第二章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线x-y-1=0的倾斜角α=( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析:∵直线x-y-1=0的斜率k=,
∴tan α=.
又0°≤α<180°,∴α=30°.
答案:A
2.已知直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则有( )
A.a=2,b=5 B.a=2,b=-5
C.a=-2,b=5 D.a=-2,b=-5
解析:由5x-2y-10=0,得=1.
由直线的截距式,得a=2,b=-5.
答案:B
3.已知圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
A.- B.-
C. D.2
解析:圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,
即=1,解得a=-.
答案:A
4.已知直线l:y=k(x+),圆C:x2+(y-1)2=1,若直线l与圆C相切,则k=( )
A.0 B.
C.或0 D.或0
解析:∵直线l与圆C相切,
∴圆心C(0,1)到直线l的距离d=r=1,即=1,解得k=0或k=.
答案:D
5.已知点A(-1,1),B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点,又点M在圆C上运动,点N(4,-2),则线段MN的中点P的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.+y2=
C.+y2= D.(x-2)2+(y+1)2=5
解析:∵A,B是圆C的直径的两个端点,
∴圆心C(1,2),半径r=.
∴圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
设P(x,y),M(x0,y0).
∵线段MN的中点为P,
∴
∵点M在圆C上运动,
∴(2x-5)2+(2y)2=5,即+y2=.
故线段MN的中点P的轨迹方程为+y2=.
答案:B
6.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心C在x轴上,则圆C的方程为( )
A.(x-2)2+y2=50 B.(x+2)2+y2=10
C.(x+2)2+y2=50 D.(x-2)2+y2=10
解析:由A,B两点坐标,可得线段AB的垂直平分线方程为2x-y-4=0.
因为圆心C在线段AB的垂直平分线上,且C在x轴上,所以圆心坐标为C(2,0),半径r=|CB|=,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
答案:D
7.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )
A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1
解析:设圆C2的圆心C2(x,y),则C2与圆C1的圆心(-1,1)关于直线x-y-1=0对称,
从而解得即C2(2,-2).
圆C2的半径等于圆C1的半径,即为1.
故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.
答案:B
8.过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )
A. B.- C.± D.-
解析:根据题意,画出大致图象,如图所示.
若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率-1设l:y=k(x-),则圆心O到直线l的距离d=,从而|AB|=2.
S△AOB=|AB|·d=×2·d=,当且仅当d2=时,S△AOB取得最大值.
由d2=,即k2=,得k=-.故选B.
答案:B
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知方程x2+y2+2ax-2ay=0,下列叙述正确的是( )
A.方程表示的是圆
B.当a≠0时,方程表示的圆过原点
C.方程表示的圆关于直线x+y=0对称
D.方程表示的圆的圆心在x轴上
解析:将方程配方,得(x+a)2+(y-a)2=2a2.
当a≠0时,方程表示圆,而且圆心坐标为(-a,a)在直线x+y=0上,所以圆关于直线x+y=0对称.
将(0,0)代入原方程,左边=右边,故当方程表示圆时,经过原点.故A不正确,B,C正确,D不正确.
答案:BC
10.设点A(-2,3),B(3,2),则下列a的值满足直线ax+y+2=0与线段AB有交点的是( )
A.-2 B.-1 C.3 D.4
解析:如图,
直线ax+y+2=0恒过点C(0,-2),斜率为-a.
kAC=-,kBC=.
由于当-a≥或-a≤-,即a≤-或a≥时,直线与线段AB有交点,故A,C,D符合,B不符合.
答案:ACD
11.已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短的弦所在的直线为l1,直线l2的方程为bx-ay=r2,那么( )
A.l1∥l2 B.l1⊥l2
C.l2与圆O相离 D.l2与圆O相交
解析:由题意得a2+b2∵kOP=,∴l1的斜率k1=-.
∴直线l1的方程为y-b=-(x-a),即ax+by-a2-b2=0.
又直线l2的方程为bx-ay-r2=0,
∴l1⊥l2.故B正确.
∵圆心O到直线l2的距离=|r|,
∴l2与圆O相离.故C正确.
答案:BC
12.已知圆C:x2+y2-4x-4y-10=0,直线l:x-y+c=0,则下列c的取值满足圆C上至少有三个不同的点到直线l的距离为2的是( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
解析:圆C的方程x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心C(2,2),半径为3.
若圆上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为2,则圆心C到直线l的距离≤3-2,解得-2≤c≤2.故ABCD都满足.
答案:ABCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长为 .
解析:如图,连接OO1,记AB与OO1的交点为C,
在Rt△OO1A中,
∵|OA|=,|O1A|=2,
∴|OO1|=5.∴|AC|==2.∴|AB|=4.
答案:4
14.过点M(3,2)引圆E:x2+y2+4x-2y+4=0的切线,则切线方程是 .
解析:圆E的方程可化为(x+2)2+(y-1)2=1,则圆心E(-2,1),半径为1.点M在圆外,作大致图象(图略)可知,直线斜率存在,设直线的方程为y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0.
由=1,得k=0或k=.
故切线的方程为y=2,5x-12y+9=0.
答案:y=2,5x-12y+9=0
15.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .
解析:由圆C的方程知,圆心C(1,a),半径为2.
由△ABC为等边三角形,得圆心C到弦AB的距离为,即点C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为,即,解得a=4±.
答案:4±
16.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .
解析:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
由题意知圆心(a,b)到直线x-y-1=0的距离d==r.①
∵圆C过点A(4,1),B(2,1),
∴(4-a)2+(1-b)2=r2,②
(2-a)2+(1-b)2=r2.③
由①②③,得a=3,b=0,r=,
∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
答案:(x-3)2+y2=2
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知直线l经过直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.
(1)求直线l的方程;
(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.
解:(1)由得两条直线的交点坐标为(1,6).
因为直线l垂直于直线x-2y-6=0,所以直线l的斜率k=-2.故直线l的方程为y-6=-2(x-1),
即2x+y-8=0.
(2)由(1)知,直线l的方程为2x+y-8=0.
由点P(a,1)到直线l的距离等于,得,解得a=1或a=6.
18.(12分)已知圆心为(3,4)的圆N被直线x=1截得的弦长为2.
(1)求圆N的方程;
(2)点B(3,-2)与点C关于直线x=-1对称,求以C为圆心,且与圆N外切的圆的方程.
解:(1)∵圆心N到直线x=1的距离为2,且圆N被直线x=1截得的弦长为2,
∴圆N的半径r==3,
∴圆N的方程为(x-3)2+(y-4)2=9.
(2)∵点B(3,-2)与点C关于直线x=-1对称,
∴点C的坐标为(-5,-2).
由(1)知,圆N的方程为(x-3)2+(y-4)2=9,圆心N(3,4),半径为3.
∴圆心距|NC|==10.
∵圆C与圆N外切,
∴圆C的半径为10-3=7.
∴以C为圆心,且与圆N外切的圆的方程为(x+5)2+(y+2)2=49.
19.(12分)在△ABC中,边BC上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
解:如图,由
解得点A的坐标为(-1,0).
由于直线y=0为∠A的平分线,故kAC=-kAB=-=-1.
于是,边AC所在直线的方程为x+y+1=0.
由于边BC上的高所在直线的斜率为,
故kBC=-2.
于是边BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
由即点C的坐标为(5,-6).
20.(12分)已知直线l:x-y+3=0被圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)截得的弦长为2.
(1)求a的值;
(2)求过点(3,5),且与圆C相切的切线方程.
解:(1)由已知得圆心C(a,2),半径r=2.
圆心C到直线l的距离d=.
由勾股定理,得d2+=r2,代入后解得a=1或a=-3.因为a>0,所以a=1.
(2)由(1)知,圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4,则圆心C(1,2),半径r=2,点(3,5)在圆C外.
当切线的斜率存在时,设切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y-3k+5=0.
由圆心到切线的距离d==2,得k=.
所以,切线方程为5x-12y+45=0.
当过点(3,5)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,与圆C相切,符合题意.
综上所述,所求切线的方程为5x-12y+45=0或x=3.
21.(12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.
解:因为圆心在直线l1上,所以设圆心坐标为C(a,a-1),半径为r.
点C到直线l2的距离d1=.
点C到直线l3的距离d2=.
由题意得解得a=2,r=5.
故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.
22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,圆O过点M(1,).
(1)求圆O的方程;
(2)若直线l1:y=mx-8与圆O相切,求m的值;
(3)过点(0,3)的直线l2与圆O交于A,B两点,点P在圆O上,若四边形OAPB是菱形,求直线l2的方程.
解:(1)圆O的半径r==2.
故圆O的方程为x2+y2=4.
(2)若直线l1与圆O相切,则圆心O到直线l1的距离=2,解得m=±.
(3)由圆O的方程,得点(0,3)在圆O外.
由题意知,直线l2的斜率存在,故可设直线l2的方程为y=kx+3.
∵四边形OAPB为菱形,
∴对角线OP与AB互相垂直平分,
故圆心O到直线l2的距离应为|OP|==1,
即=1,解得k=±2,所以,直线l2的方程为y=2x+3或y=-2x+3.第二章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线x-y-1=0的倾斜角α=( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.已知直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则有( )
A.a=2,b=5 B.a=2,b=-5
C.a=-2,b=5 D.a=-2,b=-5
3.已知圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
A.- B.-
C. D.2
4.已知直线l:y=k(x+),圆C:x2+(y-1)2=1,若直线l与圆C相切,则k=( )
A.0 B.
C.或0 D.或0
5.已知点A(-1,1),B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点,又点M在圆C上运动,点N(4,-2),则线段MN的中点P的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.+y2=
C.+y2= D.(x-2)2+(y+1)2=5
6.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心C在x轴上,则圆C的方程为( )
A.(x-2)2+y2=50 B.(x+2)2+y2=10
C.(x+2)2+y2=50 D.(x-2)2+y2=10
7.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )
A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1
8.过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )
A. B.- C.± D.-
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知方程x2+y2+2ax-2ay=0,下列叙述正确的是( )
A.方程表示的是圆
B.当a≠0时,方程表示的圆过原点
C.方程表示的圆关于直线x+y=0对称
D.方程表示的圆的圆心在x轴上
10.设点A(-2,3),B(3,2),则下列a的值满足直线ax+y+2=0与线段AB有交点的是( )
A.-2 B.-1 C.3 D.4
11.已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短的弦所在的直线为l1,直线l2的方程为bx-ay=r2,那么( )
A.l1∥l2 B.l1⊥l2
C.l2与圆O相离 D.l2与圆O相交
12.已知圆C:x2+y2-4x-4y-10=0,直线l:x-y+c=0,则下列c的取值满足圆C上至少有三个不同的点到直线l的距离为2的是( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长为 .
14.过点M(3,2)引圆E:x2+y2+4x-2y+4=0的切线,则切线方程是 .
15.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .
16.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知直线l经过直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.
(1)求直线l的方程;
(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.
18.(12分)已知圆心为(3,4)的圆N被直线x=1截得的弦长为2.
(1)求圆N的方程;
(2)点B(3,-2)与点C关于直线x=-1对称,求以C为圆心,且与圆N外切的圆的方程.
19.(12分)在△ABC中,边BC上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
20.(12分)已知直线l:x-y+3=0被圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)截得的弦长为2.
(1)求a的值;
(2)求过点(3,5),且与圆C相切的切线方程.
21.(12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.
22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,圆O过点M(1,).
(1)求圆O的方程;
(2)若直线l1:y=mx-8与圆O相切,求m的值;
(3)过点(0,3)的直线l2与圆O交于A,B两点,点P在圆O上,若四边形OAPB是菱形,求直线l2的方程.
