3.4函数的应用（一） 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 3.4 函数的应用（一）
一、单选题
1．2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为
级数 全月应纳税所得额 税率(%)
1 不超过元 3
2 元 10
注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额.A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元
2．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）
A．y＝10－x(0B．y＝10－2x(0C．y＝20－x(0D．y＝20－2x(03．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（ ）
A．15 B．40 C．25 D．13
4．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为
A． B． C． D．
6．为定义在上周期为2的奇函数，则函数在上零点的个数最少为（ ）
A．5 B．6 C．11 D．12
7．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
8．某种图书，如果以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本，若单价每提高0.1元，销售量将减少2000本，如果提价后的单价为元，下列各式中表示销售总收入不低于20万元的是
A． B．
C． D．
9．已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额：
（1）如果标价总额不超过200元，则不给予优惠；
（2）如果标价总额超过200元但不超过500元，则按标价总额给予9折优惠；
（3）如果标价总额超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.
某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ）
A．550元 B．560元 C．570元 D．580元
11．如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的
A． B．
C． D．
12．若矩形的一边长为，周长为，则当矩形面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．某汽车在同一时间内速度 (单位：)与耗油量(单位：)之间有近似的函数关系，则车速为_____时,汽车的耗油量最少.
14．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ；
15．已知函数，若函数与轴有个交点，则实数的取值范围是_________．
16．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．
17．某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x千件，需投入成本c（x）万元，c（x）＝x2+10x．若该产品每千件定价a万元，为保证生产该产品不亏损，则a的最小值为_____．
三、解答题
18．某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
19．某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．
（1）试用销售单价表示利润；
（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
20．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升） 且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
21．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
设此人的工资为元，则根据题设条件可得纳税额与的关系，再令，则可得此人的工资收入.
【详解】
设此人的工资为元，纳税额为，则有，
当时，，故当（元）时，，
令，
则（元），故选A.
本题考查分段函数的应用，属于基础题.
2．A
利用周长列方程，化简求得关于的表达式，求得定义域，由此求得函数解析式.
【详解】
由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0所以函数解析式为.
故选：A
3．C
这是已知函数值求自变量的问题，又是分段函数，所以分类讨论求解即可．
【详解】
解：令，若，则，不合题意；
若，则，满足题意；
若，则，不合题意．
故拟录用人数为25．
故选：．
本题考查的是分段函数问题，在解答的过程当中充分体现了应用题的特性、分段函数的知识以及问题转化的思想，属于基础题．
4．D
列出利润的表达式再求解的解即可.
【详解】
因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
故选：D
本题主要考查了实际应用中的利润问题,属于基础题.
5．B
【详解】
试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．
考点：函数的解析式及常用方法．
【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．
6．C
由奇函数的性质及函数的周期性即可得方程的解，即可得解.
【详解】
因为为定义在上周期为2的奇函数，
所以，，
所以，，，，
所以，
所以，即，
所以，，，，.
所以函数在上零点的个数为11.
故选：C.
本题考查了函数奇偶性与周期性的应用，考查了函数零点的概念，属于基础题.
7．D
设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可．
【详解】
解：设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．
故选：D．
8．C
利用每本提高钱数乘以实际售出为总收入列不等式即可
【详解】
提价后的价格为元，则提高了元，则销售减少了本，即减少了万本，实际售出万本，则总收入为，
故选C
本题考查二次函数的实际应用问题，准确分析题意是关键，是基础题
9．B
根据分段函数的单调性以及，可得且，令，则，然后用表示，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果.
【详解】
因为函数在上递减，在上递增，又，
所以，且，令，则，
所以，，
所以，
设函数，，
∵在上单调递增，
∴，即，
∴，
故选：B．
关键点点睛：根据分段函数的单调性以及得到，且是解题关键.属于中档题.
10．C
先判断第一次购物不超过200，第二次不超过500，计算得到共购物650元，再计算得到答案.
【详解】
若第一次购物超过200，则付款大于，故第一次购物不超过200元；
若第二次购物超过500，则付款大于，故第二次购物不超过500元；
第二次购物 合计
付款为
故选：
本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11．A
先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断.
【详解】
当点在上时：
当点在上时：
当点在上时：
由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数
故选：A
本题主要考查了分段函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．C
求出矩形的面积关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质可求得矩形面积的最值及其对应的值.
【详解】
矩形另一边长为，且有，
面积为，所以，当时，取最大值．
故选：C.
本题考查二次函数模型的应用，涉及二次函数最值的求解，考查计算能力，属于中等题.
13．35
利用二次函数的性质可求耗油量最少时对应的的值.
【详解】
因为可化简
，故当时，汽车的耗油量最少.
故填.
本题考查二次函数在实际问题中的应用，属于基础题.
14．20吨
依题意写出表达式，均值不等式求最小值．
【详解】
由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨．
实际问题一定注意实际问题中自变量的取值，取等号的条件．
15．
先将函数与轴有个交点，转化成与的交点问题，再作出分段函数的图像，利用数形结合求得范围即可.
【详解】
依题意，函数与轴有个交点， 即与有3个交点，
作分段函数的图像如下，
由图可知，的取值范围为.
故答案为：.
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
16．7
确定函数解析式，解不等式，即可得到结论．
【详解】
设二次函数y=a(x-6)2+11，
又过点(4，7)，
所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.
解y≥0，得6-≤x≤6+，
所以有营运利润的时间为2.
又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年.
故答案为：7
17．130
本题先根据题意建立函数与不等式关系，再运用参变分离化简，最后运用基本不等式求最值即可.
【详解】
解：有题意建立利润函数关系：，（）
整理得：，
为保证生产该产品不亏损，则，（）
即，
当且仅当即，取最小值130，此时产品不亏损
故答案为：130.
本题考查函数与不等式关系、参变分离法，基本不等式解决实际问题中的最值问题，是基础题.
18．边长为的正方形时
设广告牌的长为，则宽为，根据矩形的面积公式配方即可求解.
【详解】
解：设广告牌的长为，则宽为.
设广告牌的面积为.则.
当时，y取最大值.此时宽为.
∴当这个广告牌为边长为的正方形时，面积最大.
本题考查了二次函数模型的应用，注意定义域的取值范围，属于基础题.
19．（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
（1）由利润销售总收入总成本可得答案；
（2）对于配方法即可求得最大值．
【详解】
（1）
.
（2），
∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
20．（1）16天（2）
(1)由题意首先得到该药剂在水中释放的浓度的解析式，然后求解不等式即可确定自来水达到有效净化一共可持续的天数.
（2）由确定各段的单调性，求出值域，然后将原问题转化为恒成立的问题可得m的最小值.
【详解】
（1）由题意，当药剂质量为m=4，所以
当时，显然符合题意．
当x＞4时，解得，
综上，
所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
（2）由，得：
在区间（0，4]上单调递增，即；
在区间（4，7]上单调递减，即，
综上，
为使恒成立，只要且即可，
即所以应该投放的药剂质量m的最小值为
本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及应用：求值域，注意函数的各段解析式，属于中档题．
21．图像见解析，定义域：，值域：，讨论见解析，证明见解析
函数，可得．可得定义域，，可得，可得值域；在求解奇偶性，并作出其大致图象，利用定义证明单调性即可；
【详解】
解：.
列表：
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
… 1 1 …
描点，连线.图象如图所示.
定义域：，值域：.在上是增函数，在上是减函数.
证明如下：设任意的，且.则.
.
，即，在上是增函数.
设任意的，且，则.
，
，即.
在上是减函数.
是偶函数.
本题考查幂函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页