中小学教育资源及组卷应用平台
阿氏圆
教学内容
1、向内构造三角形相似；
2、向外构造三角形相似．
教学过程
例1．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ；AP+3BP的最小值为 ．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）如图1，连接AD，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝＝，
AP+BP的最小值为，故答案为：；
（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，
∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴，∴PD＝AP，
∴AP+BP＝BP+PD，
∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．
故答案为：；
（3）如图3，延长OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，
连接PE、OP，∵OA＝3，∴，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴，
∴EP＝2PA，
∴2PA+PB＝EP+PB，
∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．
训练1-1．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．
∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．
∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．
故答案为，
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．
∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，
∴DF＝CD sin60°＝2，CF＝2，
在Rt△GDF中，DG＝＝
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．
故答案为，．
训练1-2．抛物线与x轴相交于点A，如图，OC=4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+OM的最小值．
【解答】解：在OA上取点K，使AK＝1，连接CK交圆与点M，连接OM、CM，
此时，MC+OM＝MC+KM＝CK为最小值，理由：∵AK＝1，MA＝2，OA＝4，∴AM2＝AK OA，而∠MAO＝∠OAM，∴△AKM∽△AMO，∴＝，即：MC+OM＝MC+KM＝CK，CK＝＝5，
即：MC+OM的最小值为CK＝5．
训练1-3．如图1，抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（3，0），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．如图2，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值．
（3）在y轴上取一点Q，使，如图，由（2）可知P1（3，0），且OB＝2，
∴，且∠P2OB＝∠QOP2，∴△P2OB∽△QOP2，∴，∴当Q（0，）时，QP2＝，∴AP2+BP2＝AP2+QP2≥AQ，∴当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值，
∵A（4，0），Q（0，），∴AQ＝＝，
即AP2+BP2的最小值为．
挑战过关
一．填空题（共6小题）
1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+的最小值是 ．
2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
3．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 ．
4．如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是圆上动点，则2PB+PC的最小值为 ．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（6，﹣1），M（4，4），以M为圆心，2为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为 10 ．
6．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为 5 ；PD+4PC的最小值为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
阿氏圆
教学内容
1、向内构造三角形相似；
2、向外构造三角形相似．
教学过程
例1．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ；AP+3BP的最小值为 ．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．
训练1-1．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
训练1-2．抛物线与x轴相交于点A，如图，OC=4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+OM的最小值．
训练1-3．如图1，抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（3，0），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．如图2，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值．
挑战过关
一．填空题（共6小题）
1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+的最小值是 ．
2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
3．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 ．
4．如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是圆上动点，则2PB+PC的最小值为 ．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（6，﹣1），M（4，4），以M为圆心，2为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为 ．
6．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为 ；PD+4PC的最小值为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
