5.4三角函数的图象与性质 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 5.4 三角函数的图象与性质
一、单选题
1．以下函数最小正周期不是的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数，则下列结论正确的是
A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点是 D．在单调递增
3．函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
4．三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的零点的个数为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
8．若函数与在上的图象没有交点，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若函数的最小正周期为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数，，则下列结论错误的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．不是单调函数
11．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，当时，__________；当时；__________；当时，__________.
14．已知函数与函数的图像关于原点对称，则函数的解析式为______．
15．已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.
16．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．
17．设，则______.
三、解答题
18．已知，求的值域．
19．求函数的定义域 值域 最小正周期及单调区间.
20．设定义域为R的奇函数是严格减函数，若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
21．已知函数，.
（1）当时，写出的单调递减区间（不必证明），并求的值域；
（2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数t的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据三角函数周期公式即可作出判断.
【详解】
的最小正周期为；
的最小正周期为；
的最小正周期为；
的最小正周期为.
故选：D
2．B
根据周期公式计算可知，选项A错误；根据的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间的长度大于半个周期可知，选项D错误.
【详解】
因为，所以选项A错误；
因为，所以选项B正确；
因为，所以选项C错误；
的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.
故选：B.
本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.
3．C
根据正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)求出函数y=tan(3x+)图象的对称中心，即可得到选项.
【详解】
解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；
令3x+=，解得，k∈Z；
所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；
当k=3时,C正确，
故选：C.
4．C
诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小．
【详解】
，．
∵，，，
∴．
又∵在上是增函数，
∴．
故选：C．
5．C
在同个坐标系画出两个函数可得它们交点的个数，即可得出结果.
【详解】
函数的零点个数就是与的图像交点的个数，
在同个坐标系中作图，如下，
它们共有5个不同的交点，故的零点个数为5.
故选：C
6．B
根据的图象与性质可得的解集．
【详解】
解：
函数图象如下所示：
，
不等式的解集为：．
故选：．
7．D
先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】
由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
8．A
利用三角函数图象的平移即可求解.
【详解】
解：是周期为的正弦函数，
，是由向左平移个单位得到
①当时，如下图所示，
此时函数与在上有交点，不符合题意
②当时，如下图所示
此时函数与在上无交点，符合题意
③当，如下图所示
此时函数与在上无交点，符合题意
综上所述，，
故的取值范围是
故选：A.
关键点睛：本题的关键是通过对三角函数平移的过程利用数形结合找到相交的临界位置.
9．C
先求得，求得函数在上单调递增，结合，，利用单调性作出比较，即可求解.
【详解】
由题意，函数的最小正周期为，
可得，解得，即，
令，即，
当时，，即函数在上单调递增，
又由，
又由，所以.
故选：C.
本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，合理应用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
10．C
求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】
解：因为函数，，所以函数的值域为，，A正确．
因为，所以函数是偶函数，B正确．
因为，所以函数是周期函数，C不正确．
因为，不具有单调性，D正确．
故选：C．
11．C
根据题意，结合余弦、正切函数图像性质，一一判断即可.
【详解】
对于选项AD，结合正切函数图象可知，和的最小正周期都为，故AD错误；
对于选项B，结合余弦函数图象可知，在上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知，在上单调递增，且最小正周期，故C正确.
故选：C.
12．B
，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.
【详解】
令，则
令，则
则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.
作出和的图像，观察交点个数，
可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，
由题意列不等式的：
解得：.
故选：B
研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.
13． 或 或，
直接利用三角函数的图象求解.
【详解】
，当时，；
当时；或；
当时，或，.
故答案为：；或；或，.
14．
由题可知为奇函数，根据奇函数的定义求解即可.
【详解】
因为函数与函数的图像关于原点对称，
所以，
故答案为：
15．
由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．
【详解】
依题意，当时，y有最小值，即，
则，所以.
因为在区间上有最小值，无最大值，所以，
即，令，得.
故答案为：
16．
根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.
【详解】
因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，
因为，所以当时，取最小值为.
函数的性质
（1）.
（2）周期
（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，
（4）由求增区间；由求减区间.
17．0
由已知求得，，，，由三角函数的特征求得函数的周期为4，由此可求得答案.
【详解】
解：因为，所以，，
，
，
又函数的周期为，
所以，
故答案为：0.
18．
令，结合已知及正切函数的性质可得，再利用二次函数的性质求的值域即可.
【详解】
令，又，
∴，故函数化为，且对称轴为．
∴当时，．
当时，．
∴的值域为．
19．定义域，值域为，最小正周期，单调递增区间为.
根据正切型函数的图象与性质，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
令，解得，
即函数的定义域为
根据正切函数的图象与性质，可得函数的值域为；
由正切函数的最小正周期的计算公式，可得函数的最小正周期为；
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
20．
根据函数是奇函数原不等式化简为，再借助于函数的单调性可得：，进而利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案．
【详解】
解：由条件可得：
由于是奇函数，故有
即
又由于是减函数，等价于恒成立．
设，，等价于在，恒成立．
只要在，的最小值大于0即可．
（1）当时，最小值为，所以可得：
（2）当时，最小值为，所以可得：
（3）当时，最小值为（1）恒成立，得：，
综上可得：为所求的范围．
21．（1）单调递减区间为；值域为；（2）.
（1）由对勾函数的图像，直接写出递减区间和值域；
（2）先求出的值域，把对任意，总有，使得转化为两个值域的包含关系，解不等式即可.
【详解】
（1）当时，的图像如图示，
∴的单调递减区间为；值域为
（2），由知：，
∵上递减；上递增；
∴在上单增，在上单减，
∴在上的值域为，记B=
设的值域为A，要使“对任意，总有，使得”，只需.
对于：
当时，在上单增，有，
此时，只需，解得：.
当时，在上单减，值域为；在上单增，值域为，
此时，只需，解得：；
当时，在上单减，有，
此时，只需，无解.
综上：.
∴实数t的取值范围为
方法点睛：含双量词的数学问题中参数范围的求解分为两大类：
（1）不等式型转化为最值的比较；
（2）等式型的转化为值域的包含关系.
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