6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
3．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
4．在菱形中，、分别是、的中点，若，，则（ ）
A．0 B． C．4 D．
5．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若向量且则=（ ）
A．3 B．5 C． D．
7．在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．设为实数，已知向量=(-1，2)，=(1，).若，则向量+2与之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
10．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知平面向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．在平行四边形中，，则（ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
13．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A． B． C． D．
14．若，点C在∠AOB外，且，设实数m，n满足，则等于（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
15．正方形中，P，Q分别是边的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知向量，若与共线，则实数_________．
17．在△ABC 中，已知，，若，则的坐标为_______.
18．与共线反向的单位向量坐标__________．
三、解答题
19．若、、三点的坐标分别为、、，求，的坐标.
20．在平面直角坐标系中，已知，.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）若，求实数的值.
21．已知向量，，.
(1)求与的坐标；
(2)求的面积.
22．如图，平面内有三个向量其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．A
求出，再求与同向的单位向量即可．
【详解】
因为两点, 所以，
所以＝＝，
所以与向量同向的单位向量为，
故选：A.
2．A
本题先计算，再根据模的概念求出．
【详解】
由已知，，
所以，
故选A
本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
3．C
根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.
【详解】
因为为单位向量，
不妨设，且，
所以，
又因为，
所以，
化简得，
所以，
，
，
当时，，
故选：C
关键点点睛：本题关键是在为单位向量的条件下，设，由确定x的范围.
4．B
以为基底表示有关向量，然后利用数量积的运算和定义求解.
【详解】
设,则.
，
故选：B.
5．A
由题意，求得，，根据，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，
可得，，
因为，所以，解得.
故选：A.
6．C
先结合平面向量垂直的坐标运算求出，再结合平面向量减法的坐标运算求出，进而带入模公式即可求解.
【详解】
因为所以，所以，
则，故，
故选：C
7．D
建系，根据菱形确定点的坐标，计算数量积即可.
【详解】
建立如图平面直角坐标系，
则
∴E点坐标为，
.
故选：D
8．A
根据向量垂直的坐标运算解得，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量，若，则，解得，
所以，所以，，，
设向量+2与之间的夹角 ，则， ，
所以向量+2与之间的夹角为.
故选：A.
9．D
根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】
，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
10．C
特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形.
【详解】
不妨设中，，边长，边长，
以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系
则、、,
,设，则
故
可得，故
的面积为，
的面积为
则与的面积之比为
故选：C
11．B
由，得到，结合向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】
由，可得，
整理得，可得，
又由平面向量，，可得，解得.
故选：B.
12．A
根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；
【详解】
，，
，，
，
，
故选：A
13．B
设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
14．C
由，两边平方得，，由，结合两边同时平方得，，从而可求.
【详解】
∵，
∴①
∵且，两边同时平方得，
∴②
①②联立得：.
故选：C．
关键点点睛：根据已知条件构造关于m、n的齐次方程，进而求得两参数的比值.
15．C
由已知可得，用表示出然后可表示出，即可得出结果.
【详解】
由题意，即，解得，
∴，又，
∴，则
故选：C．
方法点睛：本题考查平面向量基本定理．解题时可选取不共线向量为基底，把其他向量都用基底表示，然后求解．这种方法目标明确，思路清晰，易于求解．
16．1或
根据平面向量共线的坐标表达，结合已知条件，即可列出的方程，求解即可.
【详解】
因为与共线，，解得或．
故答案为：或.
17．
由题意知是线段的中点，根据向量加法的几何意义有，结合向量线性运算的坐标表示求的坐标.
【详解】
由题设，点是线段的中点，
∴.
故答案为：
18．
首先求出的模，再根据计算可得；
【详解】
解：因为，所以，所以与共线反向的单位向量为
故答案为：
19．，
利用平面向量的加法法则以及向量的坐标运算可得出，的坐标.
【详解】
、、，所以，，.
本题考查向量的坐标运算，同时也涉及了平面向量加法的三角形法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；
（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.
【详解】
（Ⅰ），，，
，
，，解得；
（Ⅱ），
，，解得.
本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.
21．(1)，
(2)
（1）利用向量减法的定义即可直接求出答案；
（2）利用数量积证明，从而得到为直角三角形，然后利用即可求出的面积.
(1)
，
；
(2)
由（1）知：，，
所以，，，
所以，即，
所以.
22．6
过点作和的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形，由题意可知，在中，利用边角关系可求出，的长，又，所以，，即可求出结果．
【详解】
如图所示：
过点作和的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形，
与的夹角为，与的夹角为，
，，
在中，，，
又，
，，
，，
，，
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页