习题课——直线与方程
课后训练巩固提升
A组
1.如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a的值为( )
A.1 B.-
C.- D.-2
解析:由a×1+2×1=0,得a=-2.
答案:D
2.若直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m的值为( )
A.2 B.-3
C.2或-3 D.-2或-3
解析:由题意得解得m=2或m=-3.
答案:C
3.直线l:x-y+1=0关于y轴对称的直线方程为( )
A.x+y-1=0 B.x-y+1=0
C.x+y+1=0 D.x-y-1=0
解析:∵直线x-y+1=0的斜率为1,与y轴相交于点(0,1),
∴直线l关于y轴对称的直线过点(0,1),且斜率为-1.
∴直线l的方程为y=-x+1,即x+y-1=0.
答案:A
4.(多选题)已知A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12)四个点,则下面四个结论正确的是( )
A.AB∥CD B.AB⊥AD
C.|AC|=|BD| D.AC⊥BD
解析:∵kAB==-,kCD==-,
∴AB∥CD,故A正确;
又kAD=,∴kAD·kAB=-1,
∴AB⊥AD,故B正确;
又|AC|=,|BD|=,
∴|AC|=|BD|,故C正确;
又kAC=,kBD==-4,
∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,故D正确.
答案:ABCD
5.已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,若l1⊥l2,则实数a的值是 .
解析:由题意得a×1+a(a+2)=0,即a2+3a=0,解得a=0或a=-3.
答案:0或-3
6.已知直线l与直线3x+4y-7=0平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,则直线l的方程为 .
解析:设直线l的方程为3x+4y+m=0.
令y=0得x=-;令x=0得y=-.
因为直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24,所以=24,解得m=±24.
所以,直线l的方程为3x+4y+24=0或3x+4y-24=0.
答案:3x+4y+24=0或3x+4y-24=0
7.已知光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是 .
解析:设点M关于直线l:x-y+3=0的对称点K(a,b),则a≠-3,且满足
解得即K(1,0).
过点K(1,0),N(2,6)的直线方程是6x-y-6=0,即反射光线所在直线的方程是6x-y-6=0.
答案:6x-y-6=0
8.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l'的方程.
(1)l'与l平行,且过点(-1,3);
(2)l'与l垂直,且在两坐标轴上的截距相等.
解:(1)∵直线l的方程可化为y=-x+3,
∴直线l的斜率为-.
∵直线l'与l平行,且过点(-1,3),
∴直线l'的方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.
(2)∵直线l'与l垂直,∴l'的斜率为.
设l'的方程为y=x+b,则l'在x轴上的截距为-b,在y轴上的截距为b.
由-b=b,得b=0.
∴直线l'的方程为y=x,即4x-3y=0.
9.已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且l1经过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解:(1)由l1⊥l2,得a(a-1)-b=0.①
∵l1过点(-3,-1),
∴-3a+b+4=0.②
联立①②,解得a=2,b=2.
(2)∵直线l2的斜率存在,且l1∥l2,
∴直线l1的斜率存在.
∴k1=k2,即=1-a.③
又坐标原点到这两条平行直线的距离相等,
∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=-(-b).④
联立③④,解得
∴a=2,b=-2或a=,b=2.
B组
1.若P,Q分别是直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析:直线方程6x+8y+5=0可化为3x+4y+=0.由题意得|PQ|min=.
答案:C
2.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线的方程是( )
A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0
C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0
解析:(方法一)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知.
解得C=-6(舍)或C=8.
故所求直线的方程为2x+3y+8=0.
(方法二)设(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点(2-x0,-2-y0)在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线的方程为2x+3y+8=0.
答案:D
3.若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,则直线l2恒过定点( )
A.(2,0) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-2,0)
解析:直线l1的方程可化为kx=x+y-2.
由得l1恒过定点(0,2),记为点P.
设直线l2恒过定点Q(m,n),则点P和Q也关于直线y=x+1对称.
于是,有解得即Q(1,1).
故直线l2恒过定点(1,1).故选C.
答案:C
4.已知直线x+y-3=0,则的最小值为 .
解析:设直线x+y-3=0上一点P(x,y),A(2,-1),
则|PA|=.
|PA|的最小值即为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d=.
答案:
5.在函数y=4x2的图象上求一点P,使点P到直线y=4x-5的距离最短,则点P的坐标为 .
解析:直线的方程可化为4x-y-5=0.
设P(a,4a2),则点P到直线的距离为d=.
当a=时,点P到直线的距离最短.
答案:
6.已知直线l经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点P.
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
解:(1)根据题意可设直线l的方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,λ∈R,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.
由点A(5,0)到l的距离为3,
得=3,
解得λ=2或λ=.
所以直线l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由即交点P(2,1).
如图,过点P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
因此,dmax=|PA|=.
7.已知点A(-3,5),B(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使|PA|+|PB|最小,并求出这个最小值及点P的坐标.
解:设点A关于直线l的对称点为A'(a,b),则由AA'⊥l和线段AA'的中点在直线l上,
得解得
即A'(3,-3).
直线A'B与直线l的交点P,使|PA|+|PB|最小,最小值为|A'B|=5.
由点斜式,得直线A'B的方程为y+3=-18(x-3).
解方程组即P.习题课——直线与方程
课后训练巩固提升
A组
1.如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a的值为( )
A.1 B.-
C.- D.-2
2.若直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m的值为( )
A.2 B.-3
C.2或-3 D.-2或-3
3.直线l:x-y+1=0关于y轴对称的直线方程为( )
A.x+y-1=0 B.x-y+1=0
C.x+y+1=0 D.x-y-1=0
4.(多选题)已知A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12)四个点,则下面四个结论正确的是( )
A.AB∥CD B.AB⊥AD
C.|AC|=|BD| D.AC⊥BD
5.已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,若l1⊥l2,则实数a的值是 .
6.已知直线l与直线3x+4y-7=0平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,则直线l的方程为 .
7.已知光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是 .
8.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l'的方程.
(1)l'与l平行,且过点(-1,3);
(2)l'与l垂直,且在两坐标轴上的截距相等.
9.已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且l1经过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
B组
1.若P,Q分别是直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
2.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线的方程是( )
A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0
C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0
3.若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,则直线l2恒过定点( )
A.(2,0) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-2,0)
4.已知直线x+y-3=0,则的最小值为 .
5.在函数y=4x2的图象上求一点P,使点P到直线y=4x-5的距离最短,则点P的坐标为 .
6.已知直线l经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点P.
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
7.已知点A(-3,5),B(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使|PA|+|PB|最小,并求出这个最小值及点P的坐标.
