第三章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为( )
A. B. C.(1,0) D.(0,1)
2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )
A. B. C. D.
3.与椭圆=1共焦点且过点(5,-2)的双曲线的标准方程是( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.=1 D.=1
4.已知双曲线=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为( )
A. B. C. D.
5.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
6.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( )
A.y2=2(x-1) B.y2=4(x-1)
C.y2=x-1 D.y2=(x-1)
7.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点(异于原点),若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( )
A. B.2 C. D.4
8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.对抛物线y=4x2,下列描述正确的是( )
A.开口向上 B.焦点为
C.准线x=-1 D.对称轴为y轴
10.已知0<θ<,有关双曲线C1:=1与C2:=1,下列说法不正确的是( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
11.设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Г上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Г的离心率可能等于( )
A. B.
C.2 D.
12.已知椭圆C:=1的右焦点为F,过点F的两条互相垂直的直线l1,l2,l1与椭圆C相交于点A,B,l2与椭圆C相交于点C,D,则下列叙述正确的是( )
A.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|的值为7
B.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|的值为
C.弦长|AB|存在最大值,且最大值为4
D.弦长|AB|不存在最小值
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|的值为 ,|PF1|的值为 .(本题第一空2分,第二空3分)
14.设F1,F2为曲线C1:=1的焦点,P是曲线C2:-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为 .
15.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .
16.设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)求与椭圆=1有公共焦点,并且离心率为的双曲线方程.
18.(12分)已知直线y=x-4被抛物线y2=2mx(m≠0)截得的弦长为6,求抛物线的标准方程.
19.(12分)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
20.(12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少
21.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
22.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上点T(3,t)到焦点F的距离为4.
(1)求t,p的值.
(2)如图所示,设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且=5(其中O为坐标原点).
①求证:直线AB必过定点,并求出该定点P的坐标;
②过点P作AB的垂线与抛物线交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.第三章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为( )
A. B. C.(1,0) D.(0,1)
解析:∵抛物线过点(1,4),∴4=2a,∴a=2,∴抛物线方程为x2=y,焦点坐标为.
答案:A
2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则其渐近线方程为y=±x.
因为点(4,-2)在渐近线上,
所以,根据c2=a2+b2,可得,解得e2=,e=.
答案:D
3.与椭圆=1共焦点且过点(5,-2)的双曲线的标准方程是( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.=1 D.=1
解析:∵双曲线与椭圆=1共焦点,∴双曲线中c2=6,即a2+b2=6,故设双曲线方程为=1,把(5,-2)代入双曲线方程得a2=5,故所求双曲线的方程为-y2=1.
答案:A
4.已知双曲线=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为( )
A. B. C. D.
解析:抛物线的焦点为(1,0),由题意知=2.
即m=,则n=1-,从而mn=.
答案:A
5.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
解析:抛物线中2p=8,p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(x1,x2为直线与抛物线两个交点的横坐标),从而弦长为x1+x2+p=12+4=16.
答案:B
6.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( )
A.y2=2(x-1) B.y2=4(x-1)
C.y2=x-1 D.y2=(x-1)
解析:设P(x0,y0),M(x,y),
则
因为=x0,所以4y2=2x-2,即y2=(x-1).
答案:D
7.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点(异于原点),若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( )
A. B.2 C. D.4
解析:∵点A到抛物线C1的准线的距离为p,
∴A,适合y=x,∴=4,∴e=.
答案:C
8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:因为椭圆的离心率为,所以e=,c2=a2=a2-b2,所以b2=a2,即a2=4b2.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得=1,即=1,所以x2=b2,x=±b.所以y=±b,则在第一象限,双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为,所以四边形的面积为4×b×b=b2=16,所以b2=5,故椭圆C的方程为=1,选D.
答案:D
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.对抛物线y=4x2,下列描述正确的是( )
A.开口向上 B.焦点为
C.准线x=-1 D.对称轴为y轴
解析:抛物线方程可化为x2=y,故抛物线开口向上,焦点为,准线方程为y=-,关于y轴对称.
答案:ABD
10.已知0<θ<,有关双曲线C1:=1与C2:=1,下列说法不正确的是( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
解析:因为双曲线C1和C2的实半轴长分别是sin θ和cos θ,虚半轴长分别是cos θ和sin θ,又sin θ答案:ABC
11.设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Г上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Г的离心率可能等于( )
A. B.
C.2 D.
解析:设圆锥曲线的离心率为e,由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义,得e=;②若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得e=.
综上,所求的离心率为.
答案:AD
12.已知椭圆C:=1的右焦点为F,过点F的两条互相垂直的直线l1,l2,l1与椭圆C相交于点A,B,l2与椭圆C相交于点C,D,则下列叙述正确的是( )
A.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|的值为7
B.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|的值为
C.弦长|AB|存在最大值,且最大值为4
D.弦长|AB|不存在最小值
解析:当直线l1,l2一个斜率为零一个斜率不存在时,则|AB|+|CD|=7,故A是正确的;当直线l1,l2的斜率都存在时,不妨令直线l1的斜率为k(k≠0),由题意知l1的直线方程为y=k(x-1),联立得消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知x1+x2=,x1·x2=,则|AB|=·|x1-x2|=,同理|CD|=.特别地,当k2=1时,|AB|=|CD|=,即|AB|+|CD|=,故B正确;由于|AB|==3+,故当k=0时,|AB|取到最大值4,故C正确;由于|AB|=3+>3,但当弦AB的斜率不存在时,|AB|=3,故|AB|存在最小值3,故D选项不正确.
答案:ABC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|的值为 ,|PF1|的值为 .(本题第一空2分,第二空3分)
解析:因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2与x轴垂直,且点P的坐标为,
所以|PF2|=,则|PF1|=2a-|PF2|=.
答案:
14.设F1,F2为曲线C1:=1的焦点,P是曲线C2:-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为 .
解析:由题意知|F1F2|=2=4,
设点P坐标为(x,y).
由
则|F1F2|·|y|=×4×.
答案:
15.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .
解析:由于x2=2py(p>0)的准线为y=-,由解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为A,B,-,所以|AB|=2.
由△ABF为等边三角形,得|AB|=p,解得p=6.
答案:6
16.设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 .
解析:依题意及双曲线的对称性,不妨设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a.而|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos ∠PF1F2,所以4a2=16a2+4c2-2·4a·2c·cos 30°,即3a2-2ac+c2=0,所以a-c=0,故双曲线C的离心率为.
答案:
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)求与椭圆=1有公共焦点,并且离心率为的双曲线方程.
解:由椭圆方程为=1,知长半轴长a1=3,短半轴长b1=2,焦距的一半c1=,
故焦点是F1(-,0),F2(,0),因此双曲线的焦点也是F1(-,0),F2(,0).设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由题设条件及双曲线的性质,得解得故所求双曲线的方程为-y2=1.
18.(12分)已知直线y=x-4被抛物线y2=2mx(m≠0)截得的弦长为6,求抛物线的标准方程.
解:设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
由得x2-2(4+m)x+16=0,
所以x1+x2=2(4+m),x1x2=16,
所以弦长为
=
=2.
由2=6,
解得m=1或m=-9.
经检验,m=1或m=-9均符合题意.
故所求抛物线的标准方程为y2=2x或y2=-18x.
19.(12分)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为=1(a>2),其离心率为,故,则a=4,
故椭圆C2的方程为=1.
(2)A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可以设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以,将y=kx代入=1中,得(4+k2)x2=16,所以 .由=2,得=4,即,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.
20.(12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少
解:(1)由题设,点C到点F的距离等于它到l1的距离,
故点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,
所求轨迹的方程为x2=4y.
(2)由题意易知直线l2的斜率存在,
又抛物线方程为x2=4y,当直线AB的斜率为0时,|PQ|=4.
当直线AB的斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),
则有=4y1,=4y2,两式作差得=4(y1-y2),
即得k=,则直线方程为y-2=(x-t),与x2=4y联立得x2-2tx+2t2-8=0.
由根与系数的关系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,
|PQ|=
=
=
=≤6,
当且仅当t2=2时等号成立.
即|PQ|的最大值为6.
21.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
(1)解 由题意,得,又点(2,)在C上,
所以=1,两方程联立,可解得a2=8,b2=4.
故C的方程为=1.
(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM=,yM=k·xM+b=.
所以直线OM的斜率kOM==-,
所以kOM·k=-.
故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
22.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上点T(3,t)到焦点F的距离为4.
(1)求t,p的值.
(2)如图所示,设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且=5(其中O为坐标原点).
①求证:直线AB必过定点,并求出该定点P的坐标;
②过点P作AB的垂线与抛物线交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.
(1)解 由已知得3+=4,∴p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x,
代入点T坐标可解得t=±2.
(2)①证明:设直线AB的方程为x=my+n,A,B.
由得y2-4my-4n=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4n.
由=5,得+y1y2=5,
∴y1y2=-20或y1y2=4(舍去).
即-4n=-20,∴n=5,
∴直线AB过定点(5,0).
②解 由①得|AB|=|y2-y1|=,
同理得|CD|=,
则四边形ACBD的面积S=|AB|·|CD|==8,
令m2+=μ(μ≥2),
则S=8,是关于μ的增函数,故Smin=96.当且仅当m=±1时取到最小值96.
