第七章复数 单元测试（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 第七章 复数 同步练习
一、单选题
1．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（ ）
A．0 B．1 C．-i D．-1
2．已知i为虚数单位，则（ ）
A．1+i B．1－i
C．－1+i D．－1－i
3．已知复数的虚部为1，且，则可以是（ ）
A． B． C． D．
4．若复数对应的点是，则（ ）
A． B． C．-1 D．1
5．若复数z满足（是虚数单位），则复数在复平面中对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知a为实数，i为虚数单位，若是纯虚数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．设复数，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数满足，若在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．设复数：，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
10．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知，若（为虚数单位），则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
12．已知是虚数单位，，则复数的共轭复数的模是（ ）
A．5 B． C． D．3
二、填空题
13．若复数为纯虚数为虚数单位，则实数a的值为________
14．已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________．
15．已知复数（其中是虚数单位），则____.
16．若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____．
三、解答题
17．已知i是虚数单位，设复数z满足.
（1）求的最小值与最大值；
（2）若为实数，求z的值.
18．求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
19．已知：复数，其中为虚数单位．
（1）求及；
（2）若，求实数，的值．
20．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2＋i(∈R)．若与共线，求的值．
21．已知复数（）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
由已知条件得，结合复数的除法运算即可得到标准形式，从而求出复数的虚部.
【详解】
解：，∴，
∴z的虚部为-1.
故选:D.
2．B
利用复数运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
3．C
首先由待定系数法得到，再根据求得的值，进而得到结果即可.
【详解】
因为复数的虚部为1，可设复数，
又，所以整理得，
故，
故选：C
4．B
由题得，代入化简即得解.
【详解】
由题得.
故选：B
5．C
先对复数进行化简，然后结合复数的几何意义即可求解．
【详解】
由，得
，所以复数在复平面中对应的点为，在第三象限．
故选：C．
6．B
根据复数的分类计算．
【详解】
，它是纯虚数，则，．
故选：B．
7．D
根据复数模的定义求解即可.
【详解】
,.
故选：B
8．A
先利用复数的除法运算化简复数，再令其实部小于，虚部大于即可求解.
【详解】
因为，
因为在复平面内对应的点在第二象限，
所以得，
所以实数a的取值范围为，
故选：A.
9．A
根据虚数单位的周期和复数的除法运算即可得到答案.
【详解】
因为
所以.
故选：A.
10．C
求出为纯虚数时的值，与比较，判断出结果
【详解】
，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件
故选：C
11．B
将展开可得答案.
【详解】
，所以
故选：B
12．C
首先求出复数的共轭复数，再求模长即可.
【详解】
据题意，得，
所以的共轭复数是，所以.
故选：C.
13．
将复数化成代数形式后，再根据纯虚数的概念求出的值即可．
【详解】
是纯虚数，
且，
解得.
故答案为：.
本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，考查学生的运算运算能力，解题的关键是正确进行复数的运算．
14．或
设方程的两根分别为，，用表示出，利用韦达定理求得或，分情况结合两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，求得的值.
【详解】
解：方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，
设方程的两根分别为，，
则，得，，则，
则，
则或
当时，，
，
设在复平面上对应的点为，则，设在复平面上对应的点为，则，
则，得，
则，
当时，，，
，
此时，即，即，
∴，
故答案为：或.
15．##
利用复数的四则运算法则化简可得结果.
【详解】
由已知条件可得.
故答案为：.
16．
因为，设，则，根据根与系数关系及模求解.
【详解】
因为，此时方程两根为共轭虚根，
设，则，
，
.
故答案为：.
17．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析
（1）根据题意，可知的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义求得结果；
（2）根据为实数，列出等量关系式，求得结果.
【详解】
（1）设，根据，
所以有，
所以的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆，
所以，
其表示点到的距离，
所以其最大值为圆心到的距离加半径，
最小值为圆心到的距离减半径，
所以最大值为，最小值为；
（2），
因为为实数，所以，
即，所以或，
又因为，
所以（舍去），，，，
所以或或.
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.
18．(1)证明见解析，(2)证明见解析，(3)证明见解析，(4)证明见解析，
（1）设，分别计算即可得到两式相等；
（2）设，分别计算即可得证；
（3）设，，分别计算即可得证；
（4）设，，分别计算即可得证.
【详解】
证明：对于（1）（2），设，则.
（1），
.
（2）.
对于（3）（4），设，，则，.
（3），
，∴.
（4）∵，
∴，
又，
∴.
此题考查复数的运算，涉及共轭复数概念，复数模长计算，乘法、除法、乘方运算.
19．（1），；（2）
（1）利用复数的运算法则，求出，再根据复数的模的定义求出；
（2）根据复数的运算法则，以及复数相等的充要条件，即可求出实数，的值.
【详解】
（1），
（2）由得：
，即
所以，解之得
本题考查了复数的运算法则，复数的模的定义，共轭复数的概念，复数相等的充要条件，考查了学生的运算能力，属于基础题.
20．.
由已知可得＝(－3，4)，＝(2，1)，再由与共线，结合平面向量共线定理可得，存在实数，使＝，从而得到，进而可求出的值
【详解】
解：因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2＋i，
所以＝(－3，4)，＝(2，1)．
因为与共线，所以存在实数，使＝，
即(2a，1)＝(－3，4)＝(－3，4)，
所以，解得
即的值为.
此题考查复数的几何意义和共线向量定理，属于基础题.
21．（1）；（2）．
（1）由实部为0且虚部不为0列式求解的值；
（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
【详解】
解：（1）由题意，解得．
（2）∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，
∴，
解得：．∴实效a的取值范围是．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
答案第1页，共2页
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