第五章一元函数的导数及其应用 单元测试（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 第五章一元函数的导数及其应用 单元测试（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 856.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-03 07:15:18 | ||
图片预览
文档简介
人教A版（2019）选择性必修第二册 第五章一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
3．已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．，e） D．
4．函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，直线与曲线相切，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
12．“”是“函数在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．若函数在处的导数是8，则________．
14．若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是____.
15．已知函数的图象关于对称，且，则______.
16．若曲线的一条切线与直线：互相垂直，则该切线的方程为_________.
三、解答题
17．已知函数
（1）若函数的图象的一条切线为直线，求的值；
（2）是否存在实数，使得只有唯一的正整数，对于恒有？若存在，求出的取值范围及正整数的值，若不存在，请说明理由？（下表的近似值仅供参考）
2.7 0.69 1.1 1.39 1.61 1.79 1.95 2.08 2.2
18．若函数，当时，函数有极值．
（1）求函数的极大值；
（2）若方程在上有三个零点，求实数的取值范围．
19．已知，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有2个不同的零点，求实数的取值范围．
20．已知函数（）.
（1）求的单调区间；
（2）证明：.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
利用为奇函数求得的值，由此求得的值.
【详解】
依题意，由于是奇函数，所以，解得，所以，所以.
故选：D
本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.
2．B
根据三次函数的图象特征，确定大致图象，进而设出，利用导函数求出极大值点，进而求出极大值.
【详解】
为三次函数，其图象可能情况有如下5种：
不等式的解集为，且，故其具体图象为图1类，如下图：
，由于为的二重根，故可设，
，
令，解得：，或，且当或上，，当，，故是的极大值点，故极大值为.
故选：B
3．D
由已知得，令，求导，然后分和来研究函数的取值大于零的情况.
【详解】
由已知，得，
令，
则，可得，
（1）当时，，在上单调递增，
，成立；
（2）当时，令，则
令，则，
在上单调递增，
①当时，
在上单调递增，
在上单调递增，，成立；
②当时，，，
，
当，在上单调递减，
即在上单调递减，
此时有，在上单调递减，
，矛盾；
综上.
故选：D.
4．A
利用导数的计算公式，直接判断选项.
【详解】
.
故选：A
5．C
求得，根据减函数有求减区间即可.
【详解】
由题意，，
令，得，则，故的减区间是.
故选：C
6．B
求出导函数，只要在上有唯一零点即可得．
【详解】
由，
①当时函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：B．
7．B
求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
8．B
根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；
【详解】
因为
所以
所以
故选：B
本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.
9．D
求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.
【详解】
，
，切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，
解得.
故选：D.
10．B
设切点为,利用导数的几何意义与在与上联立求解即可.
【详解】
设切点为,则,又直线与曲线相切故,消去有,代入第一个式子有
.易得.代入有.
故选：B
本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.
11．B
由导数的几何意义得出，再求.
【详解】
由题中图象知，
由导数的几何意义知，
．
故选：B
12．A
由函数在上单调递增有恒成立，进而转化为不等式恒成立问题，求 的范围，即可判断条件间的充分、必要性.
【详解】
若在 上单调递增，则对任意的 恒成立，
∴有对任意的恒成立，即 ，而当且仅当 时等号成立，则.
∴“”是“函数在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A．
13．1
结合即可求解.
【详解】
根据导数的定义知，
，
解得．
故答案为：1
14．
根据导数的几何意义求解出切线斜率，再根据垂直关系求解出参数的值，最后利用导数分析的单调性求解出的最小值.
【详解】
因为且切线垂直于，
所以，所以，所以.
因为，令，所以，
当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值是，
故答案为：.
关键点点睛：解答本题的关键是将切线与直线的垂直关系转化为斜率的数值关系，由此计算出参数的值，并完成问题的求解.
15．-1
首先根据的中心对称性质和已知条件求出，然后再根据求出，进而求解.
【详解】
因为关于对称，所以，
故，即，解得，，
所以，
又因为，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
16．
设切点，利用导数的几何意义，结合直线互相垂直的性质进行求解即可.
【详解】
设曲线的切点坐标为，
，所以过该切点的切线的斜率为，
因为直线：的斜率为1，过该切点的切线与直线互相垂直，
所以，所以切点坐标为：，过该切点的切线的斜率为，所以过该切点的切线的方程为：，化为一般式为：.
故答案为：
17．（1）；（2）4.
（1）根据切线方程得到关于的方程，解出即可；
（2）问题转化为，构造函数，求出函数单调性，根据函数值的情况，即可求出的值．
【详解】
解：（1）函数，则，，
，由切线为直线
则，，
故，，解得：；
（2）函数，则，，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
即，
即只有唯一的正整数解，
，
设，
，
，，
设，
，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
存在使得，
在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，
(3)，
(4)，
(5)，
(3)(5)(4)，
，，
此时．
18．（1）；（2）
（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数、的值，从而求出函数的解析式，即可利用导数求出函数的单调区间，从而求出极大值；
（2）由（1）可知函数的单调性，求出函数的极值与区间端点函数值，画出函数图象，依题意与在上有3个交点，数形结合即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）因为
所以
由题意知，
解得，
所以所求的解析式为；
所以
令，解得或，
当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，所以，
（2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
函数图象如下所示：
因为方程在上有三个零点，即与在上有3个交点，
由函数图象可知，即
19．（1）答案见解析；（2）.
（1）先求得，对进行分类讨论，结合导数求得的单调区间
（2）令，利用分离常数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】
（1），
当时，在区间上递减，在区间上递增.
当时，令解得.
当时，，在上递增.
当时，在区间上，，递增，在区间上，递减.
当时，在区间上，，递增，在区间上，递减.
综上所述，时，增区间，减区间；时，增区间，减区间；时，在上递增；时，增区间，减区间.
（2），，
当时，令，可得，
构造函数，
，
所以当时，递减，当时，递增.
注意到，当时，，
要使有个不同的零点，则.
利用导数研究函数的零点，可采用分离常数法来进行求解.
20．（1）增区间为（）；减区间为和（）；（2）证明见解析.
(1)求导根据余弦函数的值域求解的正负,进而求得的单调区间即可.
(2)由题即证当时,.再对进行分析,并利用对进行放缩,转换为三角函数合一变形求解范围的问题,进而求得在上单调递增证明即可.
【详解】
（1）,
由得,解得（）,
由得,解得或（）
所以的单调递增区间为（）；
的单调递减区间为和（）.
（2）要证当时,,
即证当时,, ,
令,则,在上单调递增,
故,即,
所以
,
所以,在上单调递增,故,
故当时,.
本题主要考查了利用导数分析包含正余弦的函数单调性问题,需要结合三角函数的性质以及范围进行求解,同时注意利用放缩将函数转换为只有正余弦的函数进行分析,属于难题.
21．(1)见详解；(2) 或.
(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.
【详解】
(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.
若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，即，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，解得，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为
即解得.
综上得或.
这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
3．已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．，e） D．
4．函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，直线与曲线相切，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
12．“”是“函数在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．若函数在处的导数是8，则________．
14．若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是____.
15．已知函数的图象关于对称，且，则______.
16．若曲线的一条切线与直线：互相垂直，则该切线的方程为_________.
三、解答题
17．已知函数
（1）若函数的图象的一条切线为直线，求的值；
（2）是否存在实数，使得只有唯一的正整数，对于恒有？若存在，求出的取值范围及正整数的值，若不存在，请说明理由？（下表的近似值仅供参考）
2.7 0.69 1.1 1.39 1.61 1.79 1.95 2.08 2.2
18．若函数，当时，函数有极值．
（1）求函数的极大值；
（2）若方程在上有三个零点，求实数的取值范围．
19．已知，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有2个不同的零点，求实数的取值范围．
20．已知函数（）.
（1）求的单调区间；
（2）证明：.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
利用为奇函数求得的值，由此求得的值.
【详解】
依题意，由于是奇函数，所以，解得，所以，所以.
故选：D
本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.
2．B
根据三次函数的图象特征，确定大致图象，进而设出，利用导函数求出极大值点，进而求出极大值.
【详解】
为三次函数，其图象可能情况有如下5种：
不等式的解集为，且，故其具体图象为图1类，如下图：
，由于为的二重根，故可设，
，
令，解得：，或，且当或上，，当，，故是的极大值点，故极大值为.
故选：B
3．D
由已知得，令，求导，然后分和来研究函数的取值大于零的情况.
【详解】
由已知，得，
令，
则，可得，
（1）当时，，在上单调递增，
，成立；
（2）当时，令，则
令，则，
在上单调递增，
①当时，
在上单调递增，
在上单调递增，，成立；
②当时，，，
，
当，在上单调递减，
即在上单调递减，
此时有，在上单调递减，
，矛盾；
综上.
故选：D.
4．A
利用导数的计算公式，直接判断选项.
【详解】
.
故选：A
5．C
求得，根据减函数有求减区间即可.
【详解】
由题意，，
令，得，则，故的减区间是.
故选：C
6．B
求出导函数，只要在上有唯一零点即可得．
【详解】
由，
①当时函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：B．
7．B
求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
8．B
根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；
【详解】
因为
所以
所以
故选：B
本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.
9．D
求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.
【详解】
，
，切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，
解得.
故选：D.
10．B
设切点为,利用导数的几何意义与在与上联立求解即可.
【详解】
设切点为,则,又直线与曲线相切故,消去有,代入第一个式子有
.易得.代入有.
故选：B
本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.
11．B
由导数的几何意义得出，再求.
【详解】
由题中图象知，
由导数的几何意义知，
．
故选：B
12．A
由函数在上单调递增有恒成立，进而转化为不等式恒成立问题，求 的范围，即可判断条件间的充分、必要性.
【详解】
若在 上单调递增，则对任意的 恒成立，
∴有对任意的恒成立，即 ，而当且仅当 时等号成立，则.
∴“”是“函数在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A．
13．1
结合即可求解.
【详解】
根据导数的定义知，
，
解得．
故答案为：1
14．
根据导数的几何意义求解出切线斜率，再根据垂直关系求解出参数的值，最后利用导数分析的单调性求解出的最小值.
【详解】
因为且切线垂直于，
所以，所以，所以.
因为，令，所以，
当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值是，
故答案为：.
关键点点睛：解答本题的关键是将切线与直线的垂直关系转化为斜率的数值关系，由此计算出参数的值，并完成问题的求解.
15．-1
首先根据的中心对称性质和已知条件求出，然后再根据求出，进而求解.
【详解】
因为关于对称，所以，
故，即，解得，，
所以，
又因为，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
16．
设切点，利用导数的几何意义，结合直线互相垂直的性质进行求解即可.
【详解】
设曲线的切点坐标为，
，所以过该切点的切线的斜率为，
因为直线：的斜率为1，过该切点的切线与直线互相垂直，
所以，所以切点坐标为：，过该切点的切线的斜率为，所以过该切点的切线的方程为：，化为一般式为：.
故答案为：
17．（1）；（2）4.
（1）根据切线方程得到关于的方程，解出即可；
（2）问题转化为，构造函数，求出函数单调性，根据函数值的情况，即可求出的值．
【详解】
解：（1）函数，则，，
，由切线为直线
则，，
故，，解得：；
（2）函数，则，，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
即，
即只有唯一的正整数解，
，
设，
，
，，
设，
，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
存在使得，
在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，
(3)，
(4)，
(5)，
(3)(5)(4)，
，，
此时．
18．（1）；（2）
（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数、的值，从而求出函数的解析式，即可利用导数求出函数的单调区间，从而求出极大值；
（2）由（1）可知函数的单调性，求出函数的极值与区间端点函数值，画出函数图象，依题意与在上有3个交点，数形结合即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）因为
所以
由题意知，
解得，
所以所求的解析式为；
所以
令，解得或，
当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，所以，
（2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
函数图象如下所示：
因为方程在上有三个零点，即与在上有3个交点，
由函数图象可知，即
19．（1）答案见解析；（2）.
（1）先求得，对进行分类讨论，结合导数求得的单调区间
（2）令，利用分离常数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】
（1），
当时，在区间上递减，在区间上递增.
当时，令解得.
当时，，在上递增.
当时，在区间上，，递增，在区间上，递减.
当时，在区间上，，递增，在区间上，递减.
综上所述，时，增区间，减区间；时，增区间，减区间；时，在上递增；时，增区间，减区间.
（2），，
当时，令，可得，
构造函数，
，
所以当时，递减，当时，递增.
注意到，当时，，
要使有个不同的零点，则.
利用导数研究函数的零点，可采用分离常数法来进行求解.
20．（1）增区间为（）；减区间为和（）；（2）证明见解析.
(1)求导根据余弦函数的值域求解的正负,进而求得的单调区间即可.
(2)由题即证当时,.再对进行分析,并利用对进行放缩,转换为三角函数合一变形求解范围的问题,进而求得在上单调递增证明即可.
【详解】
（1）,
由得,解得（）,
由得,解得或（）
所以的单调递增区间为（）；
的单调递减区间为和（）.
（2）要证当时,,
即证当时,, ,
令,则,在上单调递增,
故,即,
所以
,
所以,在上单调递增,故,
故当时,.
本题主要考查了利用导数分析包含正余弦的函数单调性问题,需要结合三角函数的性质以及范围进行求解,同时注意利用放缩将函数转换为只有正余弦的函数进行分析,属于难题.
21．(1)见详解；(2) 或.
(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.
【详解】
(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.
若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，即，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，解得，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为
即解得.
综上得或.
这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页