7.2复数的四则运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.2 复数的四则运算
一、单选题
1．设z=i(2+i)，则=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
2．已知是虚数单位，，则复数的共轭复数的模是（ ）
A．5 B． C． D．3
3．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
4．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
5．设复数，若的虚部为2，则（ ）
A． B． C．5 D．10
6．欧拉在年给出了著名的欧拉公式：是数学中最卓越的公式之一，其中底数，根据欧拉公式，任何一个复数，都可以表示成的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数，，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．已知复数，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
8．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A． B．
C． D．
9．设复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．-1
11．已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．0 B． C．1 D．
12．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
13．非零复数、分别对应复平面内的向量、，若，则
A． B． C． D．和共线
14．已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
15．设复数，满足，，则（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
16．若非零复数满足，则的值是___________.
17．已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第_____象限.
18．设复数满足，则_________.
三、解答题
19．已知复数，.
（1）当时，求复数的模；
（2）若，求的取值范围.
20．已知满足等式．
（1）计算；；；
（2）求证：对任意复数，有恒等式；
（3）计算：，．
21．已知复数.
（1）设，求的值；
（2）求满足不等式的实数的取值范围.
22．已知，i为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若，求实数a，b的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．
【详解】
，
所以，选D．
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
2．C
首先求出复数的共轭复数，再求模长即可.
【详解】
据题意，得，
所以的共轭复数是，所以.
故选：C.
3．D
依题意根据复数的几何意义得到，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得.
【详解】
解：由题知，，则，所以，
故选：D．
4．B
根据共轭复数的定义判断．
【详解】
复数的共轭复数是．
故选：B．
5．A
根据复数除法运算求出，即可根据虚部求出.
【详解】
因为，所以，
则，解得．
故选：A.
6．D
根据欧拉公式的定义求出，再根据复数的除法运算即可求解.
【详解】
∵，，
∴，
复数在复平面内对应的点为，点在第四象限.
故选：D.
7．C
将变形，得，利用复数除法计算法则求解即可.
【详解】
因为，，所以.
故选：C.
8．D
把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.
【详解】
由题意1i是关于的实系数方程
∴，即
∴，解得.
故选：D．
9．C
根据复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1+i，得到z2＝﹣1+i，再利用复数的乘法求解.
【详解】
∵复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1+i，
∴z2＝﹣1+i，
∴（1+i） （﹣1﹣i）＝﹣1﹣i﹣i﹣i2＝﹣2i．
故选：C．
10．A
根据虚数的运算性质，得到，得到，即可求解.
【详解】
根据虚数的性质知，
所以.
故选：A.
11．B
根据题意，化简复数，结合复数的概念，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足，可得，
所以z的虚部为.
故选：B.
12．A
设，根据，求得，即可求得复数的虚部，得到答案.
【详解】
设，
因为，可得，
则，可得，所以复数的虚部是.
故选：A
关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.
13．A
根据复数加法几何意义以及向量的模的含义得结论.
【详解】
因为，所以+|-|,以、为相邻边的平行四边形的对角线相等，即以、为相邻边的平行四边形为矩形，因此，选A.
本题考查复数加法几何意义以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．B
先求出共轭复数，从而可求出其虚部
【详解】
由，得，
所以的虚部是，
故选：B
15．D
利用性质，结合已知求出，再由即可求.
【详解】
由题设，，又，
∴，而，
∴，故.
故选：D
16．
由题设有、易得 ，同理，，而，，由此可知，即可求值.
【详解】
由题设有：，解得，且，
∴，即，同理有，，
，，又，
∴，，
∴，
故答案为：.
17．一
化简得到，得到复数对应象限.
【详解】
，复数在复平面内对应的点的坐标为（2,1），
故复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：一.
本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
18．.
先利用复数代数形式的乘除运算化简得出，即可求解.
【详解】
∵复数满足，
∴，
∴，
所以，
故答案为：.
19．（1）；（2）.
（1）结合复数的除法运算与加法运算求出，然后结合复数的模长公式即可求出结果；
（2）根据复数相等，得到，进而换元法求函数的最值.
【详解】
（1）当时，，
则.
（2）因为，即，即，
令，则，
则，，
当时，，
当时，，
故，
所以的取值范围为.
20．（1）；0；4；（2）证明见解析；（3）．
（1）根据，利用复数的乘方逐个求解；
（2）利用多项式公式展开，再根据求解判断；
（3）根据，分当， ，求解.
【详解】
（1）因为，
所以；
；
；
（2），
，
，
，成立；
（3）当时，；
当时，，
当时，，
综上：
21．（1）；（2）.
（1）将复数代入，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误；
（2）将复数代入，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.
【详解】
（1）.
；
（2）不等式为
即，
即，
整理得且，
解得或，
所以实数的取值范围是.
本题综合考查复数的运算法则的应用，考查了复数的模的公式，同时考查一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，属于中档题.
22．（1）；（2）
（1）求出的共轭复数，代入化简，再求；
（2）根据，得到，列方程组即可求解.
【详解】
（1）已知，，
，
.
（2），
，
，解得.
此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解.
答案第1页，共2页
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