7.1复数的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.1 复数的概念 同步练习
一、单选题
1．已知复数为纯虚数那么（ ）
A． B．
C． D．
2．设i虚数单位，复数，则（　　）
A． B．5 C．1 D．2
3．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
4．设，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于（　　）
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
6．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知复数满足，则为虚数单位的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．设，其中，则下列命题中正确的是（ ）
A．复数z可能为纯虚数
B．复数z可能是实数
C．复数z在复平面上对应的点在第一象限
D．复数z在复平面上对应的点在第四象限
9．设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（ ）
A． B． C． D．
10．设复数：，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
11．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
12．已知复数﹑满足，复数满足或者，且对任意成立，则正整数n的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
13．设复数满足，（是虚数单位），则复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．“虚数”这个词是17世纪著名数学家 哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程在实数范围内没有解.已知复数满足，则（ ）
A．4 B．2 C． D．1
15．在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
16．在复平面内，设点A P所对应的复数分别为πi cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.
17．若方程有实数根，则实数k的取值是____________．
18．已知，则复数的虚部为_________．
三、解答题
19．已知，复数.
（1）当为何值时，复数为实数？
（2）当为何值时，复数为虚数？
（3）当为何值时，复数为纯虚数？
20．已知m∈R，复数（i是虚数单位）．
（1）若复数z是实数，求m的值；
（2）若复数z对应的点位于复平面的第二象限，求m的取值范围．
21．已知为复数，满足，求的值．
22．已知是虚数单位，复数.
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点在直线上，求复数的模.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据纯虚数的概念即可得出选项.
【详解】
复数为纯虚数，
则.
故选：A
2．A
利用模的定义求解即可
【详解】
故选：A
3．D
利用复数的除法运算，化简，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.
【详解】
，
的共扼复数为，的虚部为，
，在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：D.
本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
4．B
根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可.
【详解】
因为，所以，解得，
所以.
故选：B.
5．B
根据复数相等得出的值，进而得出复数z.
【详解】
由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，
即，解得，
故选：B
6．A
复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离，求出即可得出．
【详解】
复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点的距离．
．
的最大值是．
故选：A．
本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是．
7．D
设，根据复数模的计算公式和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值.
【详解】
由可设：，，
（其中），
当时，.
故选：D.
8．C
根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.
【详解】
因为，，
故ABD均错误，C正确.
故选：C.
9．B
把四个选项一一代入验证即可.
【详解】
把四个选项一一代入验证：
对于A：z=，则有，.故A错误；
对于B：z=，则有，.故B正确；
对于C：z=，则有，.故C错误；
对于D：z=，则有，.故D错误；
故选：B
10．A
根据虚数单位的周期和复数的除法运算即可得到答案.
【详解】
因为
所以.
故选：A.
11．D
先根据分析出复数对应的点在复平面内的轨迹，然后将的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.
【详解】
因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，
又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：
所以，
故选：D.
结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1）：表示以为圆心，半径为的圆；
（2）且：表示以为端点的线段；
（3）且：表示以为焦点的椭圆；
（4）且：表示以为焦点的双曲线.
12．C
用向量表示，根据题意，可得，因为或者，根据其几何意义可得的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n，数形结合，即可得答案.
【详解】
用向量表示，
因为，所以，
又满足或者，
则可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B为圆心，半径为r的圆上的向量，则终点可能的个数即为n，
因为，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为，
如图所示，则最多有10个可能的终点，即n=10.
故选：C
解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
13．C
根据复数表达式,先表示出.由复数的运算求解,再根据复数的几何意义求得点所在象限.
【详解】
复数满足
即
由复数的运算化简可得
在复平面内对应的点坐标为,所以位于第三象限
故选:C
本题考查了复数的除法运算,复数的几何意义,属于基础题.
14．B
利用复数模的运算性质求解即可．
【详解】
解：因为，
所以，
故，
所以．
故选：．
15．D
求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限.
【详解】
复数的共轭复数为，
其对应的点位于第四象限.
故选：D.
本题考查复数的几何意义，属于基础题.
16．
当时，求得点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积.
【详解】
由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图：当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.
由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积.
因为∠=2×=，所以扇形的面积为等于.
故答案为：.
关键点点睛：本题的关键点是：由“的面积等于的面积”得到“向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积”.
17．
将方程整理为：，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出的值.
【详解】
因为有实数根，所以有实根，
所以，所以，所以，
故答案为：.
18．
由的指数运算的周期性可化简，根据虚部定义得到结果.
【详解】
，的虚部为.
故答案为：.
19．（1）；（2）且；（3）或.
（1）若复数z为实数,则虚部为0,由此可求得m的值；
（2）若复数z为虚数,则虚部不为0,由此可求得m的值；
（3）若复数z为纯虚数,则实部为0,且虚部不为0,由此可求得m的值.
【详解】
（1）要使为实数，
只需，解得：m=6；
（2）要使为虚数，
只需，解得：且；
（3）要使为纯虚数，
只需，解得：或.
20．（1）m＝3；（2）（﹣2，﹣1）．
（1）直接由虚部为0求解；
（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
【详解】
解：（1）∵是实数，
∴，解得m＝3；
（2）∵复数z对应的点位于复平面的第二象限，
∴，解得﹣2＜m＜﹣1．
∴m的取值范围是（﹣2，﹣1）．
21．
根据题意分析可得为纯虚数，且虚部小于0，设，代入方程可得，解得即可得到答案.
【详解】
由已知得，∵，∴为纯虚数，且虚部小于0，
设，则，所以，
所以．解方程得（正根舍去）．
∴，∴.
故答案为：.
本题考查了复数方程，考查了复数相等的条件，属于基础题.
22．（1）2 （2）
（1）根据为纯虚数，则，且求解即可；
（2）写出复数对应点的坐标，代入直线方程可求得值，从而求出复数的模.
【详解】
解：（1）若为纯虚数，则，且，
解得实数的值为2；
（2）在复平面上对应的点，
由条件点在直线上，则，
解得．则
所以
答案第1页，共2页
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