5.1导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.1导数的概念及其意义
一、单选题
1．已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间以上的“中值点”．则下列函数：①；②；③；④中，在区间上至少有两个“中值点”的函数是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
3．若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．-1 D．4
5．一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．6
6．若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则等于（ ）
A．f ′(x0) B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0
7．下列说法正确的是（ ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
8．已知物体做直线运动的方程为，则表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s
9．已知函数，且，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
10．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
11．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x-1
C．y=-2x-3
D．y=-2x-2
12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，则等于__________.（用数字作答）
14．当时，函数在附近的平均变化率为______．
15．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
16．若曲线在点处的切线的斜率为1，则______．
三、解答题
17．试分别计算函数在上和上的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化较快.
18．已知函数，．
（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．
19．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
20．已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.
21．已知函数.
（1）若的图象在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）在（1）的条件下，证明：当时，；
（3）当时，求的零点个数.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
设切点为，根据导数的几何意义求得在切点处的切线方程，再将代入，求得的值，即可得解.
【详解】
解：因为，所以，
设切点为，
所以在切点处的切线方程为，
又在切线上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以过点可作曲线的切线的条数为2.
故选：C．
2．A
由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于，两点所在直线的斜率，判断各项是否符合要求即可．
【详解】
①，而显然成立，故有无数个“中值点”，符合题设；
②，而，故有且只有一个“中值点”，不合题设；
③，而，故有且只有一个“中值点”，不合题设；
④，而，故有两个“中值点”，符合题设；
故选:A．
3．D
因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.
【详解】
①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.
②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.
∵A在曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或 (舍去)，
∴，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，
即.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.
故选：D
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
4．A
将不等式转化为恒成立，表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.求导函数，进行参变分离得在内恒成立.由基本不等式可求得a的最小值.
【详解】
解：在区间内任取两个实数，，且，
不等式恒成立，即不等式恒成立，
它表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，
即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.
所以在内恒成立，即在内恒成立.
当时，，则，当且仅当时等号成立，
所以，a的最小值为-4.
故选：A.
5．B
根据平均速度的定义有，结合已知函数模型求参数m即可.
【详解】
由已知，得，
∴，解得，
故选：B．
6．B
转化为 ，然后根据导数的定义得解.
【详解】
故选B.
7．D
结合导数的运算以及导数的几何意义举例子可判断A、B、C、D；进而可得正确选项.
【详解】
对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为，
故选项A说法错误；
对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；
对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；
对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，
故选：D．
8．D
根据导函数的定义判断可得选项.
【详解】
解：由导数的意义知表示物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s．
故选：D.
9．D
利用导数定义，可求得，代入，即得解
【详解】
∵，
∴，∴，，解得．
故选：D
10．A
根据平均变化率的公式求解即可.
【详解】
，
所以函数在区间上的平均变化率为.
故选：A
11．A
对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.
【详解】
，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线斜率，
曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.
故选：A
12．C
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】
∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
13．-2
求出的导函数，代入即可求解.
【详解】
，
，
，解得.
故答案为：.
14．##
根据函数平均变化率的定义即可求得答案.
【详解】
由题意，．
故答案为：.
15．
结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】
由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
16．
求得函数的导数，得到，根据题意得出，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，则，
因为曲线在点处的切线的斜率为，
所以，解得．
故答案为：.
本题主要考查了利用导数的几何意义求参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
17．函数在上的平均变化率为；函数在上的平均变化率为；函数在上函数值变化较快.
根据平均变化率公式计算并比较即可.
【详解】
函数在上的平均变化率为.
函数在上的平均变化率为.
因为，
所以函数在上函数值变化较快.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
（I）对原函数求导，根据在内的单调性得在上恒成立，构造函数，求出其最大值即可求出的取值范围;
（Ⅱ）函数有两个极值点分别为，，等价于在内有两根，，将极值点代入作差，设，得到时原不等式成立；时，将原不等式转化为，令，，构造函数，证明，即原不等式成立.
【详解】
（I）由题可知，，
在内单调递减，
∴在内恒成立，
即在内恒成立，
令，则，
∴当时，，即在内为增函数，
当时，，即在内为减函数，
∴，即，，
∴；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，
则在内有两根，，
，两式相减，得，
不妨设，
当时，恒成立，
当时，要证明，只需证明，
即证明，即证明，
令，，
令，
，
在上单调递减，
，
，
即成立，
.
本题主要考查导数在研究函数中的应用，不等式的转化，构造函数讨论是解决问题的关键.
19．（1）；（2）证明见解析，定值为.
（1）由曲线在点处的切线方程为，可得，从而求出的值，进而可得的解析式；
（2）设点为曲线上任意一点，则可得点的切线方程为，从而可求出切线与直线和直线的交点坐标，进而可求出所求面积
【详解】
（1）将点的坐标代入直线的方程得，
，则，直线的斜率为，
于是，解得，故；
（2）设点为曲线上任意一点，由（1）知，
，又，
所以，曲线在点的切线方程为，
即，
令，得，从而得出切线与轴的交点坐标为，
联立，解得，
从而切线与直线的交点坐标为.
所以，曲线在点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值且此定值为.
此题考查导数的几何意义的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题.
20．（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；
（2）证明见解析.
（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；
（2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.
【详解】
（1）函数的定义域为，
，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；
当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；
当时，，
因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点
综上所述，函数的定义域内有2个零点；
（2）因为是的一个零点，所以
，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.
设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，
当切线的斜率等于直线的斜率时，即，
切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.
本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.
21．（1）；（2）证明见解析；（3）有一个零点.
（1）利用导数的几何意义求解即可
（2）利用导数，得到在上单调递增，由，即可证明在上恒成立
（3）由（2）可知当且时，，即在上没有零点，再根据，，得到， 对进行讨论，即可求解
【详解】
解：（1）因为的图象在点处的切线与直线平行，
所以，
因为，
所以，解得.
（2）由（1）得当时，，
当时，因为，所以在上单调递增，
因为，所以在上恒成立.
（3）由（2）可知当且时，，
即在上没有零点，
当时，，
令，，
则单调递增，
且，
，
所以在上存在唯一零点，记为，
且时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以，，
因为，所以，
所以在上存在唯一零点，且在上恒小于零，
故时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
所以在上至多有一个零点，
取，
则有，
所以由零点存在定理可知在上只有一个零点，
又f(0)不为0，所以在上只有一个零点.
关键点睛：当时，，令，，则单调递增，且
，，所以在上存在唯一零点，记为，进而得到所以在上存在唯一零点，进而讨论求解，属于难题
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