湘教数学九年级下册第二章 二次函数 教案

课 时 教 案
课题 2.1 建立二次函数模型
第 1 课时
总序第 个教案
课型 新授
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能：从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
过程与方法：会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
情感、态度与价值观：通过对本节内容的研究，培养学生学习数学的严谨方法。
教学重点
二次函数的概念和解析式
教学难点
经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
启发探索法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？
幻灯：学校准备在校园里利用围墙的一段， 再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图所示．现在已备足可以砌100ｍ 长的墙的材料． 大家来讨论对应于不同的砌法， 植物园的面积会发生什么样的变化．有没有一种统一的能包括一切可能砌法的探讨方法呢？
设与围墙相邻的每一面墙的长度都为ｘ ｍ，则与围墙相对的一面墙的长度为（100－2x）ｍ．于是矩形植物园的面积Ｓ 为
Ｓ ＝x（ 100－ 2x） ，0 ＜ｘ＜50 ，
即Ｓ ＝ － 2ｘ２ ＋ 100ｘ，0＜ｘ＜50 . ①
有了公式①，我们对植物园的面积Ｓ 随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了．
二、合作交流 解读探究
我们来探究电脑的价格：
幻灯：一种型号的电脑两年前的销售价为6000元，现在的售价为ｙ元．如果每年的平均降价率为ｘ，那么降价率变化时，电脑售价怎样变化呢？
提示根据上学期所学的一元二次方程的有关知识进行探讨后，
点评：根据我们在上学期学过的一元二次方程的知识， 我们容易得到平均降价率ｘ 与售价ｙ 之间有如下的关系：
ｙ ＝ 6000（１－ｘ）2 ，０＜ｘ＜１ ，
即:ｙ＝6000ｘ２－12000ｘ＋6000， ０＜ｘ＜ １ . ②
从我们刚才推导出的式子Ｓ ＝ － ２ｘ２ ＋ 100ｘ，( 0＜ ｘ＜50）
和ｙ ＝ 6000ｘ２ － 12000ｘ ＋6000，（０＜ｘ＜ １）中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．
提问：
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫．
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：y=ax2+bx（a≠0）；y=ax2+c（a≠0）；y=ax2（a≠0），使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．
三、应用举例 巩固提高
幻灯：例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3(x-1) 2+1 (2)y=x+ (3)s=3-2t2 (4) y=-x
例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
注意：
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)还有以下几种特殊表示形式:
①y=ax2 ----- (a≠0,b=0,c=0,).
②y=ax2+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
③y=ax2+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
小结：什么是二次函数？二次函数的一般表达式是什么？为什么a不能为零？
作业：
教学后记（后思）：
课 时 教 案
课题 二次函数的图象与性质
第 1 课时
总序第 个教案
课型 新授
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能： 1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．
过程与方法：1。经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
情感、态度与价值观：在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题。
教学重点
作出函数y＝x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质。
教学难点
y=x2的图象及性质。
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
启发探索法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
复习：(1)二次函数的概念，（2）画函数的图象的主要步骤，
（3）根据函数y=x2中，当x为±2时，y的值是否相同？
二、合作交流 解读探究
用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。
列表：由于自变量ｘ可以取任意实数，因此让ｘ取０和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：
ｘ
-3
-2.5
-2
-1
-0.5
０
0.5
1
2
2.5
3
y=x2
4.5
3.125
２
0.5
0.125
０
0.125
0.5
２
3.125
4.5
描点，用平滑的曲线连接。
观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题：
你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
请你找出几对对称点,并与同伴交流.
图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？
你是如何知道的？
我们已经正确地画出了y=x2的图象，
因此， 现在可以从图象（见图）
看出y=x2的其他一些性质
（除了上面已经知道的关于
ｙ 轴对称和“右升” 外）：
对称轴与图象的交点是 ；
图象的开口向 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ， 简称为“左降”；
当ｘ＝ 时， 函数值最 ．
类似地，当a＞０ 时，ｙ ＝ａｘ２的图象也具有上述性质．于是我们在画ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的图象时，可以先画出图象在ｙ轴右边的部分， 然后利用对称性，画出图象在ｙ 轴左边的部分．在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）．
三、应用举例 巩固提高
例1 画二次函数ｙ ＝ ｘ２ 的图象．
提示：因为二次函数的图象具有对称性，因此，我们也可以先画函数图象的一部分，再根据对称性画出与之对称的部分。
ｘ
０
0.5
１
1.5
2
3
ｙ＝x2
０
0．25
1
2．25
4
9
利用对称性，画出图象在ｙ轴左边的部分.这样我们得到了ｙ＝ｘ２的图象.
课堂练习：P27 1 2 3
小结：二次函数当a＞０ 时，ｙ ＝ａｘ２的图象具有哪些性质？
作业：
教学后记（后思）：
课 时 教 案
课题 2.2 二次函数的图象与性质
第 2 课时
总序第 个教案
课型 新授
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能：从y=x2猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．
过程与方法：由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
情感、态度与价值观：在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题
教学重点
作出函数y＝-x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝-x2的性质。
教学难点
由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
启发探索法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
画出y=x2的图象的草图（即致的图象）
说一说:y=ax2当a>0时，图象的开口方向；对称轴，当x<0时，图象从左至右是上升的还是下降的？当x>0呢？
今天，我们来研究y=-x2图象.
二、合作交流 解读探究
我们已经画出了y=x2的图象，能不能从它得出二次函数y=-x2的图象呢？
在y=x2任意取一点，如（1，0.5），它关于
X轴的对称点为（1，-0.5），显然，（1，-0.5）
在y=-x2的图象上，对于任意点P（a, a2）
，它关于X轴的对称点为Q（a, -a2）；点Q
在y=-x2的图象上，由此可知，y=-x2 的图象与y=x2的图象关于ｘ 轴对称，因此只要把y=x2的图象沿着ｘ轴翻折并将图象“复印” 下来， 就得到ｙ ＝=x2的图象.
观察图象，（幻灯展示）ｙ ＝=x2具有哪些性质：
对称轴是 ， 对称轴与图象的交点是 ；
图象的开口向 ；
图象在对称轴右边的部分， 函数值随自变量取值的增大而 ，
简称为右 ；
图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增大而 ， 简称为左 ；
当ｘ ＝ 时， 函数值最
三、应用举例 巩固提高
例2 画二次函数ｙ＝－ｘ２ 的图象．
提示：函数ｙ＝ａｘ２（ａ<０）也是关于y轴对称，因此，我们可以根据其对称性，在列表时只需要列出右边的点，然后，根据其对称性描出左边的点，再用平滑的曲线画出图象。（幻灯展示：列表及图象）
ｘ
０
1
2
3
4
ｙ＝x2
０
-1
-4
观察图象，图象与我们日常生活中什么相像？
提示：我们上体育课时，抛铅球等的路线与
这个图象是否相似？
因此，我们把二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）
形象地叫做抛物线。
二次函数ｙ＝ａｘ２的图象关于ｙ轴对称． 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 抛物线ｙ＝ａｘ２的顶点是原点．
课堂练习：P30，1、2、3
小结：二次函数ｙ＝ａｘ２的图象是抛物线，关于关于轴对称，顶点为原点；当a>0时，抛物线的开口向上，左降右升；当a<0时，抛物线的开口向下，左升右降。
作业：
教学后记（后思）：
课 时 教 案
课题 2.2 二次函数的图象与性质
第 3 课时
总序第 个教案
课型 新授
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能：能作出y=a(x-h)2的图象，并能够比较它们与二次函数y=ax2的图象的异同；2.能说出二次函数y=ax2和y=a(x-h)2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
过程与方法：经历探索二次函数y=ax2和y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。
情感、态度与价值观：体会二次函数是某些实际问题的数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
教学重点
y=ax2和y=a(x-h)2图象的作法和性质
教学难点
由y=ax2的图象通过平移得到y=a(x-h)2图象。
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
启发探索法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
画出y=x2的图象的草图，并根据图象说出它的性质。
今天，我们来研究y=ax2+bx+c当b、c不为零，且右边可写成完全平方式（如y=(x-1)2）的二次函数的图象。
二、合作交流 解读探究
把二次函数y=x2的图象Ｅ向右平移１个单位，得到图形Ｆ，如图所示：
观察其顶点、对称轴、开口方向发生了怎样的变化？
原象
象
抛物线Ｅ：y=x2
图形Ｆ也是抛物线
Ｅ的顶点Ｏ（０，０）
点Ｏ′（１，０）是Ｆ的顶点
Ｅ有对称轴ｌ（与ｙ轴重合）
直线ｌ′（过点Ｏ′与ｙ轴平行）是Ｆ的对称轴
Ｅ开口向上
Ｆ也开口向上
（幻灯展示）
我们现在来研究图象F到底是哪个函数的图象，
在抛物线y=x2上任取一点Ｐ（ａ，a2），
它在向右平移１个单位后，Ｐ的象点Ｑ 的坐
标是什么？
答案：(ａ+1，a2）即横坐标增加1个单位
纵坐标不变。
如果设b=a+1,则点Q的坐标是什么？（答案：（b, (b-1)2）
这说明点Q在哪个函数的图象上？
点评：点Ｑ 在函数y=(x-1)2的图象上．由此得出，抛物线Ｆ是函数y=(x-1)2的图象．由此可知：
函数y=(x-1)2的图象是抛物线Ｆ，它的顶点是Ｏ′（１， ０），它的对称轴是过点Ｏ′（１， ０） 且平行于ｙ 轴的直线ｌ′．直线ｌ′是由横坐标为１ 的所有点组成的， 我们把直线ｌ′ 记做直线ｘ ＝ １．抛物线y=(x-1)2的开口向上．
一般地，函数ｙ＝a（ｘ-h）2的图象是抛物线， 它的对称轴是直线ｘ＝h， 它的顶点坐标是（h，０）．当ａ＞０时， 抛物线的开口向上；当ａ＜０时，开口向下．
三、应用举例 巩固提高
（幻灯展示）例 画函数ｙ＝（ｘ-２）2的图象．
提示：根据二次函数的对称性，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分．在画图象的右边部分时，只需要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了．
因此，在列表前，应先找到抛物线的对称轴和顶点坐标，以此点的横坐标开始取值。由学生尝试完成后，点评：
（幻灯展示列表和图象）列表：
ｘ
２
2．5
３
４
５
ｙ＝（ｘ-２）2
０
0．25
１
４
９
描点和连线： 画出图象在对称轴右边的
部分．
利用对称性画出图象在对称轴左边
的部分．
练习：P33 1、2
小结：函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
1.函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可由函数y=ax2的图象平移得到.
当h>0 时,向 右 平移 h 个单位；当h<0 时,向 左 平移 |h| 个单位
对称轴为:x=h.顶点为 (h,0).
作业：
教学后记（后思）：
课 时 教 案
课题 2.2 二次函数的图象与性质
第 4 课时
总序第 个教案
课型 新授
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能：1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图象的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法：经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程。
情感、态度与价值观：进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学重点
y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质
教学难点
理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图象的影响。
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
启发探索法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
说一说：函数的对称轴和顶点坐标各是什么？开口方向呢？
对称轴为：x=1,顶点坐标为（1，0），开口向上。
二、合作交流 解读探究
如何画二次函数的图象？
我们来探究二次函数与 之间的关系．
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
即当横坐标相同时，的纵坐标总比纵坐标大3，由此可见，的图象可由的图象向上平移3个单位得到。指导学生阅读教材P34方框内的内容，进一步理解所得出的结论。
的顶点坐标是（1，3），对称轴是 x=1 ,开口 向上 。
类似地，函数ｙ＝a（ｘ-h）２＋k 的图象是抛物线，它的对称轴是直线ｘ＝h ，它的顶点坐标是（h，k）．当ａ＞０时， 抛物线的开口向上；当ａ＜０时，开口向下．
由于我们已经知道了函数 ＝ａ（ ｘ - h ）２＋ k 的图象的性质，因此画ｙ ＝ａ（ ｘ- h）２ ＋ k 的图象的步骤如下：
第一步写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，
描出顶点；
第二步列表（自变量ｘ从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出
图象在对称轴右边的部分；
第三步利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴
左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）．
三、应用举例 巩固提高
（幻灯展示） 画二次函数的图象．
提示：顶点坐标是（-1，-3），对称轴是x=-1 ,列表时，从-1开始向右取值。由学生在练习本上完成后，点评（幻灯展示列表和图象）：
ｘ
-１
０
１
２
3
-3
-2.5
-1
1.5
5
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．
利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．
这样我们得到了函数的图象.
练习：
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:

答案：顶点坐标为（-3，-），对称轴为：x=-3，开口向上；
顶点坐标为（-1，-5），对称轴为：x=-1,开口向下。
小结：1、函数ｙ ＝ａ（ ｘ- h）２ ＋ k的顶点坐标，对称轴及开口方向的情况；2、函数ｙ ＝ａ（ ｘ- h）２ ＋ k可理解为函数y=ax2的图象向左（或右）平移|h|个单位，再向上（或下）平移|k|个单位得到。
作业：
教学后记（后思）：
课 时 教 案
课题 2.2 二次函数的图象与性质
第 5 课时
总序第 个教案
课型 新授
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能：经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程；推导二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式；
过程与方法：体会建立二次函数y=ax2+bx+c对称轴和顶点坐标公式的必要性；2．在学习y=ax2+bx+c的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想。
情感、态度与价值观：进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学重点
用配方法作二次函数的图象，求顶点坐标和对称轴等。
教学难点
将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式及推导顶点坐标公式。
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
启发探索法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
你能准确说出y=ax2、 、y=ax2+c 、y=a(x-c)2 、y=a(x-h)2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标。
由学生回顾复习后，师生共同点评。如何画二次函数ｙ＝－２ｘ２＋６ｘ－１的图象？今天，我们来研究二次函数的一般形式的图象的作法。
二、合作交流 解读探究
提示：你是否可将ｙ＝－２ｘ２＋６ｘ－１变形为y=a(x-h)2+k的形式？仿照上期我们学习的配方法解一元二次方程试一试。
教师根据学生完成的情况，适当提示。
解析：y=-2(x2-3x)-1……………提出二次项系数，使二次项系数为1
=-2[x2-3x+-]-1…………括号内加减常数项系数一半的平方；
=-2（x-）2-1+…………将前3项写成完全平方的形式；
=-2（x-）2+……常数项合并后便得到y=a(x-h)2+k的形式。 说一说，顶点坐标，开口方向和对称轴。
顶点坐标为（，）对称轴为x=,开口向下。
仿照函数y=a(x-h)2+k的作图方法作图。
画一画：
从开始取值列表，根据对称性描出对称轴
左边的点，然后连线。
说一说：当x为何值时，当ｘ 等于多少时， 函
数ｙ＝－２ｘ２＋６ｘ－１的值最大？ 这个最大值是
多少？（当x=时，函数的值最大，这个最大值为。
观察函数的图象（P35），当x为何值时，函数有最小值？
一般地，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，当ｘ等于顶点的横坐标时，达到最大值（当ａ＜０）或最小值（当ａ＞０），这个最大（小）值等于顶点的纵坐标．
三、应用举例 巩固提高
（幻灯展示） 例 求函数ｙ ＝ －ｘ２＋２ｘ－１的最大值．
分析：当ａ＜０时，二次函数的图象开口向下，顶点是图象的最高点，函数有最大值。只要求出函数的顶点坐标，我们便可求出它的最大值，因此可用配方法，大家试试。
ｙ ＝ －ｘ２＋２ｘ－１=－（ｘ２＋4ｘ）－１
=－（ｘ２－4ｘ+22-22）－１
=－（ｘ－2）2+１
顶点坐标是（２，１），于是当ｘ ＝ ２时，ｙ达到最大值１．
（幻灯展示）例：求函数的最大值或最小值；
所以，顶点坐标为，当时，函数有最大值（a<0）或最小值（a>0）。
课堂练习：P38 练习第2、3题。
小结：
（幻灯展示）二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，顶点坐标为，对称轴是
作业：
教学后记（后思）：
课 时 教 案
课题 2.3.1 把握变量之间的依赖关系
第 1 课时
总序第 个教案
课型新授
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能：1.能利用二次函数解决实际问题和对变量的变化趋势进行预测。2.会利用待定系数法求二次函数解析式。
过程与方法： 经历运用二次函数解决实际问题的探究过程，进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系，体会二次函数是解决实际问题的重要模型，运用数学知识解决实际问题的能力。
情感、态度与价值观： 1.体验函数是有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具。2.敢于面对在解决实际时，碰到的困难，并独立克服和运用知识解决问题的成功经验。
教学重点
会根据不同条件，利用二次函数解决生活中的实际问题。
教学难点
利用二次函数图象、性质，解决实际生活中相关的问题，并能对变量的变化趋势进行预测。
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
启发探索法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
复习填空（幻灯展示）：
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
不变的
开口方向和开口大小
变的
顶点
（0,0)
（h,0)
（h,k)
对称轴
y轴
X=h
X=h
（幻灯展示）一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是
4.9m，水面宽4m时，拱顶离水面2m，如图，当水面
宽度发生变化时，拱顶离水面的高度会发生变化吗？
会是怎样的变化？
你能想出办法来吗？今天我们就来研究二次函数
的应用。怎样将实际问题转化为数学问题进行处理。
二、合作交流 解读探究
思考1、这是什么函数图象？为什么？
这是二次函数的图象，因为它是抛物
线的一段。
思考2、图中已知什么？
已知水面宽AB=4m,跨度CD=4.9m，拱顶
到AB的距离等于2m.
思考3、怎样建立直角坐标系简单呢？
方法1、以A为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系。
函数解析式形式为：y=a(x-h)2+k
方法2、以B为原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系。
函数解析式形式为：y=a(x-h)2+k
方法3、以AB中点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系。
函数解析式形式为：y=ax2+2
方法4、以O为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系。
函数解析式形式为：y=ax2
这样建立的直角坐标系函数解析式最简单
思考4、若设数轴上一个单位代表1m怎样求这个函数的解析式？
【分析】关键是知道图象上一个点的坐标，将这个点的坐标代入解析式： y=ax2
∵ B(2,-2)在抛物线上，
∴抛物线的解析式为y=-0.5 x2
思考5、这个函数中x表示什么实际意义？y表示什么实际意义？
|x|表示水面宽度一半。
|y|表示水面与拱顶的距离
思考6、自变量的取值范围是什么？
由于桥的跨度是4.9m，所以自变量的取值范围是：-2.45思考7、当水面宽度为3m时，拱顶离水面高度多少？
【分析】就是要求x=1.5时，y的绝对值。
解：当x=1.5时， y=- 0.5×1.52=-1.125
∴水面宽为3m时，拱顶离水面的高度为1.125m.
（幻灯展示）用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤：
弄清题中量与量之间的依赖关系建立函数模型
利用二次函数图象和性质解决实际问题.
三、应用举例 巩固提高
（幻灯展示） 一条隧道顶部的纵截面是抛物线形，拱高2.5m,跨度为10m,如图，试建立适当的直角坐标系，求出二次函数，使的图象的一段为拱形抛物线。
解：如图建立直角坐标系，
设抛物线解析式为: y=ax2
点A(5，-2.5)在抛物线上
∴-2.5=a×52, a=-0.1 ∴y=-0.1x2
小结：
用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤是，先弄清题中量与量之间的依赖关系，然后建立函数模型，再利用二次函数图象和性质解决实际问题，但要注意自变量的取值范围。
作业：
教学后记（后思）：
课 时 教 案
课题 2.3.2 二次函数与一元二次方程的联系
第1 课时
总序第 个教案
课型 新授
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
过程与方法：经历探索函数与一元二次方程的过程，一元二次不等式关系的过程，体会方程与函数的关系。
情感与价值观：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。
教学重点
二次函数与一元二次方程之间的关系；运用图象求一元二次方程的解
教学难点
数形结合的分析方法。
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
启发探索法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
复习提问：
1、平面直角坐标系中，x轴上的点 坐标为0，y轴上的点 坐标为0.
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
3、怎样利用b2-4ac的符号判定一元二次ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况？
b2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根
b2-4ac<0 方程没有实数根
b2-4ac=0 方程有两个相等的实数根
二、合作交流 解读探究
（幻灯展示）掷铅球时，球在空中经过的路线是抛物线，已知某运动员掷铅球时，铅球在空中经过的抛物线解析式是：
其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度。如图，你能求出铅球能仍出多远吗？
思考1、根据“其中x是铅球离初始位置的水平距离，
y是铅球离地面的高度”。直角坐标系是怎样建立的？
思考2、根据题意“铅球能仍出多远？”实际上是求什么？
铅球着地点的纵坐标为0，横坐标就是铅球扔出去的水平距离。因此就是求当y=0时，x等于多少？
解：依题意，得：
去分母，配方得：(x-9)2=121, 求得，x1=-2(不合题意，舍去),x2=20
所以，球被仍出去20m远。
思考3、上题中求铅球能扔出多远，就是求y=0时x的值，实际上就是求函数图象与x轴的交点A的横坐标。怎样求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标呢？
令y=0,解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，这个方程的解就是函数图象与x的交点的横坐标。
三、应用举例 巩固提高
（幻灯展示）试一试：求下列抛物线与x轴的交点的横坐标（1） y=4x2+12x+5，（2） y=x2+2x+1 （3） y=x2+2x+2
由学生完成后，点评：
令y=0,求出方程ax2+bx+c=0的解便与抛物线与x轴的交点的横坐标。
抛物线y=4x2+12x+5与x的交点的横坐标为-，-。
因为x2+2x+1=0有两个相等的实数根，所以，抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点的横坐标为-1。
因为x2+2x+2=0的根的判别式b2-4ac=22-4×1×2=-4<0，所以，抛物线y=x2+2x+2与x轴没有交点。
思考4、上面三条抛物线与x轴的交点有的有两个，有的只有一个，有的一个也没有，这是为什么呢？
因为上面三个方程的判别式的值的符号不同，所以根的个数也不同，而一元二次方程的根的个数等于抛物线与x轴的交点个数，因此上面三条抛物线与x轴的交点个数也不同。因此，得到下列结论：
b2-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
b2-4ac<0抛物线与x轴没有交点
b2-4ac=0抛物线与x轴有一个交点
思考5、在上问题中，铅球在空中经过的抛物线是，当铅球离地面高度为2m时，它离初始位置的水平距离是多少（精确大0.01m）？
分析：即当纵坐标为2时，横坐标为多少，即求方程的解。（由学生完成后，点评：x1≈15.40,x2≈2.60）
（幻灯）求一元二次方程ｘ2－２ｘ－１＝０的解的近似值（精确到0.1）．
【分析】这个方程的解就是函数y=x2-2x-1当函数值为0时自变量的值。也就是图象与x轴交点的横坐标。因此只要画出函数图象，利用图象找出交点的横坐标就达到了目的。
小结：1、一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点横坐标。
2、知道二次函数y=ax2+bx+c的函数值y，就对应点自变量的值，只需要把y的值代入函数式解方程，方程的解就是y的对应值。
3、函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的解的近似值。
（纵，横）
教学后记（后思）：
课 时 教 案
课题 2.3.3 优化问题
第 1 课时
总序第 个教案
课型 新授
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能： 会运用配方法把二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式；会将实际问题转化为二次函数模型的数学问题，会求函数的最大（小）值；
过程与方法：经历周长一定，面积最大问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。
情感、态度与价值观：认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
教学重点
求函数的最大（小）值。
教学难点
将实际问题转化为二次函数模型的数学问题
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
启发探索法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
复习：
（幻灯展示）二次函数 y=ax2+bx+c总可以通过配方化为： y=a(x-h)2+k 的形式。（1）h= ,k=
（2）当a>0时，开口向 ,顶点最 ,二次函数有 值，当x= 时，y的 值是 ;当a<0时，开口向 ,顶点最 ,二次函数有 值，当x= 时，y的 值是 。
二、合作交流 解读探究
我们回到本章的第一节（P21），（幻灯展示）学校准备在校园内利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图，现在已经备足了100m长的墙的材料，怎样砌法才能使矩形植物园面积最大？
【分析】题中有两个变量：面积S,矩形的宽x，要求S的最大值，需要建立S与x的函数关系，然后利用二次函数的性质求出s的最大值。
由学生讨论完成，点评：
设与围墙相邻的每一面墙的长度都为ｘ ｍ，则与围墙相对的一面墙的长度为（100－2x）ｍ．于是矩形植物园的面积Ｓ 为
Ｓ＝x（100－2x），0 ＜ｘ＜50 ，
即Ｓ＝－2ｘ２＋100ｘ，0＜ｘ＜50
=-2(x-25)2+1250
∴当x=25时，s达到最大值1250
答：与已有墙垂直的一面墙25m，与已有墙平行的一面墙50m时，矩形面积最大，达到1250m2
思考：解优化问题的思路是什么？
理解题意→建立函数关系→利用函数关系求最大（小）值
三、应用举例 巩固提高
（幻灯展示）例1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
根据题意，完成下表
进价
售价
每天销量
每台利润
每天利润
降价前
2000
2400
8
?400
3200
降价后
2000
2400-x
400-x
y
解：（1）依题意，得：,
化简，得：.
（2）解：由题意，得：,
整理，得x2-300x+20000=0,解这个方程，得x1=100,x2=200 .
要使百姓得到实惠，取x=200所以，每台冰箱应降价200元．
（3）解：=
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元。
练习：掷铅球时，球在空中经过的路线是抛物线 ,已知某运动员掷铅球时，铅球在空中经过的抛物线解析式是：
=
铅球在空中达到的最大高度是m.
小结：优化问题首先要仔细阅读题目，弄懂题意，明白题中有哪些量，各个量之间有什么关系，然后根据题意建立二次函数模型，根据二次函数性质求出最大值或最小值。
(1);
(2) 上 低 小 h 小 k;下 高 大 h 大 k
教学后记（后思）：
课 时 教 案
课题 小结与复习
第 1 课时
总序第 16 个教案
课型 复习
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能：能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法：使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；
情感、态度与价值观：发展有条理地进行思考和语言表达的能力。
教学重点
二次函数的概念，性质、二次函数与一元二次方程的关系。
教学难点
待定系数法求二次函数的解析式。
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
练习法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
要点回顾：
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言或图来进行描述.
2.二次函数的概念，判定一个函数是不是二次函数的关键是什么？
3.小结一下作二次函数图象的方法.
4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方向,对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明.
5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式,表格和图象刻画变量之间的关系.
6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.
二、合作交流 解读探究
讨论：1、作二次函数的草图时，主要应包括哪些内容？
顶点坐标，对称轴及开口方向。
2、（幻灯展示）作下列函数的草图：
（1）y=0.5x2 (2) y=-0.5(x+1)2 (3) y=2(x-1)2-3
由学生在练习本上讨论完成后，点评。
提示：对称轴分别是y轴，x=-1,x=1;顶点坐标分别是：（0，0），（-1，0），（1，-3）；开口方向分别是向上，向下，向上。
3、写出二次函数的两种表达形式。（提示：一般形式和配方形式（或顶点形式））。
（幻灯展示）练一练：
（1）抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ；〖向上，y轴，（0，0）一、二）〗
（2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 。（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。〖开口向下且图象在第三、四象限，填不可能〗
（3）抛物线y =x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线y =x 2向 上 平移 3 个单位得到的；〖上，y轴，（0，3）〗
（4）抛物线 y = 2(x -0．5) 2+1 的开口向 , 对称轴 ,顶点坐标是 〖上，x=0.5,(0.5,1)〗
（5）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。〖<,<,<〗
（6）抛物线y=x2+2x-3的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向 ，与x轴的交点坐标为 。当x= ,函数有最 值为 。
〖提示：既可用公式法求顶点坐标，也可以用配方法求顶点坐标。〗
通过以上练习，对二次函数、、 、、y=ax2+bx+c的图象和性质的回顾、总结及练习，巩固所学知识。
三、应用举例 巩固提高
幻灯：例 已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y=0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
由学生在练习本上完成，教师根据学生情况予
以提示。幻灯展示答案。
解析：（1）根据抛物线的对称性，对称轴经过
AB的中点，AB的中点坐标为（，0），图象左降右升，当x>时，y随x的增大而增大。
（2）图象与x的交点坐标为（1，0），（4，0），故当x=1或x=4时，y=0.
（3）∵抛物线通过（1，0），（4，0）两点，
∴a-5+c=0 即：a+c=5…………①
16a-20+c=0 即：16a+c=20…………②
解由①②组成的二元一次方程组，得：a=1,c=4
∴二次函数的解析式是：y=x2-5x+4
课堂练习：P51 1、2
小结：二次函数的概念，一般表达式和顶点式。
能画二次函数的草图，并根据草图分析二次函数的性质；
待定系数法求二次函数的解析式；
作业：
教学后记（后思）：
课 时 教 案
课题 小结与复习
第 2 课时
总序第 17 个教案
课型 复习
编写时间 年 月 日
执行时间 年 月 日
教学目标
知识与技能：理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似解。根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；
过程与方法：体会二次函数是一类最优化问题的数学模型、学习用二次函数的知识解决实际问题、小结解决实际问题的思路、过程，并进一步感受数学的应用价值。
情感、态度与价值观：培养学生数形结合的思想。
教学重点
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的应用，
教学难点
二次函数的应用。
教学用具
幻灯、三角板。
教学方法
练习法、讲授法、讨论法相结合
教学过程
一、创设情境 引入课题
要点回顾：
1、你能用一元二次方程根的判别式判定二次函数与x轴的交点情况吗？
（幻灯展示）填表：
y=ax2+bx+c的
图象和x轴交点
ax2+bx+c=0的根
的情况
ax2+bx+c=0根的判别式
Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac ＝ 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac ＜ 0
一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴的交点坐标的横坐标。
回顾用二次函数的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤：
弄清题中量与量之间的依赖关系建立函数模型
利用二次函数图象和性质解决实际问题.
二、合作交流 解读探究
（幻灯展示）例1：利用函数图象求2x2-x-3=0的解.
提示：1、一元二次方程2x2-x-3=0的解就是二次函数y=2x2-x-3的图象与x轴的交点的横坐标。
作二次函数图象时，首先应确定哪些关键的元素？
求对称轴和顶点坐标，然后根据对称性列表。
解:函数y=2x2-x-3的对称轴为x=，
顶点坐标为（，）
列表
x
-2
-1
0
1
2
y=2x2-x-3
7
0
-3
-2
3
描点,连线,画出函数y=2x2-x-3的图象。
由图象得出抛物线与x轴两交点坐标A,B(-1,0),
故方程2x2-x-3=0的解为x1=, x2=-1.
三、应用举例 巩固提高
（幻灯展示）一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能中？
解:(1)图中各点字母表示如答图所示.
∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.
∴点D坐标为(1.5,3.05).
∵抛物线顶点坐标(0,3.5),
∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,
把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,
∴a=-0.2,∴y=-0.2x2+3.5
(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),
∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,
得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.
∴该运动员跳离地面高度
h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).
课堂练习：利用函数图象求方程组
的解。
小结：一元二次方程的根与二次函数的关系，
用根的判别式判定二次函数与x轴的交点情况；
用二次函数的图象求一元二方程的解的方法。
选择适当的平面直角坐标系用二次函数的知识解决实际问题。
作业：
教学后记（后思）：