4.2等差数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
2．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝（ ）
A． B．1
C． D．
3．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）
A． B． C．2021 D．
4．数列中，，，那么这个数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
5．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A．15天 B．16天 C．17天 D．18天
6．已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列中，，为数列的前项和，则（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
8．已知首项为，公差为d的等差数列的前n项和为，且满足，则d的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
9．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列各项均不为零，且，若，则（ ）
A．19 B．20 C．22 D．23
11．已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．设数列的前项和为，若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
15．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若数列是递增数列，则实数的取值范围是_______．
17．等差数列的前项和为，且满足，，则使取得最大值的为______．
18．已知数列的前项和为且满足，，则______．
三、解答题
19．在数列中，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在，，，，这2019项中，求被10除余2的项数．
20．已知为数列的前项和，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和.
21．设为等差数列，为数列的前n项和，已知，为数列的前n项和，求的最大值．
22．根据预测，疫情期间，某医院第天口罩供应量和消耗量分别为和（单位：个），其中，，第天末的口罩保有量是前天的累计供应量与消耗量的差．
（1）求该医院第天末的口罩保有量；
（2）已知该医院口罩仓库在第天末的口罩容纳量（单位：个）．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
设等差数列的首项为，公差为d，根据题意列出方程组求解即可.
【详解】
∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，设其首项为，公差为d，
根据题意，
∴立秋的晷长为.
故选：D
本题考查等差数列的通项公式、求和公式，属于基础题.
2．A
依题意得－＝，得数列是以＝为首项，为公差的等差数列，由此根据等差数列的通项公式可得选项.
【详解】
解：依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项，为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，所以a4＝．
故选：A.
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式，或进行求解；
（2）前n项和法：根据进行求解；
（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出，是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列中有，即第n项与第n 1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列中有，即第n项与第n 1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（k、b均为常数，且k≠1，k≠0）.
一般化方法：设，得到 可得出数列 是以k的等比数列，可求出；
②取倒数法：这种方法适用于（k、m、p为常数，m≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；
（7）（b、c为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.
3．A
通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.
【详解】
令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，所以.
故选：A.
本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.
4．B
由已知等式证明数列为等差数列，即可写出等差数列的通项公式.
【详解】
因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，
则.
故选：B
本题考查等差数列的概念及通项公式，属于基础题.
5．A
由题可得每天收到的捐款形成等差数列，利用等差数列的前n项和即可求出.
【详解】
设他们每天收到的捐款形成数列，
则由题可得是首项为10，公差为10的等差数列，
，解得（舍去）或，
所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.
故选：A.
6．C
根据等差数列前项和公式列方程求得与公差，即可求通项公式.
【详解】
设公差为，依题意得
解得
所以
故选：C
7．B
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.
【详解】
解：等差数列中，，
∴，
即，
所以，
则，
故选：B.
8．A
根据等差数列的前n项和公式将展开，利用判别式即可求得答案.
【详解】
由，得，
整理得，
所以，
解得或，
故选:A．
9．B
由得出，在结合等差数列的通项公式与求和公式逐一检验即可.
【详解】
由得
，
化简：，
，
又因为，所以，
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于CD：，故CD错误；
故选：B
10．A
先由，
再求得，化为，利用累乘法求得的通项公式(含有参数t),根据的值求得的值，从而就容易求出结果了.
【详解】
由得，
则.
令，则数列是公差为1，首项为t1的等差数列，所以，所以.
所以
当n1时，，也符合上式，所以；
所以,解得,
所以，
所以，
故选A.
求解本题的关键：（1）由得到，从而得到数列是等差数列；
（2）会利用累乘法得到，进而得到的通项公式．
11．A
利用等差数列的单调性及前n项和的性质分析
【详解】
∵恒成立，∴，∴递增；
反之，可取，则递增，但，
所以“，”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
本题以等差数列的单调性及前n项和的性质为载体，考查充分条件与必要条件的判断，难度一般.
12．B
根据数列与的关系，可得数列从第项开始是等差数列，根据通项公式，即可求解.
【详解】
由得，即，
所以数列从第项开始是等差数列，
又因为，，
所以，所以．
故选：B
13．D
根据题意求出数列的首项和公差，再求出，可得出是单调递增数列，即可判断.
【详解】
设等差数列的公差为，，，
，解得，，
，
，可得是单调递增数列，
所以在，，，中，最大的为．
故选：D.
14．A
运用等差数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】
设等差数列{an}的公差为d，
∵，显然，
∴，
故选：A
15．A
由题意转化为等差数列，由等差数列的通项公式列出方程求解即可.
【详解】
由题设知在等差数列中，，.
所以，，解得，
故选：A
16．
利用退一作差法求得，再求得，根据列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
由可得：
两式相减得：
两式相减可得：
数列，，，...是以为公差的等差数列，数列，，，...是以为公差的等差数列，
将代入及可得：
将代入可得
要使得，恒成立
只需要即可
解得
则的取值范围是.
故答案为：
本小题主要考查已知求，考查数列的单调性，属于中档题.
17．10
由，，结合等差数列的前项和公式得到第10项大于0，第10项和第11项的和小于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．
【详解】
由，，可知为递减的等差数列，
设其公差为，则，
由，，
得，，
所以，，
所以使取得最大值的为10，
故答案为：10．
一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
18．
利用与的关系，替换，构造是等差数列，即可求得数列的通项公式.
【详解】
因为，，
所以，所以是等差数列，公差为3，
又，所以，．
故答案为：
19．(1)
(2)403
（1）根据条件可得为等差数列，结合等差数列的通项公式可得结果；
（2）先表示出被10除余2的整数，可得，结合式子的特点，分为两种情况求解.
(1)
∵且，
∴数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴，∴．
(2)
被10除余2的整数可表示为，
令，可得，
∵，且，为奇数，
∴n为10的倍数或为5的奇数倍且n为偶数．
当n为10的倍数时，n的取值有10，20，30，…，2010，共201个；
当为5的奇数倍且n为偶数时，n的取值有8，18，28，…，2018，共202个．
∴在，，，…，这2019项中，被10除余2的项数为201＋202＝403．
20．(1)；
(2)570.
(1)由给定的递推公式结合进行变形推导即得为等差数列，再求其通项得解.
(2)根据给定条件求出数列的通项即可计算作答.
(1)
由，可知，两式相减得，
即，因，则，
又，，解得，即是首项为3，公差的等差数列，
所以的通项公式.
(2)
由(1)知，，数列与的公共项满足，即，，
而，于是得，即，此时，，
因此，，即，数列是以3为首项，12为公差的等差数列，
令的前项和为，则，
所以的前10项的和为570.
21．45
根据已知条件求得数列的前项和，由此求得，由不等式法求得的最大值.
【详解】
依题意，
所以，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
由解得，
所以当或时，数列的前项和最大，
且最大值为.
22．（1）；（2）第天末，口罩保有量达到最大超过了.
（1）分别将代入和算出前个天的口罩供应量和消耗量，差值即为保有量；
（2）当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，根据和列出不等式，求出的最大值，计算出最大保有量和最大容纳量比较即可得出结论.
【详解】
（1）第天末的口罩保有量是前天口罩供应量和消耗量之差，
将代入和得第天末的口罩保有量为：
，
所以该医院第天末的口罩保有量为；
（2）当时，保有量始终增加.
即，为正整数，解得，
即第天末的时候，保有量达到最大，
此时
，
而容纳量为，
而，所以保有量超过了容纳量.
关键点点睛：本题的关键点是读懂题意当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，前个天的口罩供应量和消耗量差值即为保有量；第二问当时，保有量始终增加，由，为正整数，解得，即第天末的时候，保有量达到最大，计算出前天保有量和第天末的口罩容纳量比较即可.
答案第1页，共2页
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