3.3幂函数 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 3.3 幂函数 同步练习
一、单选题
1．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
2．若为幂函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域是全体实数，则实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
4．设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
5．已知幂函数过点，则在其定义域内（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数 C．有最大值 D．有最小值
6．下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．开普勒（Johannes Kepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为（ ）
A．0.66a B．0.70a C．0.76a D．0.96a
8．若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（ ）
A．，， B．
C． D．
9．若函数为幂函数，且在单调递减，则实数m的值为（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
10．如图表示的时四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图像，则幂函数的图像可能是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
11．定义在上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
12．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
13．已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
16．已知为幂函数，且图象过，则________
17．已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是__________．
18．已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为______.
三、解答题
19．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1），；（2），.
20．已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.
21．已知函数是幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
22．已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．
【详解】
∵函数是幂函数，
∴，解得：m= -2或m=3．
∵对任意，，且，满足，
∴函数为增函数，
∴，
∴m=3（m= -2舍去）
∴为增函数．
对任意，，且，
则，∴
∴．
故选：A
(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x前的系数为1；
(2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．
2．D
由幂函数的图象特征可排除部分选项，再由给定单调性即可判断作答.
【详解】
因为幂函数的图象都经过点，显然选项A，B都不满足，即A，B都不是幂函数；
而函数是幂函数，但在上单调递增，C不符合要求；
是幂函数，且在上单调递减，D满足.
故选：D
3．B
将定义域为的问题转化为对一切实数都成立，利用二次函数的性质，即可得出实数的取值范围.
【详解】
函数
因此，要使函数的定义域为全体实数，
需满足对一切实数都成立
即解得.
故选：B
本题主要考查了已知函数的定义域求参数的范围，注意把定义域为的问题转化为一元二次不等式在上的恒成立问题，属于中档题.
4．C
由题可得，再根据奇偶函数的定义依次判断即可.
【详解】
是奇函数，是偶函数，，
对于A，，故是奇函数，故A错误；
对于B，，故是偶函数，故B错误；
对于C，，故是奇函数，故C正确；
对于D，，故是偶函数，故D错误.
故选：C.
5．A
设幂函数为，代入点，得到，判断函数的奇偶性和值域得到答案.
【详解】
设幂函数为，代入点，即，
定义域为，为偶函数且
故选：
本题考查了幂函数的奇偶性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
6．C
对AB：直接判断其单调性；
对C：把 化为，判断其单调性；
对D：利用判断的单调性.
【详解】
本题考查函数的单调性.
A项中，函数在上单调递减，故A错误；
B项中，二次函数的图像开口向下，对称轴方程为，故该函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C项中，函数，在和上分别单调递增，故C正确；
D项中，函数在上单调递减，故D错误.
故选：C
方法点睛：四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.
7．C
设金星运行轨道的半长轴为，金星和地球的公转周期分别为，，根据题意可得，进而结合，即可得出结果.
【详解】
设金星运行轨道的半长轴为，金星和地球的公转周期分别为，，由开普勒定律得.因为，所以，即.
因为函数在上单调递增，且，且，所以，因此，
故选：C.
8．D
利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据的定义域和单调性求不等式的解集．
【详解】
解：设幂函数的解析式为，
由幂函数的图象过点，得，
解得，
所以；
所以的定义域为，，且单调递增；
又等价于，
解得；
所以的解集为，
故选：D．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
9．C
根据函数为幂函数列式，结合单调性求得的值．
【详解】
由于函数为幂函数，
所以，解得或，
时，，在上递减，符合题意，
时，，在上递增，不符合题意．
故选：C
10．D
根据幂函数的图象与性质，得到为增函数，且增加的速度越来越缓慢，结合给定的图象，即可求解.
【详解】
根据幂函数的图象与性质，可得幂函数为增函数，且增加的速度越来越缓慢，
结合给定的图象，只有④符合.
故选：D.
11．D
由函数为奇函数且在单调递减，求得，结合函数的单调性，把不等式转化为，得到，即可求解.
【详解】
由题意，函数为奇函数且在单调递减，
因为，可得，
要使不等式成立，即成立，
则实数满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中结合函数的单调性和奇偶性合理转化为是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
12．A
先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再代入自变量的值即可求出函数值．
【详解】
设幂函数，
幂函数的图象过点，
，解得，
幂函数，
（9）
故选：．
本题主要考查了幂函数的定义，以及待定系数法求函数解析式，是基础题．
13．D
由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得，有且，进而可求的取值范围.
【详解】
由是幂函数，知：，又在上，
∴，即，则且，
∴.
故选：D.
关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m、n的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.
14．A
根据函数的定义域和幂函数的性质可判断出结果．
【详解】
由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，
故选：A．
15．C
首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】
由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，
所以，解得，或.
故的取值范围为.
故选：C.
16．
根据幂函数的概念设（为常数），将点的坐标代入即可求得值，从而求得函数解析式，即可得到答案.
【详解】
由题意，设（为常数），则，所以，
即，所以.
故答案为：.
本题考查待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题.
17．
利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据单调性、奇偶性可得，解一元二次不等式，求得的范围．
【详解】
幂函数过点，，
，
幂函数，显然是奇函数，且在上单调递增．
若，则不等式即，
，，
故答案为：．
18．1
根据定义得到，然后利用分段函数的性质求解.
【详解】
由题意得：，
当或时，，
当时，，
综上：函数的最小值为1，
故答案为：1
19．（1）；（2）.
（1）根据的单调性比较大小；
（2）根据在上的单调性比较大小.
【详解】
解：（1）设，则在R上为增函数.
，.
（2）设，则在上为减函数，
，.
本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题.
20．或，.
由幂函数的概念求解．
【详解】
为函数，，解得或.
当时，，则，且有；
当时，，则，且有.
故所求幂函数的解析式为或，它们的定义域都是.
本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．
21．（1）；（2）存在，.
（1）根据函数是幂函数，且，求出实数，即可求出函数的解析式；
（2）化简得，求出对称轴，分，，三种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.
【详解】
解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则，故不符题意，
当时，，则，符合题意，
所以；
（2）由（1）得 ，
函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间上递减，
则，解得，符合题意；
当时，函数在区间上递增，
则，解得，符合题意；
当时，，解得，不符题意，
综上所述，存在实数满足题意.
22．(1)
(2)
（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于轴对称进行求值；
（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解.
(1)
解：因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，
又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；
综上所述，.
(2)
解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，
即，即，解得，
所以满足的实数的取值范围为.
答案第1页，共2页
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