8.5空间直线、平面的平行 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．在正方体中，有以下结论：①面；②；③与是异面直线；④与成角，其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在直四棱柱中，下列结论正确的是（ ）
A．与是两条相交直线
B．平面
C．
D．，，，四点共面
3．能保证直线a与平面α平行的条件是（ ）
A．b α，ab
B．b α，cb，ac
C．b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD
D．a α，b α，ab
4．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ）
①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）
A．直线a上的点到平面α的距离相等
B．直线a平行于平面α内的所有直线
C．平面α内有无数条直线与直线a平行
D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角
7．设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面
8．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
9．下列命题正确的是（ ）
A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
10．如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为
A． B． C． D．
11．已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
12．已知直线a与平面，能使的充分条件是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
二、填空题
13．正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的关系是______．
14．球O的内接正四面体中，P、Q分别为被AC、AD上的点，过PQ作平面，使得AB、CD与平行，且AB、CD到的距离分别为1，2，则球О被平面所截得的圆的面积是_______．
15．如图，在底面边长为8cm，高为6cm的正三棱柱中，若D为棱的中点，则过BC和D的截面面积等于_________cm2.
16．设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.
三、解答题
17．如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设、分别为、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的侧面积.
18．如图所示，在直四棱柱中，底面是梯形，，，、分别是、的中点，求证：平面平面.
19．如图所示，在直角梯形BCEF中，，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2AD＝2AF＝2，（如图1）将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）当EF⊥CF时，求异面直线BF与EC所成角的余弦值．
20．如图所示，是圆锥的一部分，是底面圆的圆心，，是弧上一动点（不与、重合），满足．是的中点，．
(1)若平面，求的值；
(2)若四棱锥的体积大于，求三棱锥体积的取值范围．
21．如图，在五面体ABCDEF中，已知平面ABCD，，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据正方体的结构特征，由线面平行的判定定理判断①，由平行的性质判断②，由异面直线概念判断③，根据异面直线所成的角判断④.
【详解】
如图，
①中，由,平面，平面，可得面，故正确；
②中，由,,可得，故正确；
③中，由正方体可知与是异面直线，正确；
④中，因为，所以与所成角为（或其补角），在等边中，，故正确.
故选：D
2．B
根据异面直线的判定定理，直线与平面平行的判定定理，四点共面的判定，结合四棱柱的性质逐一判定即可.
【详解】
面，面，，所以与是异面直线，A错；
因为，面，面，所以面，B正确；
面， 面，，所以与是异面直线，C错；
如图所示，，，三点在面上，与面相交，所以，，，四点不共面，D错.
故选：B.
3．D
根据线面平行的判定定理的条件，排除A、B、C选项，只有D正确
【详解】
根据线面平行的判定定理知，
选项A：条件缺少，所以不成立，故A错误；
选项B：同上，条件缺少，所以不成立，故B错误；
选项C：b α，A、B∈a，C、D∈b，要加且ABCD，所以不成立，故C错误；
选项D：根据线面平行的判定定理知结论成立，故D正确；
故选：D．
4．B
证明，即可证明②③正确；平面，故①错误，平面，故④错误．
【详解】
对于①，平面，故①错误；
对于②，由于为的中点，为的中点，则， 平面，平面，则平面，故②正确；
对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确；
对于④，由于平面，故④错误．
故选：B
5．B
设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.
【详解】
如图，设点为的中点，取的中点，连接，，
则，又平面，平面，∴平面，
易知，故平面与平面是同一个平面，
∴平面，此时，
故选：B
6．B
根据直线与平面平行的性质可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
若，则直线上任意一点到平面的距离均相等，正确；
若，则平面内存在无数条平行直线与直线平行，但与其平行直线相交的直线与直线异面，故错误，正确；
若，则在平面内垂直于直线的平行直线的直线与直线成角，这样的直线有无数条，正确.
故选：
本题考查线面平行的性质的应用，易错点是对于无数条直线与所有直线概念的理解出现问题，造成判断错误.
7．B
应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确
【详解】
应用立方体，如下图所示：
选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；
选项B：由面面平行的判定，可知B正确
选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C不一定能使α//β成立；
选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；
故选：B
本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题
8．B
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】
方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
9．B
根据面面平行的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，这两个平面可能相交，故A选项错误.
对于B选项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，正确，故B选项正确.
对于C选项，这两个平面可能相交，故C选项错误.
对于D选项，这两个平面可能相交，故D选项错误.
故选：B
10．C
连接，设正方体的棱长为，设，可得，设截面与棱的交点为点，连接、，利用面面平行的性质定理可得，可知棱台的体积为，利用台体的体积公式可计算出的值，即可得出的值.
【详解】
连接，设设截面与棱的交点为点，连接、，如下图所示：
设正方体的棱长为，设，则，
由于平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
，，，，
的面积为，
由题意可知，三棱台的体积为，整理得，
，解得，因此，.
故选：C.
本题考查平面截正方体所得截面图形的确定，同时也考查了台体体积公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11．A
由线线关系、线面关系、面面关系可逐项判断．
【详解】
①，，由平行公理4得，正确；
②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；
③，则或，故错误；
④，；则或，故错误；
⑤，，，由线面平行的判定定理可得．
故选：A.
12．D
根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.
【详解】
对①，若，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；
对②，若，则，平面的平行具有传递性，故②正确；
对③，若，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；
对④，，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.
综上：②④正确，
故选：D.
13．平行
画出图象，结合图象以及线面平行的性质定理进行判断.
【详解】
根据正方体的几何性质可知，
由于平面,平面,所以平面，
由于平面，平面平面，所以.
故答案为：平行
14．
先将正四面体放到一个正方体模型中，结合面面平行证明上下底面和平面平行，将距离都转移到线段上，得到正四面体和正方体的棱长，再利用球心到截面的距离求截面圆的半径，最后计算面积即可.
【详解】
将正四面体放到一个正方体模型中，如图所示，球O是正四面体的外接球，也是正方体的外接球.
依题意，设平面交BC于R，
因为平面，平面与平面交于，所以，
同理平面，可证.
如图，连接，与AB交于上底面中心，易见，而平面，
故平面，结合平面，，
故上底面平面，同理下底面也平行平面.
因为AB、CD到的距离分别为1，2，即连接上下底面中心，交平面于S，
则，则正方形棱长为，正四面体棱长为，
正方体的体对角线，即球的直径为，即，
球О被平面所截得的圆的半径为r，
则截面圆圆心为S，到球心的距离，
故，
故面积.
故答案为：.
本题解题关键在于将正四面体放到一个正方体模型中，将四面体外接球问题转化成正方体外接球问题，即可降低难度，突破难点.
15．
过点作，交于点 ，连接，四边形BCED即为过BC和点D的截面，求出四边形BCED的面积即可.
【详解】
过点作，交于点，连接，,则，即四点共面，四边形BCED即为过BC和点D的截面，
因为D为棱的中点，所以DE是的中位线，所以 ，
又因为，所以DE//BC，所以四边形BCED是梯形；过点D作 于点F，则所以截面 BCED的面积为
故答案为：
16．45°或135°##135°或45°
根据等角定理即可得到答案.
【详解】
根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.
故答案为：45°或135°.
17．（1）证明见解析；（2）.
（1）要证明面面平行，需根据判断定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明平面，平面；（2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥的三个侧面的面积.
【详解】
（1）∵、分别为、的中点，∴，
又平面，平面，∴平面，
在中，，，∴，
又，∴，
∵平面，平面，∴平面，
又，∴平面平面，
（2）∵平面，平面，平面，
由（1）可知，∴、，
∵，，，，
∴，，，
由（1）可知，
在中，，
∴，
又，
在中，，∴边上的高，
∴，
∴三棱锥的侧面积.
方法点睛：本题考查了面面平行的判断定理，以及三棱锥侧面积的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.
18．证明见解析
分别证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.
【详解】
在四棱柱中，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
为的中点，所以，且，
由已知条件可得且，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，平面，
、分别是、的中点，则，
平面，平面，则平面，
因为，因此，平面平面.
方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有：
①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；
②用判定定理或推论（即“线线平行”“面面平行”），通过线面平行来完成证明；
③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；
④借助“传递性”来完成．
19．（1）证明见解析；（2）
（1）取DE中点M，连接AM，证明EF∥AM，可得AM∥平面BEF.连接AC、BD，设，证得MN∥BE，可得MN∥平面BEF，由面面平行的判定可得平面AMN∥平面BEF，从而得到AC∥平面BEF；
（2）在平面ADEF中，证明EF⊥FD，结合EF⊥CF，可得EF⊥平面CDF，则EF⊥CD，再由CD⊥AD，得到CD⊥平面ADEF，得到CD⊥DE，由已知求解CE、CM，证明BF∥CM，可得∠ECM为异面直线BF与EC所成角(或其补角),再由余弦定理求解.
【详解】
(1)证明:如图，
取DE中点M，连接AM，可得FA∥EM，FA=EM，则四边形AMEF为平行四边形，
得EF∥AM，EF平面BEF，AM平面BEF,所以AM∥平面BEF.
连接AC、BD，设AC∩BD=N，则N为BD的中点，连接MN，
则MN∥BE，BE平面BEF，MN平面BEF,∴MN∥平面BEF.
又AM∩MN=M，AM、MN平面AMN，所以平面AMN∥平面BEF,
而AC平面AMN，所以AC∥平面BEF.
（2）在平面ADEF中，由，DE=2，可得：，
即EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF=F，所以EF⊥平面CDF，则EF⊥CD，
又CD⊥AD，AD与EF相交，∴CD⊥平面ADEF，则CD⊥DE.
在直角△CDE中，求得，在Rt△CDM中，求得，
∵FM∥BC，FM=BC，∴四边形BCMF为平行四边形，可得BF∥CM，
则∠ECM(或其补角)为异面直线BF与EC所成角.在△ECM中,由余弦定理可得：，
故异面直线BF与EC所成角的余弦值为.
20．(1)
(2)
（1）取的中点，连接，证明出，可得出，，然后在中利用正弦定理可求得的值；
（2）计算得出四边形的面积，结合可求得的取值范围，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，计算得出，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.
(1)
解：取的中点，连接，为的中点，则，
平面，平面，则平面，
由题设，当平面时，因为，所以，平面平面，
平面，则平面，
因为平面，平面平面，则，
所以，，，
在中，由正弦定理可得，故.
(2)
解：四棱锥的体积，其中表示四边形的面积，
则
，
所以，，可得，
，则，故，解得.
设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，
由于是的中点，则
.
21．（1）证明见解析；（2）．
（1）先证明平面，再利用线面平行的性质，证明；
（2）在平面内作于点，证明是三棱锥的高，即可求三棱锥的体积．
【详解】
（1）因为，平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以．
（2）如图，
在平面内过点B作于点．
因为平面，平面，所以．
又，平面，，
所以平面，
所以是三棱锥的高．
在直角三角形中，，，所以．
因为平面，平面，所以．
又由（1）知，，且，所以，所以，
所以三棱锥的体积．
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