7.2离散型随机变量及其分布列 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 7.2离散型随机变量及其分布列 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 459.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-03 21:40:35 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 7.2 离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．若随机变量ξ的分布列：
ξ 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
那么E(5ξ+4)等于A．15 B．11 C．2.2 D．2.3
2．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A． B． C．[－3，3] D．[0，1]
3．如图所示是离散型随机变量X的概率分布直观图，则（ ）
A．0.1 B．0.12 C．0.15 D．0.18
4．已知随机变量的分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
其中成等差数列，则函数有且只有一个零点的概率为（ ）A． B． C． D．
5．小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为实数，随机变量，的分布列如下：
0 1
0 1
若，随机变量满足，其中随机变量，相互独立，则取值范围的是（ ）A． B． C． D．
7．已知随机变量的分布列是
1 2 3
则（ ）A． B． C．1 D．
8．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
9．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A．3/5 B．3/4 C．1/2 D．3/10
10．若离散型随机变量的分布列为：
0 1
则常数的值为A．或 B． C． D．1
11．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于 ( )
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A．16 B．11
C．2.2 D．2.3
12．下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中）（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3
C．
1 2 3
D．
1 2 3
二、填空题
13．已知分布列
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2
则（1）x＝________；
（2）P(Y＞3)＝________；
（3）P(1＜Y≤4)＝________.
14．一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为_____________
15．已知随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3),则P(X=2)=_____.
16．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
三、解答题
17．某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元．当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售量为5000件；若气温在内，则销售量为3500件；若气温低于25℃，则销售量为2000件．为制定今年9月份的生产计划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表：
气温/℃
天数 4 14 36 21 15
以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．
(1)求今年9月份这种食品一天的销售量X（单位：件）的分布列和均值；
(2)设今年9月份一天销售这种食品的利润为Y（单位：元），这种食品一天的生产量为n（单位：件），若，求Y的均值的最大值及对应的n的值．
18．已知随机变量的分布列如表所示．
0 1 2 3
(1)求随机变量的分布列；
(2)若，求实数的取值范围．
19．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目、3道科技类题目、2道体育类题目.测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．记某选手抽到科技类题目的道数为X．
（1）试求出随机变量X的可能取值．
（2）X=1表示的试验结果是什么 可能出现多少种不同的结果
20．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.
(1)求系统不需要维修的概率；
(2)该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望;
(3)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C可以正常工作，问:满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率
21．在一次购物抽奖活动中，假设某张奖券中有一等奖券张，可获价值元的奖品；有二等奖券张，每张可获价值元的奖品；其余张没有奖.某顾客从这张中任抽张.
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值（元）的分布列.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
由已知条件求出Eξ=2.2，再由E(5ξ+4)=5E(ξ)+4，能求出结果.
【详解】
由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，
∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.
故选：A.
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题.
2．B
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，根据各个变量概率和为1，可求得a值，根据概率大于等于0，即可求得答案.
【详解】
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，
根据各个变量概率和为1得：(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得，
由，解得.
故选：B
3．C
根据所有随机变量的概率之和为1，列出方程，可求出答案.
【详解】
由题意，解得．
故选：C．
4．B
根据题意求得，得到函数有且只有一个零点，结合，求得，即可求解.
【详解】
由题意知，且，解得，
又由函数有且只有一个零点，
即对于方程只有一个根，可得，解答，
所以.
故选：B
5．C
根据通过某次考试的概率是未通过的5倍，由求解.
【详解】
因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，
所以，
解得.
故选：C
本题主要考查离散型随机变量的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
6．B
由及，可知，；又因为，可求出；由题意知，从而可求出取值范围.
【详解】
解：由知， ，即 ，又 ，所以；
因为 ，所以 ，解得.又 ，
且，相互独立，，所以.
故选:B.
本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出 的取值范围.
7．A
直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.
【详解】
解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为得：，
所以.
故选：A.
本题考查分布列的性质，是基础题.
8．A
由题知a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，进而得共有种不同的情况．再根据随机变量求解即可得答案.
【详解】
由于抛物线的对称轴在y轴左侧，
所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，
所以共有种不同的情况．
因为，
所以的取值范围是，
其中的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
所以．
故选：A．
9．C
先记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，根据题意得到与，再由条件概率，即可求出结果.
【详解】
记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，
则事件AB为“两次都取到白球”，
依题意知，，
所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．
故选：C.
本题主要考查条件概率与独立事件，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.
10．C
根据可解出符合题意的的值.
【详解】
由随机变量的分布列的性质知，
，
，
，故选C.
本考查分布列的应用，属于简单题. 求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题,题目做起来不难，运算量也不大.分布列的随机变量的概率要滿足两个条件，一是每个概率都在区间,二是所有概率和为1.
11．A
【详解】
由表格可求，故，故选A．
12．C
分析选项ABD不满足离散型随机变量的分布列的性质，选项C满足离散型随机变量的分布列的性质，即得解.
【详解】
解：选项A中，所以选项A不满足题意；
选项B中概率之和为，事实上，所以选项B不满足题意；
选项D中，都不符合概率的意义．所以选项D不满足题意；
选项C中，，，，且，显然有解．所以选项C满足题意.
故选：C
13． 0.1； 0.45； 0.55.
（1）由离散型随机变量的各个取值的概率之和为1即可求得x的值；
（2）将Y的值大于3的各种情况的概率值相加即得；
（3）将满足，即的各个概率相加即得.
【详解】
解：(1)由概率和为1，∴,解得.
(2).
(3).
故答案为：0.1；0.45；0.55.
本题考查离散型随机变量的性质，根据离散型随机变量的各个概率之和为1和离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：
(1).；(2).另外离散型随机变量的各个值时互斥的，概率是可加的.
14．
X 2 3 4
P
由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列
【详解】
由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为：
X 2 3 4
P
故答案为：
X 2 3 4
P
15．
【详解】
分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）．
详解：∵P（X=i）= (i=1,2,3)，
∴a=3，
∴P（X=2）=.
故答案选：C．
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质： ①Pi≥0，i＝1，2，…；②P1+P2+…=1．
16．
X 1 2 3
P
将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．
【详解】
由题意知X的可能取值为1，2，3
； ；
故答案为：
X 1 2 3
P
17．(1)分布列见解析；期望为
(2)Y的均值的最大值为11900，此时
（1）今年9月份这种食品一天的销量（件）的可能取值为2000、3500、5000，分别计算概率，然后求数学期望即可.
（2）根据气温分三段计算利润：若气温不低于，能全部销售，每件的利润是4元，则总利润可求；若气温位于，只能销售3500件，每件的利润是4元，件未能销售，每件亏3元，则总利润可求；若气温低于，只能销售2000件，每件的利润是4元，件未能销售，每件亏3元，则总利润可求；据此可求出的数学期望的最大值以及对应的的值.
(1)
X的可能取值为2000，3500，5000．
，，．
故X的分布列为
X 2000 3500 5000
P 0.2 0.4 0.4
．
(2)
由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件．
当时，
若气温不低于30℃，则；
若气温在内，则；
若气温低于25℃，则．
．
当时，取得最大值11900．
故Y的均值的最大值为11900，此时．
18．(1)分布列见解析
(2)
（1）先根据及的所有可能取值得的所有可能取值，再根据的取值的概率求出的取值的概率，从而可得的分布列；
（2）根据的分布列可求出结果.
(1)
由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，
则，
或，
或
．
可得随机变量的分布列如表所示．
0 1 4 9
(2)
因为，，
又因为，所以.
∴实数的取值范围是．
19．（1）0，1，2，3；（2）答案见解析．
（1）根据科技类题目总数与抽取次数即可得到结果；
（2）X=1表示恰好抽到一道科技类题目，可能出现种结果．
【详解】
（1）由题意得X的可能取值为0，1，2，3；
（2）X=1表示的试验结果是“恰好抽到一道科技类题目”.可能出现=378(种)不同的结果．
20．(1)；(2)见解析；(3) 当时，可以提高整个系统的正常工作概率.
（1）由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率；
（2）设为维修维修的系统的个数，根据题意可得，从而得到，利用公式写出分布列，并求得期望；
（3）根据题意，当系统有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.
【详解】
（1）系统不需要维修的概率为.
（2）设为维修维修的系统的个数，则，且，
所以.
所以的分布列为
0 500 1000 1500
所以的期望为.
（3）当系统有5个电子元件时，
原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统的才正常工作.
若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，
则概率为；
若前3个电子元件中有两个正常工作，
同时新增的两个至少有1个正常工作，
则概率为；
若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，
系统均能正常工作，则概率为.
所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，
于是由知，当时，即时，
可以提高整个系统的正常工作概率.
该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目.
21．（1）；（2）分布列见解析.
（1）根据古典概型的概率公式，结合组合数即可求解；
（2）求得所有可能的取值为（单位：元）：，，，，，求出对应的概率，即可列出分布列.
【详解】
（1）记顾客中奖为事件，，即该顾客中奖的概率为；
（2）所有可能的取值为（单位：元）：，，，，，
且，，
，，，
故的分布列为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．若随机变量ξ的分布列：
ξ 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
那么E(5ξ+4)等于A．15 B．11 C．2.2 D．2.3
2．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A． B． C．[－3，3] D．[0，1]
3．如图所示是离散型随机变量X的概率分布直观图，则（ ）
A．0.1 B．0.12 C．0.15 D．0.18
4．已知随机变量的分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
其中成等差数列，则函数有且只有一个零点的概率为（ ）A． B． C． D．
5．小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为实数，随机变量，的分布列如下：
0 1
0 1
若，随机变量满足，其中随机变量，相互独立，则取值范围的是（ ）A． B． C． D．
7．已知随机变量的分布列是
1 2 3
则（ ）A． B． C．1 D．
8．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
9．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A．3/5 B．3/4 C．1/2 D．3/10
10．若离散型随机变量的分布列为：
0 1
则常数的值为A．或 B． C． D．1
11．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于 ( )
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A．16 B．11
C．2.2 D．2.3
12．下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中）（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3
C．
1 2 3
D．
1 2 3
二、填空题
13．已知分布列
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2
则（1）x＝________；
（2）P(Y＞3)＝________；
（3）P(1＜Y≤4)＝________.
14．一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为_____________
15．已知随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3),则P(X=2)=_____.
16．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
三、解答题
17．某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元．当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售量为5000件；若气温在内，则销售量为3500件；若气温低于25℃，则销售量为2000件．为制定今年9月份的生产计划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表：
气温/℃
天数 4 14 36 21 15
以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．
(1)求今年9月份这种食品一天的销售量X（单位：件）的分布列和均值；
(2)设今年9月份一天销售这种食品的利润为Y（单位：元），这种食品一天的生产量为n（单位：件），若，求Y的均值的最大值及对应的n的值．
18．已知随机变量的分布列如表所示．
0 1 2 3
(1)求随机变量的分布列；
(2)若，求实数的取值范围．
19．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目、3道科技类题目、2道体育类题目.测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．记某选手抽到科技类题目的道数为X．
（1）试求出随机变量X的可能取值．
（2）X=1表示的试验结果是什么 可能出现多少种不同的结果
20．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.
(1)求系统不需要维修的概率；
(2)该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望;
(3)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C可以正常工作，问:满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率
21．在一次购物抽奖活动中，假设某张奖券中有一等奖券张，可获价值元的奖品；有二等奖券张，每张可获价值元的奖品；其余张没有奖.某顾客从这张中任抽张.
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值（元）的分布列.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
由已知条件求出Eξ=2.2，再由E(5ξ+4)=5E(ξ)+4，能求出结果.
【详解】
由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，
∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.
故选：A.
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题.
2．B
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，根据各个变量概率和为1，可求得a值，根据概率大于等于0，即可求得答案.
【详解】
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，
根据各个变量概率和为1得：(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得，
由，解得.
故选：B
3．C
根据所有随机变量的概率之和为1，列出方程，可求出答案.
【详解】
由题意，解得．
故选：C．
4．B
根据题意求得，得到函数有且只有一个零点，结合，求得，即可求解.
【详解】
由题意知，且，解得，
又由函数有且只有一个零点，
即对于方程只有一个根，可得，解答，
所以.
故选：B
5．C
根据通过某次考试的概率是未通过的5倍，由求解.
【详解】
因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，
所以，
解得.
故选：C
本题主要考查离散型随机变量的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
6．B
由及，可知，；又因为，可求出；由题意知，从而可求出取值范围.
【详解】
解：由知， ，即 ，又 ，所以；
因为 ，所以 ，解得.又 ，
且，相互独立，，所以.
故选:B.
本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出 的取值范围.
7．A
直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.
【详解】
解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为得：，
所以.
故选：A.
本题考查分布列的性质，是基础题.
8．A
由题知a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，进而得共有种不同的情况．再根据随机变量求解即可得答案.
【详解】
由于抛物线的对称轴在y轴左侧，
所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，
所以共有种不同的情况．
因为，
所以的取值范围是，
其中的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
所以．
故选：A．
9．C
先记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，根据题意得到与，再由条件概率，即可求出结果.
【详解】
记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，
则事件AB为“两次都取到白球”，
依题意知，，
所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．
故选：C.
本题主要考查条件概率与独立事件，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.
10．C
根据可解出符合题意的的值.
【详解】
由随机变量的分布列的性质知，
，
，
，故选C.
本考查分布列的应用，属于简单题. 求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题,题目做起来不难，运算量也不大.分布列的随机变量的概率要滿足两个条件，一是每个概率都在区间,二是所有概率和为1.
11．A
【详解】
由表格可求，故，故选A．
12．C
分析选项ABD不满足离散型随机变量的分布列的性质，选项C满足离散型随机变量的分布列的性质，即得解.
【详解】
解：选项A中，所以选项A不满足题意；
选项B中概率之和为，事实上，所以选项B不满足题意；
选项D中，都不符合概率的意义．所以选项D不满足题意；
选项C中，，，，且，显然有解．所以选项C满足题意.
故选：C
13． 0.1； 0.45； 0.55.
（1）由离散型随机变量的各个取值的概率之和为1即可求得x的值；
（2）将Y的值大于3的各种情况的概率值相加即得；
（3）将满足，即的各个概率相加即得.
【详解】
解：(1)由概率和为1，∴,解得.
(2).
(3).
故答案为：0.1；0.45；0.55.
本题考查离散型随机变量的性质，根据离散型随机变量的各个概率之和为1和离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：
(1).；(2).另外离散型随机变量的各个值时互斥的，概率是可加的.
14．
X 2 3 4
P
由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列
【详解】
由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为：
X 2 3 4
P
故答案为：
X 2 3 4
P
15．
【详解】
分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）．
详解：∵P（X=i）= (i=1,2,3)，
∴a=3，
∴P（X=2）=.
故答案选：C．
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质： ①Pi≥0，i＝1，2，…；②P1+P2+…=1．
16．
X 1 2 3
P
将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．
【详解】
由题意知X的可能取值为1，2，3
； ；
故答案为：
X 1 2 3
P
17．(1)分布列见解析；期望为
(2)Y的均值的最大值为11900，此时
（1）今年9月份这种食品一天的销量（件）的可能取值为2000、3500、5000，分别计算概率，然后求数学期望即可.
（2）根据气温分三段计算利润：若气温不低于，能全部销售，每件的利润是4元，则总利润可求；若气温位于，只能销售3500件，每件的利润是4元，件未能销售，每件亏3元，则总利润可求；若气温低于，只能销售2000件，每件的利润是4元，件未能销售，每件亏3元，则总利润可求；据此可求出的数学期望的最大值以及对应的的值.
(1)
X的可能取值为2000，3500，5000．
，，．
故X的分布列为
X 2000 3500 5000
P 0.2 0.4 0.4
．
(2)
由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件．
当时，
若气温不低于30℃，则；
若气温在内，则；
若气温低于25℃，则．
．
当时，取得最大值11900．
故Y的均值的最大值为11900，此时．
18．(1)分布列见解析
(2)
（1）先根据及的所有可能取值得的所有可能取值，再根据的取值的概率求出的取值的概率，从而可得的分布列；
（2）根据的分布列可求出结果.
(1)
由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，
则，
或，
或
．
可得随机变量的分布列如表所示．
0 1 4 9
(2)
因为，，
又因为，所以.
∴实数的取值范围是．
19．（1）0，1，2，3；（2）答案见解析．
（1）根据科技类题目总数与抽取次数即可得到结果；
（2）X=1表示恰好抽到一道科技类题目，可能出现种结果．
【详解】
（1）由题意得X的可能取值为0，1，2，3；
（2）X=1表示的试验结果是“恰好抽到一道科技类题目”.可能出现=378(种)不同的结果．
20．(1)；(2)见解析；(3) 当时，可以提高整个系统的正常工作概率.
（1）由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率；
（2）设为维修维修的系统的个数，根据题意可得，从而得到，利用公式写出分布列，并求得期望；
（3）根据题意，当系统有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.
【详解】
（1）系统不需要维修的概率为.
（2）设为维修维修的系统的个数，则，且，
所以.
所以的分布列为
0 500 1000 1500
所以的期望为.
（3）当系统有5个电子元件时，
原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统的才正常工作.
若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，
则概率为；
若前3个电子元件中有两个正常工作，
同时新增的两个至少有1个正常工作，
则概率为；
若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，
系统均能正常工作，则概率为.
所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，
于是由知，当时，即时，
可以提高整个系统的正常工作概率.
该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目.
21．（1）；（2）分布列见解析.
（1）根据古典概型的概率公式，结合组合数即可求解；
（2）求得所有可能的取值为（单位：元）：，，，，，求出对应的概率，即可列出分布列.
【详解】
（1）记顾客中奖为事件，，即该顾客中奖的概率为；
（2）所有可能的取值为（单位：元）：，，，，，
且，，
，，，
故的分布列为：
答案第1页，共2页
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