键，属于基础题.
4．D
根据平面向量的概念依次判断即可得出.
【详解】
对A，两个向量相等，则它们的大小和方向相同，与位置无关，故A错误；
对B，若和是都是单位向量，则，方向不一定相同，故B错误；
对C，若，则与的夹角为或，故C错误；
对D，根据共线向量的定义规定，零向量与任何向量共线，故D正确.
故选：D.
5．B
本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】
本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，
故选B.
本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于难题.
6．D
根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.
【详解】
因为，，则，
所以，
设与共线的单位向量为，
则，
解得 或
所以与共线的单位向量为或.
故选：D.
本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.
7．B
两向量相等则方向相同,模长相等可判断AB,向量不可比较大小可判断C,由零向量的概念可判断D.
【详解】
若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确;
若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确;
向量不能比较大小,C不正确;
若，则,D,不正确.
故选:B.
本题属于向量的概念题,理解向量的相关概念是解题的关键,属于基础题.
8．A
结合三角形中位线的性质、相等向量的定义直接求解即可.
【详解】
解析：由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即.
故选：A
本题考查了三角形中位线性质，考查了相等向量，属于基础题.
9．B
根据向量减法和加法的运算，求出运算的结果.
【详解】
依题意，故选B.
本小题主要考查向量的减法运算，考查向量的加法运算，属于基础题.
10．A
利用向量共线定理和平面向量基本定理即可得出.
【详解】
解：向量与共线，实数，使得，
，化为.
，是同一平面内两个不共线的向量，
，解得，或.
故选：A.
11．A
根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③.
【详解】
根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向与互为相反向量，故③错误．
故选：.
本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.
12．D
根据单位向量的定义可知，，这样即可判断出答案．
【详解】
解：都是单位向量，方向不一定相同，故A错误；两个向量夹角不确定，故B错误；只有两个向量同向时，C才正确；
∵，故一定成立，故D正确．
故选：D．
本题考查了单位向量的定义，属于基础题．
13．.
由数量积的定义把用的余弦表示，由的范围可得结论．
【详解】
如图.∵为中斜边的中点，，∴.∵，
∴，∴.
∵，∴，∴.又在上，
∴，∴.
故答案为：．
本题考查用平面向量的数量积表示向量的模，掌握数量积的定义是解题关键．
14．质量
根据向量的定义可得答案.
【详解】
四个物理量：“质量”、“速度”、“位移”、“力”，其中不能称为向量的是“质量”，
故答案为：质量.
15．
根据向量的共线定理可得关于的方程，可求得实数的值.
【详解】
∵，不共线，∴.又向量与向量反向共线，
∴存在实数，且，使，
即，解得（舍去）或.
故答案为：.
本题考查向量共线定理，关键在于运用待定系数法表示两向量求解方程组，属于基础题.
16．－3
先根据向量共线把用和表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．
【详解】
解：因为非零向量、、两两不平行，且，，
，
，解得
故答案为：．
本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.
17．5或9
讨论与方向相同或相反两种情况，根据向量模的几何意义求解即可.
【详解】
因为，且，
所以，当与方向相同时，，
当与方向相反时，，故答案为5或9．
本题主要考查平行向量的性质以及向量模的几何意义，意在考查对基础知识的理解与应用，属于基础题.
18．；；与的模相等的向量有，，，.
根据相等向量的定义和模相等的概念，进而结合图形得到答案.
【详解】
如图所示，点D，E，F分别是直角三角形三边的中点，所以，
根据中位线定理可知，，，
于是，；；
与的模相等的向量有，，，.
19．（1）见解析；（2）450m
（1）利用具体方位，用有向线段表示向量；
（2）借助相反向量模相等，得到.
【详解】
（1）根据题意，如图所示.
（2）由题意及（1）可得，四边形为平行四边形,所以.
本题考查具体方位，用有向线段表示向量，向量的平行四边形法则以及相反向量模相等．
20．悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度是向量.
根据向量的定义直接求解即可.
【详解】
因为向量既有大小又有方向，所以悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度是向量.
本题考查了向量的定义，属于基础题.
21．.
根据条件作出图象，利用向量的运算，将用表示出来，求出，得到答案.
【详解】
由题作图如图所示，
∵，∴，∴，
∴，
∴.
故答案为：.
本题考查了平面向量的加法、减法、数乘运算，将向量用确定的两个向量线性表示，属于容易题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页