北师大版八年级数学下册1.4角平分线定理 教学设计

角平分线定理
1． 教学目标
【知识与技能】
会证明角平分线的性质定理及其逆定理
【过程与方法】
经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.
【情感态度】
经历探索、猜想、证明掌握研究解决问题的方法.
2． 教学重难点
【教学重点】
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.
【教学难点】
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.
3、 教学过程
1.复习旧知：
引导学生回顾七年级学习过的关于角平分线的概念及其性质，引入本节学习内容。
角平分线:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，那么这条射线叫做这个角的平分线。
性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2. 新知探究:
探究1：角平分线的性质定理
你能证明它吗？引导学生分析命题的条件和结论，写出已知和求证，分析证明思路，得到性质定理。
命题：角平分线上的点到角两边的距离相等。
条件：一个点在一个角的平分线上 结论：点到角两边的距离相等
已知：射线OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA 于D点，PE ⊥OB于E点.
求证：PD=PE.
证明：∵射线OC是∠AOB的平分线
∴∠1=∠2，
∵PD ⊥OA 于D点，PE ⊥OB于E点.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
又∵OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
【归纳结论】角平分线上的点到 这个角两边的距离相等。
用符号语言表示为：
∵点P是∠AOB平分线OC上的点， 且 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
强调：以后我们证明两条线段相等，除了利用全等三角形，等角对等边以外，还可以利用角平分线这个性质。
探究2：角平分线的判定定理.
你能写出它的逆命题吗？它是真命题吗 如果是.请你证明它.
逆命题：在一个角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导.
已知:如图, 点P为∠AOB内的一点,PD⊥OA, PE⊥OB, PD=PE,垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴△ODP和△OEP为Rt△．
在Rt△ODP和Rt△OEP中,
OP=OP，PD=PE，
∴Rt△ODP ≌Rt△OEP(HL)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
∴点P在∠AOB的角平分线上.
【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.。
3. 判断正误：
（1）如图，∵ 点P在∠AOB 的平分线上
∴ PE = PD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）
（2）如图，∵ PE = PD
∴ OC平分∠AOB （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
4. 例题：
如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
又∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10
∴DE= AD= ×10=5
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
5. 随堂练习：
如图,在△ABC中,∠C=90。,∠A=30 ，作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则BE平分∠ABC.请证明这一结论。有几种证明方法呢
证明一：
∵△ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ，
∴∠ABC=90 ∠A=60 .
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=30 ，
∴∠EBC=∠ABC ∠ABE=30 ，
∴∠ABE=∠EBC，
即BE平分∠ABC；
证明二：
∵△ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ，
∴BC= AB，
∵BD= AB，
∴BC=BD.
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
BE=BE, BC=BD，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE(HL)，
∴∠CBE=∠DBE，
即BE平分∠ABC；
证明三：
∵△ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ，
∴BC= AB，
∵BD= AB，
∴BC=BD.
∵在Rt△BCE中,由勾股定理得EC2=BE2 BC2，
在Rt△BDE中,由勾股定理得ED2=BE2 BD2，
∴EC=ED，
∵∠C=90 ，ED⊥AB于D，
∴BE平分∠ABC.
强调：证明角平分线的方法除了可以利用定义，还可以利用角平分线的判定定理。
6. 中考链接：
如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15。,PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=6，则PD=___.
如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOP=2×15 =30 ，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30 ，
∴PE= PC= ×6=3，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=3.
故答案为：3.
注：
添加辅助线的方法：
有垂直平分线就要作垂直平分线上的点到两边的距离，同样有角平分线就要作角平分线上的点到角两边的距离。
四、归纳总结：
这节课你有什么收获？困惑？
学生从知识方面，能力方面，情感方面进行总结。
五．作业：
习题1.9 2,3题、布置作业