7.1条件概率与全概率公式 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 7.1条件概率与全概率公式 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 399.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-03 07:13:07 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 7.1条件概率与全概率公式
一、单选题
1．某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学，他在骑自行车上学途中必须经过2个路口，经过一段时间在各路口是否遇到红灯统计分析发现如下规律：经过2个路口时在第一个路口遇到红灯的概率是，连续二次遇到红灯的概率是，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一个盒子装有质地、大小、形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中任取两个球，记事件：“取出的两个球颜色不同”，事件：“取出一个红球，一个黄球”，则（ ）
A． B． C． D．
3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．某个家庭中有两个小孩，两个都是男孩的概率是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是（ ）
A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003
8．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
9．已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（ ）
A． B． C． D．
10．一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，则概率
A． B． C． D．
11．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知在 支铅笔中，有 支正品， 支次品，从中任取 支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.
14．袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________.
15．设验血诊断某种疾病的误诊率为5%，即若用表示验血为阳性，表示受验者患病，则,若受检人群中有0.5%患此病，即，则一个验血为阳性的人确患此病的概率为______．
16．从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1至中任取一个整数，记为，则取到的为数字2的概率是___________.
17．已知甲每次来渝乘坐飞机和高铁的概率分别为0.6和0.4，飞机和高铁正点到达的概率分别为0.8和0.9，若甲已正点抵渝，则甲此次来渝乘坐高铁的概率为____________.
三、解答题
18．已知,求.
19．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
20．某人下午5：00下班，他所积累的资料如表所示.
到家时间 5:35～5:39 5:40～5:44 5:45～5:49 5:50～5:54 晚于5:54
乘地铁到 家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05
乘汽车到 家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率.
21．设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
由条件概率的公式代入计算.
【详解】
设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件，“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件，则由题意可得，，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为．
故选：C．
2．C
利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A发生的概率P (A)和事件A，B同时发生的概率P(AB)，再利用条件概率公式加以计算，即可得到的值.
【详解】
（方法一）取出两个颜色不同的球的取法共有种,而取出一个红球,一个黄球的取法共有种，故所求概率为，
（方法二）因为盒子中有红球3个，黄球2个，蓝球1个，所以取出的两个球颜色不同的概率为，
而取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个黄球的概率，
所以，
故选：C.
本题主要考查条件概率的计算，古典概型公式，关键在于准确地运用条件概率公式，属于基础题.
3．C
记事件表示从仓库中随机提出的一台是合格品，表示提出的一台是第车间生产的，，，分别求出，，，，再由全概率公式即可求解.
【详解】
设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件，
事件表示提出的一台是第车间生产的，，，
由题意可得，，，，
由全概率公式得
．
所以该产品合格的概率为，
故选：C.
4．A
按照条件概率公式代入即可．
【详解】
=.
故选：A.
5．C
利用列举法求得基本事件的总数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，有两个小孩的家庭，其小孩性别构成的所有基本事件共有{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，共有4个，
设A＝“第一个男孩”，B＝“第二个也是男孩”，所以P(AB)＝.
故选：C.
6．B
直接利用条件概率公式求解.
【详解】
因为，，
所以，
故选：B
本题主要考查条件概率的求法，属于基础题.
7．A
设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解
【详解】
设事件A为“任取一件为次品”，
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3，
则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.
∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
故选：A
8．C
利用全概率公式可求球队某场比赛不输球的概率.
【详解】
设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则
，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为．
故选：C．
9．A
根据条件概率公式直接求解即可.
【详解】
设事件为合格品，事件为一级品，则，，则.
故选：A.
10．B
先求各事件概率再利用条件概率公式求解即可.
【详解】
，设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，
，
第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：
.
故选：B.
本题主要考查条件概率.属于较易题.
11．A
根据贝叶斯概率公式计算即可.
【详解】
设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．
故选：A.
12．C
根据条件概率的计算公式计算．
【详解】
记事件 ， 分别表示“第一次，第二次抽得正品”，则 表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，
故 ．
故选：C．
13．
设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，
又，，，
故.
故答案为：.
方法点睛：求条件概率的常用方法：
（1）；
（2）；
（3）转化为古典概型求解.
14．
记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”，根据题中条件，由条件概率的计算公式，即可得出结果.
【详解】
记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”：则，
，
所以已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为
.
故答案为：.
本题主要考查求条件概率，属于基础题型.
15．
结合条件概率的计算公式，得到，即可求解.
【详解】
由题意，结合条件概率的计算公式，可得：
.
故答案为：.
16．
先求出事件的条件概率，然后根据全概公式求出“取到的为数字2”的概率.
【详解】
解：设事件表示“取到的为数字1”，事件表示“取到的为数字2”，事件表示“取到的为数字3”，事件表示“取到的为数字4”，事件表示“取到的为数字2”.
则.
由条件概率易得，，，
由全概率公式，可得
.
故答案为：
17．
根据条件概率公式，结合题意，即可求出结果.
【详解】
设事件为甲正点到达，事件为甲乘坐高铁，则．
故答案为：.
18．， .
根据条件概率公式以及对立事件概率关系转化条件，求出结果.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因此，,
从而.
本题考查条件概率公式以及对立事件概率关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.
（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【详解】
（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.
20．
设事件表示“乘地铁回家”，则事件表示“乘汽车回家”， 事件表示“到家时间在5：45至5：49之间”， 则所求概率为，根据贝叶斯公式可求得所求的概率.
【详解】
解：以事件表示“乘地铁回家”，则事件表示“乘汽车回家”.
因为到家时间为5：47，属于区间5：45至5：49，以事件表示“到家时间在5：45至5：49之间”，则所求概率为.
又，，因为他是由掷硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，所以.
由贝叶斯公式得.
所以他是乘地铁回家的概率为.
21．(1)0.0345；
(2)0.36.
（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解；
（2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
(1)
设事件，，分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品.
易知，，两两互斥，根据全概率公式，
可得．
故取到次品的概率为0.0345．
(2)
．
故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36．
答案第1页，共2页
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一、单选题
1．某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学，他在骑自行车上学途中必须经过2个路口，经过一段时间在各路口是否遇到红灯统计分析发现如下规律：经过2个路口时在第一个路口遇到红灯的概率是，连续二次遇到红灯的概率是，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一个盒子装有质地、大小、形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中任取两个球，记事件：“取出的两个球颜色不同”，事件：“取出一个红球，一个黄球”，则（ ）
A． B． C． D．
3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．某个家庭中有两个小孩，两个都是男孩的概率是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是（ ）
A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003
8．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
9．已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（ ）
A． B． C． D．
10．一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，则概率
A． B． C． D．
11．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知在 支铅笔中，有 支正品， 支次品，从中任取 支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.
14．袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________.
15．设验血诊断某种疾病的误诊率为5%，即若用表示验血为阳性，表示受验者患病，则,若受检人群中有0.5%患此病，即，则一个验血为阳性的人确患此病的概率为______．
16．从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1至中任取一个整数，记为，则取到的为数字2的概率是___________.
17．已知甲每次来渝乘坐飞机和高铁的概率分别为0.6和0.4，飞机和高铁正点到达的概率分别为0.8和0.9，若甲已正点抵渝，则甲此次来渝乘坐高铁的概率为____________.
三、解答题
18．已知,求.
19．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
20．某人下午5：00下班，他所积累的资料如表所示.
到家时间 5:35～5:39 5:40～5:44 5:45～5:49 5:50～5:54 晚于5:54
乘地铁到 家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05
乘汽车到 家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率.
21．设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
由条件概率的公式代入计算.
【详解】
设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件，“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件，则由题意可得，，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为．
故选：C．
2．C
利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A发生的概率P (A)和事件A，B同时发生的概率P(AB)，再利用条件概率公式加以计算，即可得到的值.
【详解】
（方法一）取出两个颜色不同的球的取法共有种,而取出一个红球,一个黄球的取法共有种，故所求概率为，
（方法二）因为盒子中有红球3个，黄球2个，蓝球1个，所以取出的两个球颜色不同的概率为，
而取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个黄球的概率，
所以，
故选：C.
本题主要考查条件概率的计算，古典概型公式，关键在于准确地运用条件概率公式，属于基础题.
3．C
记事件表示从仓库中随机提出的一台是合格品，表示提出的一台是第车间生产的，，，分别求出，，，，再由全概率公式即可求解.
【详解】
设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件，
事件表示提出的一台是第车间生产的，，，
由题意可得，，，，
由全概率公式得
．
所以该产品合格的概率为，
故选：C.
4．A
按照条件概率公式代入即可．
【详解】
=.
故选：A.
5．C
利用列举法求得基本事件的总数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，有两个小孩的家庭，其小孩性别构成的所有基本事件共有{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，共有4个，
设A＝“第一个男孩”，B＝“第二个也是男孩”，所以P(AB)＝.
故选：C.
6．B
直接利用条件概率公式求解.
【详解】
因为，，
所以，
故选：B
本题主要考查条件概率的求法，属于基础题.
7．A
设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解
【详解】
设事件A为“任取一件为次品”，
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3，
则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.
∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
故选：A
8．C
利用全概率公式可求球队某场比赛不输球的概率.
【详解】
设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则
，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为．
故选：C．
9．A
根据条件概率公式直接求解即可.
【详解】
设事件为合格品，事件为一级品，则，，则.
故选：A.
10．B
先求各事件概率再利用条件概率公式求解即可.
【详解】
，设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，
，
第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：
.
故选：B.
本题主要考查条件概率.属于较易题.
11．A
根据贝叶斯概率公式计算即可.
【详解】
设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．
故选：A.
12．C
根据条件概率的计算公式计算．
【详解】
记事件 ， 分别表示“第一次，第二次抽得正品”，则 表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，
故 ．
故选：C．
13．
设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，
又，，，
故.
故答案为：.
方法点睛：求条件概率的常用方法：
（1）；
（2）；
（3）转化为古典概型求解.
14．
记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”，根据题中条件，由条件概率的计算公式，即可得出结果.
【详解】
记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”：则，
，
所以已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为
.
故答案为：.
本题主要考查求条件概率，属于基础题型.
15．
结合条件概率的计算公式，得到，即可求解.
【详解】
由题意，结合条件概率的计算公式，可得：
.
故答案为：.
16．
先求出事件的条件概率，然后根据全概公式求出“取到的为数字2”的概率.
【详解】
解：设事件表示“取到的为数字1”，事件表示“取到的为数字2”，事件表示“取到的为数字3”，事件表示“取到的为数字4”，事件表示“取到的为数字2”.
则.
由条件概率易得，，，
由全概率公式，可得
.
故答案为：
17．
根据条件概率公式，结合题意，即可求出结果.
【详解】
设事件为甲正点到达，事件为甲乘坐高铁，则．
故答案为：.
18．， .
根据条件概率公式以及对立事件概率关系转化条件，求出结果.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因此，,
从而.
本题考查条件概率公式以及对立事件概率关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.
（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【详解】
（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.
20．
设事件表示“乘地铁回家”，则事件表示“乘汽车回家”， 事件表示“到家时间在5：45至5：49之间”， 则所求概率为，根据贝叶斯公式可求得所求的概率.
【详解】
解：以事件表示“乘地铁回家”，则事件表示“乘汽车回家”.
因为到家时间为5：47，属于区间5：45至5：49，以事件表示“到家时间在5：45至5：49之间”，则所求概率为.
又，，因为他是由掷硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，所以.
由贝叶斯公式得.
所以他是乘地铁回家的概率为.
21．(1)0.0345；
(2)0.36.
（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解；
（2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
(1)
设事件，，分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品.
易知，，两两互斥，根据全概率公式，
可得．
故取到次品的概率为0.0345．
(2)
．
故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36．
答案第1页，共2页
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