习题课——抛物线方程及其性质的综合应用
课后训练巩固提升
A组
1.过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=( )
A.16 B.12 C.10 D.8
解析:由题意知p=6,故|AB|=x1+x2+p=12.
答案:B
2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于P,Q两点,与y轴交于点A,若,O为坐标原点,则△OPQ的面积为( )
A. B. C.2 D.4
解析:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),其准线方程为x=-1,
过点Q作QN垂直于直线x=-1,与y轴交于点M.
∵,∴F为AQ的中点,
∴|QM|=2|OF|=2.
∵|QM|=xQ,∴xQ=2.
∴yQ=2,∴直线PQ的方程为y-0=(x-1),即y=2(x-1).
由解得x=2或x=,
∴|PQ|=x1+x2+p=.
又点O到直线PQ的距离d=,∴△OPQ的面积为S=|PQ|·d=.
答案:B
3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
解析:准线x=-2,Q(-2,0),
设l:y=k(x+2),由
得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.
当k=0时,x=0,即交点为(0,0),
当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0综上,k的取值范围是[-1,1].
答案:C
4.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于( )
A.2 B.
C.2 D.
解析:设直线方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2-4(k+2)x+4=0.
∵直线与抛物线交于A,B两点,
∴Δ=16(k+2)2-16k2>0,即k>-1.
又=2,∴k=2或k=-1(舍).
∴|AB|=|x1-x2|==2.
答案:C
5.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
解析:由题意可知t≠0.由已知可得直线AB的方程为y=x-1,联立直线与抛物线方程,得消元整理,得2x2-x+1=0,由于直线与抛物线无公共点,即方程2x2-x+1=0无解,故有Δ=-8<0,解得t>或t<-.
答案:D
6.若直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k= .
解析:当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消去y得k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意,Δ=16(k-2)2-16k2=0,解得k=1.
答案:0或1
7.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为 .
解析:设抛物线方程为y2=kx,与y=x联立方程组,消去y,得x2-kx=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=k.∵P(2,2)为AB的中点,
∴=2.∴k=4.∴y2=4x.
答案:y2=4x
8.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是抛物线C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则△ABF的面积等于 .
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=4x1,=4x2,
∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
∵x1≠x2,∴=1.
∴直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x.将其代入y2=4x,得A(0,0),B(4,4).
∴|AB|=4.又F(1,0)到y=x的距离为,
∴S△ABF=×4=2.
答案:2
9.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点的横坐标为2,求k的值.
解:(1)由题意设抛物线方程为y2=2px,其准线方程为x=-,因为P(4,m)到焦点的距离等于P到其准线的距离,所以4+=6,所以p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)由消去y,得k2x2-(4k+8)x+4=0.
因为直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A,B,所以有k≠0,Δ=64(k+1)>0,解得k>-1,且k≠0.
又=2,解得k=2或k=-1(舍去),
所以k的值为2.
10.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
(1)证明:如图所示,由消去x得,ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1·y2=-1,y1+y2=-.
∵A,B在抛物线y2=-x上,∴=-x1,=-x2,
∴=x1x2.
∵kOA·kOB==-1,
∴OA⊥OB.
(2)解 设直线与x轴交于点N,显然k≠0.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|·|y1-y2|,
∴S△OAB=×1×.
∵S△OAB=,∴,解得k=±.
B组
1.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( )
A. B. C. D.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,
由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
∴x1x2=4.①
∵|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+=x2+2,
且|FA|=2|FB|,∴x1=2x2+2.②
由①②得x2=1,∴B(1,2),代入y=k(x+2),得k=.
答案:D
2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A,B两点,若∈(0,1),则=( )
A. B. C. D.
解析:因为抛物线的焦点为F,所以过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y=x+,与抛物线方程联立得x2-px-p2=0,解方程得xA=-p,xB=p,
所以,故选C.
答案:C
3.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过抛物线C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则k等于( )
A. B. C. D.2
解析:由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0),则过焦点且斜率为k的直线的方程为y=k(x-2),与抛物线方程联立,消去y化简得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4+,x1x2=4,所以y1+y2=k(x1+x2)-4k=,y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-16.因为=0,所以(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0(*),将上面各个量代入(*),化简得k2-4k+4=0,所以k=2,故选D.
答案:D
4.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交抛物线C于点M(M在x轴的上方),l为抛物线C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A. B.2
C.2 D.3
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=(x-1).
联立方程组
解得
∵点M在x轴的上方,∴M(3,2).
∵MN⊥l,∴N(-1,2),
∴|NF|==4,|MF|=|MN|==4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形.
∴点M到直线NF的距离为2.故选C.
答案:C
5.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值是 .
解析:=4x1,=4x2,则=4(x1+x2),若过点P(4,0)的直线垂直于x轴,则直线方程为x=4,
此时x1+x2=8,=32.
若过点P(4,0)的直线存在斜率,则设直线方程为y=k(x-4),由得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0,则x1+x2=8+>8,此时>32,
因此的最小值为32.
答案:32
6.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 .
解析:设点Q的坐标为.
由|PQ|≥|a|,得|PQ|2≥a2,即≥a2,
整理,得+16-8a)≥0.
∵≥0,∴+16-8a≥0.即a≤2+恒成立.
而2+的最小值为2,∴a≤2.
答案:(-∞,2]
7.若抛物线y2=x上存在P,Q两点,并且P,Q关于直线y-1=k(x-1)对称,求k的取值范围.
解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则 (y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,
∴
∴y1+y2=-k.
∴-1=k[(y1+y2)2-2y1y2-2],
∴-k-2=k[k2-2y1(-k-y1)-2],
∴2k+2k2y1+k3-k+2=0,
∴Δ=4k4-8k(k3-k+2)>0,∴k(-k3+2k-4)>0,
∴k(k3-2k+4)<0,∴k(k+2)(k2-2k+2)<0,
∴k∈(-2,0).
8.在平面直角坐标系xOy中,设点F(1,0),直线l:x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)记Q的轨迹为曲线E,过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN过定点(3,0).
(1)解 因为点F(1,0),直线l:x=-1,所以点R是线段FP的中点,由此及RQ⊥FP知,RQ是线段FP的垂直平分线.因为|PQ|是点Q到直线l的距离,而|PQ|=|QF|,所以动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=4x(x>0).
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),直线AB:x=my+1(m≠0),则消去x得y2-4my-4=0.于是有yM==2m,xM=m·yM+1=2m2+1,即M(2m2+1,2m).同理,N.
因此,直线MN的斜率kMN=,方程为y-2m=(x-2m2-1),即mx+(1-m2)y-3m=0.显然,不论m为何值,(3,0)均满足方程,所以直线MN过定点(3,0).习题课——抛物线方程及其性质的综合应用
课后训练巩固提升
A组
1.过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=( )
A.16 B.12 C.10 D.8
2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于P,Q两点,与y轴交于点A,若,O为坐标原点,则△OPQ的面积为( )
A. B. C.2 D.4
3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
4.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于( )
A.2 B.
C.2 D.
5.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
6.若直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k= .
7.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为 .
8.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是抛物线C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则△ABF的面积等于 .
9.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点的横坐标为2,求k的值.
10.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
B组
1.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A,B两点,若∈(0,1),则=( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过抛物线C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则k等于( )
A. B. C. D.2
4.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交抛物线C于点M(M在x轴的上方),l为抛物线C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A. B.2
C.2 D.3
5.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值是 .
6.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 .
7.若抛物线y2=x上存在P,Q两点,并且P,Q关于直线y-1=k(x-1)对称,求k的取值范围.
8.在平面直角坐标系xOy中,设点F(1,0),直线l:x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)记Q的轨迹为曲线E,过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN过定点(3,0).
