3.2函数的基本性质 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 3.2 函数的基本性质
一、单选题
1．已知定义在R上的奇函数,当时, ,那么当时, 的解析式为（ ）.
A． B．
C． D．
2．若函数与的定义域均为，则（ ）
A．为偶函数，为奇函数 B．与均为奇函数
C．为奇函数，为偶函数 D．与均为偶函数
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．定义，已知函数，的定义域都是，则下列四个命题中为假命题的是（ ）
A．若，都是增函数，则函数为增函数
B．若，都是减函数，则函数为减函数
C．若，都是偶函数，则函数为偶函数
D．若，都是奇函数，则函数为奇函数
6．下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
8．在单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数，，，满足，且，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
11．定义在上的偶函数满足：在上，图象上任意两点，满足.则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知是定义在上的奇函数，且；当时，，则
A．-1 B．0
C．1 D．2
14．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
15．若，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
二、填空题
16．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
17．已知定义在上的奇函数，当时，，则_____．
18．已知，，且，则的最大值是______．
三、解答题
19．对于函数，若定义域中存在实数、满足且，则称函数为“函数”．
（1）判断，是否为“函数”，并说明理由；
（2）设且，若函数，为“函数”，且的最小值为5，求实数的取值范围．
20．定义在上的函数是奇函数，其部分图象如图所示：
（1）请在坐标系中补全函数的图象；
（2）比较与的大小.
21．已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若，求时函数的值域.
22．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据奇函数的定义,可以直接写出当时, 的解析式.
【详解】
解：设,则,
∵
∴.
故选D
本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,考查了奇函数的性质.
2．A
因为定义域为R，所以代入利用定义判断和的奇偶性即可.
【详解】
解：因为和定义域均为，所以有，，所以为偶函数，为奇函数.
故选：A
3．A
先根据条件分析出的奇偶性，然后取特殊值计算函数值分析得到的大致图象.
【详解】
因为，且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，所以排除BC，
又因为当且较小时，可取，所以，所以排除D，
故选：A.
本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一般.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小等.
4．B
首先求出函数的定义域，再将函数改写成分段函数，最后根据函数在上的单调性判断即可；
【详解】
解：因为，所以定义域为，所以，当时，因为与在上单调递增，所以函数在定义域上单调递增，故排除A、C、D，
故选：B
5．D
由已知条件，结合具体函数的单调性和奇偶性，举出反例来验证每个选项是否为假命题即可.
【详解】
对于选项，若，都是增函数，可知函数图象均为上升，则函数为增函数，则为真命题；
对于选项，，都是减函数，可知函数图象均为下降，则函数为减函数，则为真命题；
对于选项，若，都是偶函数，可知函数图象均关于轴对称，则函数为偶函数，则为真命题；
对于选项，若，都是奇函数，设奇函数和，则函数
，函数图象如下图所示，观察发现此函数图象并不关于原点对称，则函数不是奇函数，故则为假命题.
故选：.
6．A
由基本函数的性质逐个分析判断
【详解】
解：对于A，是过原点，经过一、三象限的一条直线，在上为增函数，所以A正确，
对于B，是一次函数，且，所以上为减函数，所以B错误，
对于C，是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在上是减函数，所以C错误，
对于D，是二次函数，对称轴为轴，开口向下的抛物线，在上是减函数，所以D错误，
故选：A
7．C
根据函数的定义域以及单调性可得，解不等式组即可．
【详解】
因为函数是定义在的单调递增函数，且，
所以，
解得或．
故选：C．
8．A
根据复合函数单调递减，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题可知， 解得
所以实数的取值范围为
故选：A
9．D
先求解出方程的解，然后利用换元法（）将表示为关于的函数，根据条件分析的取值范围，然后分析出关于的函数的单调性，由此求解出的取值范围.
【详解】
因为，所以且，
令，则，且，所以，
又因为且，所以且，
所以，所以，所以，
当时，，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
当时，，当时，，所以；
当时，，
因为、在上单调递增，所以在上单调递减，
当时，，当时，，所以，
综上可知：，
故选：D.
关键点点睛：解答本题的关键在于构造函数方法的使用，通过方程根的计算以及换元方法的使用将多变量问题转化为单变量问题，最后通过函数的性质解决问题.
10．D
根据已知可判断是周期为4的周期函数，即可根据周期求出.
【详解】
解：根据题意，是定义域为的奇函数，则且，
又由为偶函数，则，则有，
故有，函数是周期为4的周期函数，
故，，
故，
故选：D.
11．B
由题可知在单调递减，根据在上是偶函数，可得等价于，利用单调性即可解出.
【详解】
在上，图象上任意两点，满足，
在单调递减，
在上是偶函数，
等价于，
，解得或.
故选：B.
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于基础题.
12．A
可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】
根据题意可知，
可转化为，
所以在[0，+∞)上是增函数，又，
所以为奇函数，所以在R上为增函数，
因为，，
所以，
所以，
解得，
即x的取值范围是.
故选：A.
【关键点点睛】
本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.
13．A
由周期为4可以得，再利用为奇函数得，再代入已知函数求值即可.
【详解】
由可得函数周期为T=4，
又因为是定义在上的奇函数，
所以.
本题主要考查函数的奇偶性及周期性的综合应用，其中，若函数周期为T，则.
14．B
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
15．B
由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解
【详解】
构造函数，
由，
可得，
，且定义域为，
是奇函数，
，
又易得为上的单调递增函数
故选：B
16．①②③
根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】
表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
17．
根据奇函数的定义域关于原点对称可得的值，再由奇函数的定义即可求解.
【详解】
因为是定义在上的奇函数，
可得，解得：，
又由当时，，
所以，
故答案为：.
18．
利用，，且，求出的范围，将消元得，利用二次函数的最值及倒数法则即可求得的最大值.
【详解】
解：因为，，且，所以，
，
当时，取最小值，
所以取最大值，
故的最大值是.
故答案为：.
19．（1）不是，答案见解析；（2）．
（1）反证法.假设其为“函数”，代入值得到两组等式，相减，分解因式得到，与题设矛盾.故不是“函数”.
（2）分类讨论分析的单调性，只有时符合题意.通过运算得到三者关系式，，，由的最小值为5，得到取值范围满足，从而得到的取值范围.
【详解】
（1）若，是“函数”，
则满足
则，两式相减得
故
即，则这与矛盾
故，不是否为“函数”
（2），
①若，则，则在时单调递减，故不满足存在使得，不合题意
②若，因为，单调递减，且
故时，单调递减，故时，单调递增，
故，
，
，
若
则，则，故
得，不合题意
若
则，则，故
得.
故，，
若中存在实数、满足且，的最小值为5.
故在中存在满足，且
故，故
综上所述，的取值范围为
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
20．（1）图见解析；（2）.
（1）根据奇函数的图象特征可作出函数的图象；
（2）结合图象可得出与的大小关系.
【详解】
（1）因为是奇函数，所以其图象关于原点对称，如下图所示：
（2）观察图象，知.
本题考查奇函数图象的补全，同时也考查了奇函数图象的应用，解题的关键就是要根据奇函数的图象特征作出函数的图象，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
21．（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数，证明过程见解析；（2）
（1）运用单调性的定义进行分类讨论进行判断证明即可；
（2）根据求出的值，结合（1）中的结论进行求解即可.
【详解】
解：（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数.
当时，证明如下：
任取，
则.
因为，
所以，得，故函数在上是单调减函数；
同理可证：当时，函数在上是单调增函数.
（2）由.
由（1）得在上是减函数，
从而函数在上也是减函数，
其最小值为，
最大值为.
由此可得，函数在上的值域为.
22．（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析．
（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，
（2）利用函数单调性的定义证明，先取值，再作差变形，判断符号，然后得出结论
【详解】
解：（1）根据题意，函数为偶函数，
证明：，其定义域为，
有，则是偶函数；
（2）证明：设，
则，
又由，则，
必有，
故在上是减函数．
答案第1页，共2页
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