6.3二项式定理 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 6.3二项式定理 同步练习
一、单选题
1．如图，已知面积为1的正三角形三边的中点分别为，，，则从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．11
2．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（ ）
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
3．的展开式中常数项是（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
4．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等．则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan等于（ ）
A．32 B．64
C．128 D．256
5．已知展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（ ）．
A．-14 B．-13 C．1 D．2
6．若对于任意的实数，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第项
B．第项
C．第项
D．第或项
8．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
9．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
10．若展开式的常数项等于 ，则（ ）
A． B． C．2 D．3
11．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
12．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为（ ）
A．140 B．240
C．360 D．800
二、填空题
13．已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中项的系数是__________.
14．假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________.
15．二项式展开式中，的系数是___________.（用数字作答）
16．若，则_____.
三、解答题
17．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32．
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数．
18．设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
19．已知的展开式中的系数是560，
（1）求的值；
（2）求展开式中系数最大的项.
20．已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096．
（1）求（）的展开式中的常数项的值；
（2）在的展开式中，求项的系数的值．
21．已知.求：
(1)；
(2)；
(3).
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．C
分两类; 两个中点和一个顶点构成的三角形, 三个中点构成的三角形，由分类加法计数原理可求.
【详解】
从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形有两类：
第一类，两个中点和一个顶点构成的三角形，共有（个）；
第二类，三个中点构成的三角形，共有（个），
由分类加法计数原理，知面积为的三角形的个数为．
故选：C．
2．C
运用二项式展开式可得被7除得余数为1，即可得结果．
【详解】
所以被7除得余数为1，故经过天后是星期四
故选：C
3．B
求出展开式的通项，令x的指数为0即可求出.
【详解】
的展开式的通项为，
令，即，则常数项为.
故选：B.
4．D
根据二项式系数的性质，结合赋值法进行求解即可.
【详解】
由题意可知：，，
令二项式中x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256．
故选：D
5．B
首先利用二项式系数公式求，再将展开成，再分别求常数项.
【详解】
由条件可知，，所以，
则，其中常数项分为两部分，的常数项是，的常数项是中含项的系数，，所以常数项是.
故选：B
6．B
由，由二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】
，所以.
故选：B
7．C
根据展开式的通项公式中的以及二项式系数的性质可求得结果.
【详解】
，要使其系数最大，则应为偶数，
又在中，由二项式系数的性质可知，当或时，最大，
故在的展开式中，当，即第项系数最大，
故选：C.
关键点点睛：根据展开式的通项公式和二项式系数的性质求解是解题关键.
8．C
将代入即为各项系数之和，可求出，再结合展开式得通项即可求解常数项.
【详解】
展开式的各项系数之和为32,
令，得，解得，
则的展开式的通项为，
令，可得常数项为.
故选：C.
本题主要考查了二项式定理的应用，熟记二项式展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.
9．A
令，根据题意求得，再利用二项式展开式的通项公式即可求得结果.
【详解】
因为二项式的展开式中所有项的系数和为，
故令，则，解得，
对二项式，其展开式的通项公式，
又其展开式中二项式系数最大的项为第项，
故令，则.
故选：.
10．C
先求出展开式中的系数，再乘以得展开式的常数项，解方程即可求解得答案.
【详解】
解：展开式的通项公式为：，
所以当时，项的系数为：，
的展开式无常数项，
所以展开式的常数项为：，解得：
故选：C.
本题考查二项式的常数项的求解，是中档题.
11．B
根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解.
【详解】
依题意，，
当时，，
于是得
.
故选：B
12．B
根据(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，分别得到(x＋1)5和(x＋2)5的展开式中x的系数和常数项即可.
【详解】
因为(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，
所以(x＋1)5的展开式中x的系数为，常数项为1，
(x＋2)5的展开式中x的系数为，常数项为，
所以原式中x的系数为.
故选：B
13．672
根据二项式系数的性质求得，写出展开式通项公式，确定所在项数后可得系数．
【详解】
由题意，，
，令，，
所以的系数为．
故答案为：672．
14．
由二项展开式通项，结合指定项系数求，利用二项式的对称性确定系数最小的项的值，即可求系数最小的项.
【详解】
由二项式知：，而项的系数是，
∴时，有且为奇数，又由，
∴可得.
∴，要使系数最小，为奇数，由对称性知：，
∴.
故答案为：.
关键点点睛：根据指定项系数求二项式的指数，利用二项式的对称性确定系数最小项的参数r，即可求项.
15．
先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次为，求出的值，进而可求出的系数
【详解】
二项式展开式的通项公式为，
令，得，
所以的系数为，
故答案为：
16．
利用赋值法可求代数式的和.
【详解】
令，得，
所以.
故答案为：
17．（1）；（2）5．
（1）由所有二项式系数之和为32，可得，从而可求出的值；
（2）由（1）可得二项展开式的通项为，然后令，求出的值，从而可求出答案
【详解】
解：（1）由题意可得，，解得；
（2），
二项展开式的通项为．
由，得．
∴展开式中的系数为．
18．（1）；
（2）-32.
(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；
解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.
【详解】
（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．
本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.
19．（1）1094；（2）.
（1）先写出通项公式，根据的系数求得参数，再分别令、得到和，即解得的值；
（2）先设系数最大，根据解得r范围，再结合范围即得结果.
【详解】
解：，
（1）令时，，①
令时，.②
①-②除以2得；
（2）由，设系数最大，即最大，则
解得，又，
展开式中系数最大的项为.
20．（1）；（2）．
（1）先根据二项式展开式二项式系数的性质，求出的值，再写出展开式的通项，令的指数为0，即可求出常数项；
（2）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数的性质计算．
【详解】
（1）因为二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096，
所以，可得，
即的展开式的通项是：
（），
令得：，
∴常数项是；
（2）由（1）知，
即，
展开式中项的系数分别为：
所以的展开式中项的系数为：
．
方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和以及各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
21．(1)
(2)
(3)
（1）分别令、可求得、的值，即可求得的值；
（2）分别令、，将所得两式作差可求得的值；
（3）分析可知当为偶数时，，当为奇数时，，然后令可得出所求代数式的值.
(1)
解：令，则，令，则，①
因此，.
(2)
解：令可得，②
①②可得.
(3)
解：的展开式通项为，则，
其中且，
当为偶数时，；当为奇数时，.
所以，.
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