5.1导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.1导数的概念及其意义
一、单选题
1．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加（ ）
A．8πR(ΔR)
B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2
C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2
D．4π(ΔR)2
2．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
3．下列给出的四个命题中，正确的命题是（ ）
①若函数f(x)＝，则f′(0)＝0；
②若函数f(x)＝2x2＋1的图像上的点(1，3)的邻近一点是，则；
③瞬时速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；
④曲线y＝x3在点(0，0)处没有切线．
A．①②
B．②③
C．①②③
D．②③④
4．函数，自变量x由改变到（k为常数）时，函数的改变量为（ ）．
A． B．
C． D．
5．若，则（ ）
A．－4 B．4
C．－1 D．1
6．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数的图像在处的切线斜率为，则“”是 “”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
9．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（ ）
A．24 B．32 C．64 D．86
10．设曲线在点处的切线方程为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
11．某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是，假设（）恒成立，且，，则说明后10天与前10天比（ ）
A．公司亏损且亏损幅度变大
B．公司的盈利增加，增加的幅度变大
C．公司亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利增加，增加的幅度变小
12．已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．函数在区间上的平均变化率为_________.
14．函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为______．
15．若直线与曲线相切，则_________．
16．已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则________.
三、解答题
17．求函数的图象上过原点的切线方程．
18．利用导数的定义，求在处的导数f ′(1).
19．已知曲线.
（1）求曲线在点P(1，3)处的切线方程;
（2）求曲线过点P(1，3)的切线方程.
20．已知函数.
（1）若在上有极值，求的取值范围；
（2）求证：当时，过点只有一条直线与的图象相切.
21．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
首先根据题设条件，利用球的表面积公式表示出变化后的表面积为，球表面积的增加与半径的变化有关，再用变化后的表面积减去变化前的表面积即可求出增加的表面积，从而求得的表达式，选出答案.
【详解】
根据球的表面积公式，
可得，
故选：B．
关键点点睛：该题考查的是有关球的表面积公式的题目，正确解题的关键点是弄明白增量的意义以及球的表面积公式.
2．B
由导数的几何意义得出，再求.
【详解】
由题中图象知，
由导数的几何意义知，
．
故选：B
3．B
利用导数的运算公式和导数的几何意义，即可判定，得到答案．
【详解】
①中，当x＝0时无意义，所以错误；
②中，所以正确；
③中瞬时速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数，是正确的；
④中y′＝(x3)′＝3x2，f′(0)＝0，有切线，所以错误；
所以正确命题的序号为：②③，
故选：B．
关键点点睛：该题主要考查了导数的运算公式和导数的几何意义的应用，其中熟记导数的基本运算公式和导数的几何意义是正确解题的关键.
4．D
根据定义求解即可.
【详解】
解：由变化率的关系，.故选：D．
5．C
利用导数的定义直接求解
【详解】
因为，所以．
故选：C
6．C
根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断.
【详解】
因为、分别是函数在、处的切线斜率，
由图可知，
又，，
所以，
故选：C.
关键点点睛：该题考查的是有关导数的几何意义的问题，正确解题的关键是理解函数的变化率和导数的几何意义.
7．A
本题首先可根据得出，然后求解，得出，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，，
若，则，解得，
故“”是 “”的充要条件，
故选：A.
8．D
由导数求出参数，将切点代入切线方程即可求出.
【详解】
，依题意可得，即，因为，所以.
故选：D
9．C
根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积.
【详解】
∵，
∴，
∴曲线在点处的切线斜率，
∴切线方程为.
令，得；令，得.
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
∴.
故选：C
10．D
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解
【详解】
因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.
故选D
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
11．D
根据函数的单调性及平均变化率的意义进行判断.
【详解】
由（）恒成立，可知单增，即盈利增加，
又平均变化率说明盈利增加的幅度变小，
故选:D．
12．A
由导函数的定义计算可得答案.
【详解】
解： 对于A：，故A正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：，故C不正确；
对于D：，故D不正确，
故选：A.
13．
根据平均变化率的公式进行求解即可.
【详解】
函数在区间上的平均变化率为：.
故答案为：
14．
利用导数的几何意义求斜率，再根据两条直线垂直求参数.
【详解】
因为，，
所以在处的切线的斜率为3，
因为切线与直线互相垂直，，
所以，解得．
故答案为：
15．
设切点为，根据导数的几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得，代入可得结果.
【详解】
设直线与曲线相切于点，
由得：，，，
又，，解得：，
.
故答案为：.
16．
利用导数与极限的关系可以直接得到结论．
【详解】
由导数的定义：
所以
即
故答案为：1
本题考查导数的定义及应用，属于基础题．
17．或
首先设出切点，利用切点在曲线上，得出坐标的关系，再根据导数的几何意义及点斜式求出切线方程，结合点在切线上即可求解.
【详解】
设切点坐标为，则，
∵
,
所以切线方程为．
因为切线过原点，
所以，即，
解得或，
所以切线方程为或.
18．
利用导数的定义，先求出的值，然后求，化简可得结果
【详解】
解：
，
∴，
∴
.
19．（1）；（2）和.
（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程；
（2）设过点P的切线与曲线相切于点R，然后根据曲线在点R处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果．
【详解】
（1），则切线的斜率为，
所以曲线在点P处的切线方程为，
即.
（2）设过点的切线与曲线相切于点，
∴曲线在点R处切线斜率为，
故切线方程为，
又因为切线过点，∴，
解得或，
故切点R分别为和，
所以过点P的切线方程为或，
所以过点Q的切线方程为：和.
20．（1）；（2）证明见解析.
（1）由可求得两根，由在上有极值可构造不等式求得结果；
（2）设切点为，由切线斜率和两点连线斜率公式可化简得到，将问题转化为有且仅有一个实根；令，利用导数可求得的单调性和极值，结合零点存在定理可确定在上有唯一的实数根，由此证得结论.
【详解】
（1）由题意得：，
由得：，，
在上有极值，，解得：，
的取值范围为.
（2）设过点的直线与的图象切于点，
则切线斜率，
整理可得：，
若过点只有一条直线与的图象相切，则关于的方程有且仅有个实根，
设，则，
由得：，，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
，，
，，，即，
当时，，，又在上单调递增，
在上有唯一的实数根，
即当时，过点只有一条直线与的图象相切.
关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，本题证明切线有且仅有一条的关键是能够将问题转化为方程根的个数的问题，即函数零点个数的问题，进而利用导数确定函数的单调性和极值，结合零点存在定理确定零点个数.
21．（1）（2）
（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
【详解】
（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以a的取值范围为．
【整体点评】
（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．
答案第1页，共2页
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