4.1数列的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.1数列的概念 同步练习
一、单选题
1．对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得，，则称是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7
2．在数列中，，则（ ）
A．25 B．32 C．62 D．72
3．已知数列中，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
4．已知数列满足，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．在等差数列中，若，且，则（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知数列的前n项和为，则数列前10项和是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（　　）
A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数列
9．已知数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．已知数列满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
11．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=则解下4个环所需的最少移动次a4数为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．22
12．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．数列中，，，则______.
14．在数列中，，则___________.
15．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列，，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2020项和为________.
16．已知数列中，则___________.
17．在数列中，，，则的值为_________.
三、解答题
18．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合.
19．已知数列的前项和为正整数）．
（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，求.
20．如果，，，那么就称表示x的整数部分，表示x的小数部分.已知数列满足，，求的值.
21．已知正项数列的前n项和满足：．数列满足且
（1）求
（2）令求数列的前项和
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
由数列通项公式写出前n项，结合数列 “谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”.
【详解】
由an＝，则，，，
当n≥7，n∈N*时恒有> 0，
∴an＝＝，此时数列{an}递增，
综上，a2∴数列{an}的“谷值点”为2，7.
故选：C.
2．B
令，故函数在上单调递减，在上单调递增，进而得当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，再根据函数单调性去绝对值求和即可.
【详解】
解：令函数，
由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，
所以
所以
故选：B
3．C
首先根据及，依次写出，，，，可以发现，则数列是以4为周期的周期数列，进而可以得到的值.
【详解】
∵，，
∴，，，，
而，∴数列是以4为周期的周期数列，
∴.
故选：C.
4．B
利用数列的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出，，利用放缩法可判断BCD选项的正误.
【详解】
由，可得出，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，即，
所以，数列为单调递增数列，故，A错；
在等式的两边同时除以可得，其中且，
所以，，，，，
累加得，所以，，则，故.
故D错误；
对于，
所以，，，，，
累加得，可得，则，
所以，，故， .
故选：B.
结论点睛：几种常见的数列放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）.
5．A
由递增数列的定义可推出的取值，然后利用充分不必要条件的概念可得.
【详解】
若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，
∴
即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，
于是有，
∵由可推得，
但反过来，由不能得到，
因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
6．A
将结合前项和公式全部表示成关于的表达式，化简可求解
【详解】
由得，整理得，即．
故选：A
7．C
先求通项，再裂项求和即可.
【详解】
，，
，
又，所以，
，
前10项的和.
故选：C.
8．C
利用作差法判断.
【详解】
因为，
所以数列是递增数列，
故选：C
9．D
根据给定条件求出，再利用当时，求出即可得解.
【详解】
数列的前项和为，因，则，，
所以.
故选：D
10．C
本题首先可以根据得出，然后通过累加法求出，再然判断数列的单调性即可求出.
【详解】
因为，
所以，即，
则
，
当时，上式成立，故，，
设，
则，
故数列是单调递增数列，
则当时，即的最小值为1.
故选：C.
方法点睛：解决数列问题的常用方法：
（1）根据定义判断数列为等差等比数列；
（2）利用求数列通项；
（3）对于，利用累加法求通项；
（4）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和.
11．A
根据通项公式直接求项即得结果.
【详解】
因为数列{an}满足a1=1，且an=
所以a2=2a1-1=2-1=1，所以a3=2a2+2=2×1+2=4，
所以a4=2a3-1=2×4-1=7.
故选:A
本题考查根据数列通项求项，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．D
首先通过列举数列的项，得到数列是周期数列，利用周期判断选项.
【详解】
，，，，……
所以数列是以3为周期的周期数列，前三项和，
，，所以，
，，所以.
故选：D
关键点点睛：本题的关键是根据递推公式，列举数列中的项，判断数列是周期数列.
13．
根据递推关系可得数列是以3为周期的周期数列，即可求解.
【详解】
，，
，，，……
数列是以3为周期的周期数列，
，.
故答案为：.
14．
根据已知条件求得，用累乘法求得.
【详解】
依题意，，
即，
所以
.
故答案为：
累乘法求数列的通项公式，主要把握住.
15．1347
根据新数列定义，写出新数列前几项，观察发现为周期数列，根据周期性求数列的前2020项和.
【详解】
解：由题意可得，
所以数列，
所以数列是一个周期为3的周期数列，
而2020除以3商673余1，
所以数列的前2020项和为，
故答案为：1347
解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
16．
根据条件可构造等比数列，求出的通项公式即可求解出的通项公式.
【详解】
因为，所以且，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
故答案为：.
本题考查利用递推公式构造等比数列求解数列通项公式，难度一般.满足的数列可以通过构造等比数列求解出其通项公式.
17．
根据递推关系式求出前四项，可归纳知数列的周期，求解即可.
【详解】
在数列中，，，
，，，
数列是周期为3的周期数列，
，
.
故答案为；
18．（1）；（2）.
（1）将等式化简为，利用累加法即可求得结果；（2）先证得是递增数列，求得到，可以得出前4项和小于12，，从而得出结论.
【详解】
（1）因为，所以.
因为，，…，，
所以，
于是.
当时，，
所以.
（2）因为，所以是递增数列.
因为，，，，，
所以，，，，，
于是所有正整数的取值集合为.
方法点睛：遇到的形式，一般采用累加法求解，即可得.
19．（1）证明见解析，；（2）.
（1）首先根据前项和利用公式得出和有关的式子，在计算过程中发现可用代替，从而得到数列是等差数列，求出数列的通项公式，由此得出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法计算可得.
【详解】
解：（1）由题意，可知：
在中，
当时，可得，即．
当时，，
，
，即，
由题意，，
，即当时，．
又，
数列是首项和公差均为1的等差数列．
，
．
（2）由（1）得，
，
两式相减，得：，
．
本题第（1）题主要考查已知前项和得出一般项的方法以及转化成简单数列再进行计算的方法；第（2）题主要考查运用错位相减法求和，属于中档题.
20．
根据， ，，递推出数列的规律求解.
【详解】
因为，，
所以，
所以，
所以，，
…,
所以当n为奇数时， ；
当n为偶数时，，
所以，
所以.
21．（1），；（2）
（1）由，当时求出，当时，，两式作差即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出通项公式，由，可得，则是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，再利用错位相减法求和即可；
【详解】
解：（1）因为正项数列的前n项和满足：，当时，，解得或（舍去），
当时，，所以，即，即，，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，
因为且，所以，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则
（2）因为，所以，所以①；
②；
①②得，
所以
所以
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