第六章 平面向量及其应用 单元测试（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 第六章 平面向量及其应用
一、单选题
1．已知向量，，若向量与垂直，则m=（ ）
A． B．7 C． D．
2．过的中线的中点作直线分别交 于 两点，若，则（ ）
A．4 B． C．3 D．1
3．已知作用在坐标原点的三个力， ，，则作用在原点的合力 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则不是共线向量
7．已知向量，，若，则（ ）
A． B．10 C． D．12
8．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．在等边△ABC中，D为BC的中点，点P为△ACD内一点（含边界），若，则的取值（ ）
A． B． C． D．
10．在中分别是的对边，，若且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
11．若平面向量与的夹角为120°， ， ，则（ ）
A． B． C．2 D．3
12．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
二、填空题
13．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角的大小为_________．
14．三条直线、、两两平行，到的距离为，到的距离为，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_______.
15．已知向量，满足||＝1，||＝2，||＝2，则||＝__．
16．写出一个与向量垂直的非零向量=____．
三、解答题
17．已知向量，，，且，.
（1）求向量和；
（2）若，求.
18．若，，试求，夹角的余弦值．
19．在中，，，，点，在边上且，.
（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
20．如图，平行四边形中，，为线段的中点，为线段上的点且.
（1）若，求的值；
（2）延长、交于点，在线段上（包含端点），若，求的取值范围.
21．已知向量与的夹角为，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得实数的值．
【详解】
解：已知向量，，若向量与垂直，
则，解得，
故选：B．
2．A
由为的中点得到 ，设，结合，得到，再由，得到，然后利用与不共线求得m，n即可.
【详解】
解：由为的中点可知，，
，
设，
则，
，
，
，
，
与不共线，
，解得，
故选：.
3．A
由题意，根据向量的坐标运算法则，即可求得的坐标，得到答案.
【详解】
由题意，作用在坐标原点的三个力，，，
则，即的坐标为.
故选：A.
4．A
利用数量积公式求模.
【详解】
，解得：或（舍）
故选：A
5．D
根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】
因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
6．C
A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；
B. 不一定相等，所以该选项错误；
C. 若，则，所以该选项正确；
D. 若，则也有可能是共线向量，所以该选项错误.
【详解】
A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；
B. 若，则不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；
C. 若，则，所以该选项正确；
D. 若，则也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.
故选：C
7．B
根据即可得出进行数量积的坐标运算即可求出，从而得出的坐标，进而得出的值．
【详解】
∵向量，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：B.
本题考查平面向量的坐标运算，利用向量垂直则数量积为0是解题的关键，也是常考点，属于基础题.
8．B
先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：B
9．D
过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F，过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N，求出，，即得解.
【详解】
解；过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F，
由题意知，点P在线段EF上，
过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N（如图所示），
由题得，即，.
所以.
故选：D.
10．B
由三角形内角和定理及诱导公式可得，，再利用正弦定理，将已知等式中的角化边，可得，然后利用余弦定理，可得的值，最后由三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：在中，由，即，
，
，
，
由正弦定理得，
，，
，
，化简得，
又由余弦定理得，
，即，解得或（舍），
的面积．
故选：B．
11．B
直接化简，求出答案.
【详解】
化简，
或（舍去）.
故选：B.
12．B
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
13．##
由正弦定理得，化简得到，进而求得的值，即可求解.
【详解】
因为，可得的，
由正弦定理得，
因为，
化简得，
又因为，可得，所以，
又由，可得.
故答案为：.
14．或
分两种情况讨论：（1）、在的异侧；（2）、在的异侧.在两种情况下，设等边三角形的顶点、、，设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，根据已知条件建立关于、的等式组，求出的值，由此可求得等边三角形的面积.
【详解】
分以下两种情况讨论：
（1）若、在的异侧，设等边三角形的顶点、、，如下图所示：
过点作直线的垂线分别交直线、于点、，则，，
设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，则也为锐角，
由，解得，
由题意可得，解得，
此时，该三角形的面积为；
（2）若、在的异侧，设等边三角形的顶点、、，如下图所示：
过点作直线的垂线分别交直线、于点、，则，
设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，则也为锐角，
由，解得，
由题意可得，解得，
此时，该三角形的面积为.
综上所述，该等边三角形的面积为或.
故答案为：或.
关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键就是选择合适的角，将问题中的边与相应的角用来边角，根据已知条件产生相等关系，结合三角函数相关知识求解.
15．
先将||＝2两边平方，求出，再将||平方，即可求得结论．
【详解】
由题意知：，即，
而，
∴||，
故答案为：．
16．(2，1)
根据平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
设，因为，
所以，当时，，
所以与向量垂直的非零向量可以是，
故答案为：
17．（1），；（2）5.
（1）利用向量平行和垂直的坐标运算求解即可；
（2）利用向量的坐标运算及数量积运算公式求解即可
【详解】
（1）因为向量，，，
由，可得，解得，
由，可得，解得，
所以，.
（2）因为，
所以.
18．
直接利用，，得到，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】
∵，∴．①
∵，∴，②
由①-②得：，故，③
把③代入①得，从而，即．
19．（1）；（2）.
（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.
【详解】
（1）设，，
则，，因此，
所以，
，
（2）因为，所以，
同理可得，，
所以
，
∴，即，
同除以可得，.
本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
20．（1）；（2）
（1）由题意可得，，进而可得结果.
（2）设，则，则，，由，即可得出结果.
【详解】
（1）∵∴
∴
由已知
∴，∴，∴
（2）∵，N为的中点，
易证与全等，则，
设，则
∵
∵∴
∴
21．（1）2；（2）．
（1）根据条件可求出，进而求出，然后根据进行向量数量积的运算即可求出的值；
（2）根据可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值．
【详解】
（1），，
，
；
（2），
，解得．
答案第1页，共2页
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