7.3离散型随机变量的数字特征 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 7.3离散型随机变量的数字特征 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 754.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-03 21:41:28 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征
一、单选题
1．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为
A． B． C． D．
2．设，随机变量的分布如下表所示，则当在内增大时，（ ）
0 1 2
A．先减少后增大 B．先增大后减少
C．先减小后增大 D．先增大后减小
3．设，，随机变量的分布列是
则当在内增大时，（ ）A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
4．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为
ξ 1 2 3 4
P m n
A． B． C． D．
5．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i（其中）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量（其中），则有（ ）
A． B．
C． D．
6．已知随机变量的分布列为：
0 1 2
则下列说法中正确的是( )A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值0 D．有最大值
7．已知甲、乙两人进行五局球赛，甲每局获胜的概率是，且各局的胜负相互独立，已知 甲胜一局的奖金为10元，设甲所获得的资金总额为X元，则甲所获得奖金总额的方差（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
8．已知，随机变量的分布列如下：
0 2
则的最大值为（ ）A．2 B．1 C． D．
9．小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（ ）
A． B． C． D．
10．袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，则的数学期望（ ）
A． B． C． D．
11．设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
12．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是
A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
二、填空题
13．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值______.
14．现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到件瑕疵品，则的数学期望是___________.
15．有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.
16．某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和的方差为______.
17．甲 乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为，则___________.
三、解答题
18．某牛奶店每天以每盒元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．
（1）若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：盒，）的函数解析式；
（2）牛奶店老板记录了某天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：
日需求量
频数
以这天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及均值；
②若牛奶店计划一天购进盒或盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进盒还是盒？请说明理由．
19．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和. 某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.
高中部 初中部
男生 女生 男生 女生
清楚 12 8 24 24
不清楚 28 32 38 34
(1)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；
(2)从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式. 直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）
20．漳州市某路口用停车信号管理，在某日后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41.记，2，3，…，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，，，记，M表示a，b中的较大者.
(1)从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；
(2)记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望；
(3)通过调查，在该日后的一分钟内也有15辆车到达路口，到达的时间如下：1，4，10，14，15，16，17，18，19，21，25，28，30，32，38.现甲驾驶车辆欲在后一分钟内或后一分钟内某时刻选择一个通过该路口，试通过比较和后的一分钟内车辆的平均等待时间，帮甲做出选择.
21．某公司生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为提高净化器的质量，现从甲种型号的净化器中随机抽取了400件产品，从乙种型号的净化器中随机抽取了100件产品，并对抽出的样本进行产品性能质量评估.该公司将甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器评估综合得分按照，，，分组，绘制成评估综合得分频率分布直方图如图：
甲种型号产品评估综合得分频率分布直方图 乙种型号产品评估综合得分频率分布直方图
（1）从公司生产的乙种型号净化器中随机抽取一件，估计这件产品的评估综合得分不低于80分的概率；
（2）从两种型号的样本净化器中各随机抽取一件，以表示这两件中综合得分不低于80的件数，求的分布列和数学期望（用频率估计概率）；
（3）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计400件甲种型号的净化器评估综合得分的平均值为，估计100件乙种型号的净化器评估综合得分的平均值为，同时估计上述抽取的500件净化器评估综合得分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．
【详解】
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
所以，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝.
本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．D
根据题意计算随机变量ξ的期望和方差，再判断当时，E（ξ）、D（ξ）的单调性即可．
【详解】
由期望公式，得，在内一直增大.
由方差公式，得.为开口向下，对称轴的抛物线,在内，先增大后减少,
故当在内增大时先增大后减少.
故选:D.
本题考查离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
3．D
求得，之间的关系，再求出，，讨论其单调性即可判断.
【详解】
解：由因为分布列中概率之和为，可得，
，当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.
故选：D.
本题考查根据分布列计算方差和数学期望，属基础题.
4．A
根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.
【详解】
且，则
即
解得
故答案选A
本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.
5．B
分别求出、、时，再一一判断即可；
【详解】
解：当时，的可能情况为0,3,5
选择的情况共有：种；
，，
所以
当时，的可能情况为0,3,5
选择的情况共有：种；
，，
所以
当时，的可能情况为3,5
选择的情况共有：种；
，，
所以
对于AB：，，所以，故A错误，B正确；
对于CD： ，，所以，故CD错误；
故选：B
6．D
根据数学期望和方差的定义表示出和，用函数思想解析研究﹒
【详解】
由题意，知，即．
又，则，∵＝b＋2a＝＋2a，∴没有最值；
∵
．
又，∴当时，有最大值．
故选：D﹒
7．A
设甲获胜的局数为，则，然后由方差的性质和二项分布的知识可得答案.
【详解】
设甲获胜的局数为，则
所以
故选：A
8．C
根据分布列求出期望，再得方差，根据二次函数性质可得最大值．
【详解】
由已知，
∴，
∴时，．
故选：C．
本题考查简单随机变量的分布列，均值与方差，掌握方差计算方法是解题关键．
9．C
设小明的得分为，则的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到得分的分布列，从而求出数学期望；
【详解】
解：设小明的得分为，则的可能取值为、、、，
所以，，
，；
所以小明得分的分布列为：
0 5 10 15
所以小明答完这3道题的得分期望为，
故选：C.
10．A
根据题中条件，先得出能取的值为，，，；分别求出对应的概率，再由离散型随机变量期望的计算公式，即可得出结果.
【详解】
由题意，能取的值为，，，，
则，，
，
，
则的数学期望.
故选：A.
本题主要考查求离散型随机变量的期望，属于常考题型.
11．D
先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.
【详解】
，
，
，∴先增后减，因此选D.
12．C
表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。
【详解】
解：依题意可得，
因为
所以即故，错误；
即，故成立；
故错误
故选：
本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。
13．
根据题意得出的所有可能取值为，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算取每个值时的概率，从而求的均值.
【详解】
的所有可能取值为，
大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；
每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有个；
每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有个小正方体涂有一面油漆；
剩余的个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，
所以，，，，
.
故答案为：.
14．
写出X的所有可能值，算出X取每个值时的概率即可作答.
【详解】
依题意，X的所有可能值是0，1，2，
，，，
，
所以的数学期望是.
故答案为：
15．
设随机变量，可求得随机变量两个取值所对应的概率，由此得到分布列，从而计算得到，由可求得结果.
【详解】
由题意知：大楼共层，
设随机变量，则，
，，
则的分布列如下：
，
.
故答案为：.
关键点点睛：本题解题关键是能够明确当电梯不停时，无人能走出电梯，从而结合对立事件概率公式确定电梯在每层停与不停所对应的概率，进而得到分布列.
16．576
先分析可得的可能取值为190，150，110，然后根据超几何分布的概率计算公式求出概率，然后再根据均值和方差的计算公式进行计算即可得解.
【详解】
由题意，可得的可能取值为190，150，110，
且，，，
则，
所以方差.
故答案为：576.
17．
本题可分别求出、以及时的概率，然后通过数学期望的计算公式即可得出结果.
【详解】
由题意易知，的可能取值为、、，
若，则；
若，则；
若，则，
故，
故答案为：.
18．（1）；（2）①分布列见解析，均值为；②每天购进盒比较合理，理由见解析．
（1）分、两种情况分析，结合题意可得出关于的函数关系式；
（2）①分析可知随机变量的可能取值有、、，结合表格计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；
②设每天购进盒时，该牛奶店所获利润的数学期望值，与的值比较大小，即可得出结论.
【详解】
（1）当时，，
当时，.
所以，函数解析式为；
（2）①由（1）可知，当时，，当时，，当时，．
所以，随机变量的可能取值为、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
；
②由①知当购进盒时，，
当购进盒时，，
设表示当天的利润，当时，，当时，，当时，，当时，，
，，，，
所以，，
因为，因此，每天购进盒比较合理.
19．(1)
(2)分布列见解析，的数学期望为；
(3).
（1）运用古典概率公式即可；
（2）的取值有0，1，2，分别求得随机变量取每一个值的概率得出分布列，由公式求得其数学期望；
（3）由表中数据可得结论.
(1)
解：由已知得，清楚垃圾分类后处理方式的有人，
所以从该校学生中随机抽取一人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为；
(2)
解：高中部共有名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，
初中部共有名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，
从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，则的取值有0，1，2，所以
，，，
所以的分布列为：
X 0 1 2
P
所以的数学期望为；
(3)
解：.
20．(1)
(2)
0 1 2
P
(3)比较见解析，甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口
（1）用组合知识求解古典概型；（2）求的可能取值及相应的概率，求出分布列及期望；（3）分别求出后与后的1分钟内15辆车在路口等待的时间平均值，
通过比较大小得到结论.
(1)
这15辆车到达路口的时间在15秒以内的有5辆，
记“两辆车到达路口的时间均在15秒以内”为事件A，则，
所以从这15辆车中任取2辆，到达路口的时间在15秒以内的概率为
(2)
一分钟内的这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，
则，
所以的可能值为，0，1，2，
，
所以的分布列为
0 1 2
P
所以
(3)
后的1分钟内这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，2，4，6，8，10，11，10，10，11，12，9，
因为后的1分钟内15辆车在路口等待的时间之和为15，
设后的1分钟内的15辆车在路口等待的时间之和为X，
则，所以，
所以后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间大于后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间，所以甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口
21．（1）0.1；（2）分布列见解析，0.3；（3）.
（1）计算100件乙种型号的净化器评估综合得分不低于80分的频率即可；
（2）易得的所有可能值为0，1，2，再列出分布列求解数学期望即可；
（3）分别根据平均值的算法求出和再比较大小即可
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，100件乙种型号的净化器评估综合得分不低于80分的频率为，所以从公司生产的乙种型号净化器中随机抽取一件，
这件产品的评估综合得分不低于80分的概率大约为0.1.
（2）甲种型号产品综合得分不低于80的概率为，乙种型号产品综合得分不低于80的概率为，的所有可能值为0，1，2.
所以，
.
所以的分布列为
0 1 2
0.72 0.26 0.02
故的数学期望.
（3）由表得，，故
500件净化器中，，，内的频率分别为
；
；
；
故
故
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为
A． B． C． D．
2．设，随机变量的分布如下表所示，则当在内增大时，（ ）
0 1 2
A．先减少后增大 B．先增大后减少
C．先减小后增大 D．先增大后减小
3．设，，随机变量的分布列是
则当在内增大时，（ ）A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
4．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为
ξ 1 2 3 4
P m n
A． B． C． D．
5．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i（其中）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量（其中），则有（ ）
A． B．
C． D．
6．已知随机变量的分布列为：
0 1 2
则下列说法中正确的是( )A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值0 D．有最大值
7．已知甲、乙两人进行五局球赛，甲每局获胜的概率是，且各局的胜负相互独立，已知 甲胜一局的奖金为10元，设甲所获得的资金总额为X元，则甲所获得奖金总额的方差（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
8．已知，随机变量的分布列如下：
0 2
则的最大值为（ ）A．2 B．1 C． D．
9．小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（ ）
A． B． C． D．
10．袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，则的数学期望（ ）
A． B． C． D．
11．设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
12．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是
A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
二、填空题
13．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值______.
14．现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到件瑕疵品，则的数学期望是___________.
15．有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.
16．某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和的方差为______.
17．甲 乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为，则___________.
三、解答题
18．某牛奶店每天以每盒元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．
（1）若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：盒，）的函数解析式；
（2）牛奶店老板记录了某天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：
日需求量
频数
以这天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及均值；
②若牛奶店计划一天购进盒或盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进盒还是盒？请说明理由．
19．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和. 某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.
高中部 初中部
男生 女生 男生 女生
清楚 12 8 24 24
不清楚 28 32 38 34
(1)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；
(2)从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式. 直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）
20．漳州市某路口用停车信号管理，在某日后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41.记，2，3，…，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，，，记，M表示a，b中的较大者.
(1)从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；
(2)记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望；
(3)通过调查，在该日后的一分钟内也有15辆车到达路口，到达的时间如下：1，4，10，14，15，16，17，18，19，21，25，28，30，32，38.现甲驾驶车辆欲在后一分钟内或后一分钟内某时刻选择一个通过该路口，试通过比较和后的一分钟内车辆的平均等待时间，帮甲做出选择.
21．某公司生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为提高净化器的质量，现从甲种型号的净化器中随机抽取了400件产品，从乙种型号的净化器中随机抽取了100件产品，并对抽出的样本进行产品性能质量评估.该公司将甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器评估综合得分按照，，，分组，绘制成评估综合得分频率分布直方图如图：
甲种型号产品评估综合得分频率分布直方图 乙种型号产品评估综合得分频率分布直方图
（1）从公司生产的乙种型号净化器中随机抽取一件，估计这件产品的评估综合得分不低于80分的概率；
（2）从两种型号的样本净化器中各随机抽取一件，以表示这两件中综合得分不低于80的件数，求的分布列和数学期望（用频率估计概率）；
（3）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计400件甲种型号的净化器评估综合得分的平均值为，估计100件乙种型号的净化器评估综合得分的平均值为，同时估计上述抽取的500件净化器评估综合得分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．
【详解】
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
所以，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝.
本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．D
根据题意计算随机变量ξ的期望和方差，再判断当时，E（ξ）、D（ξ）的单调性即可．
【详解】
由期望公式，得，在内一直增大.
由方差公式，得.为开口向下，对称轴的抛物线,在内，先增大后减少,
故当在内增大时先增大后减少.
故选:D.
本题考查离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
3．D
求得，之间的关系，再求出，，讨论其单调性即可判断.
【详解】
解：由因为分布列中概率之和为，可得，
，当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.
故选：D.
本题考查根据分布列计算方差和数学期望，属基础题.
4．A
根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.
【详解】
且，则
即
解得
故答案选A
本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.
5．B
分别求出、、时，再一一判断即可；
【详解】
解：当时，的可能情况为0,3,5
选择的情况共有：种；
，，
所以
当时，的可能情况为0,3,5
选择的情况共有：种；
，，
所以
当时，的可能情况为3,5
选择的情况共有：种；
，，
所以
对于AB：，，所以，故A错误，B正确；
对于CD： ，，所以，故CD错误；
故选：B
6．D
根据数学期望和方差的定义表示出和，用函数思想解析研究﹒
【详解】
由题意，知，即．
又，则，∵＝b＋2a＝＋2a，∴没有最值；
∵
．
又，∴当时，有最大值．
故选：D﹒
7．A
设甲获胜的局数为，则，然后由方差的性质和二项分布的知识可得答案.
【详解】
设甲获胜的局数为，则
所以
故选：A
8．C
根据分布列求出期望，再得方差，根据二次函数性质可得最大值．
【详解】
由已知，
∴，
∴时，．
故选：C．
本题考查简单随机变量的分布列，均值与方差，掌握方差计算方法是解题关键．
9．C
设小明的得分为，则的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到得分的分布列，从而求出数学期望；
【详解】
解：设小明的得分为，则的可能取值为、、、，
所以，，
，；
所以小明得分的分布列为：
0 5 10 15
所以小明答完这3道题的得分期望为，
故选：C.
10．A
根据题中条件，先得出能取的值为，，，；分别求出对应的概率，再由离散型随机变量期望的计算公式，即可得出结果.
【详解】
由题意，能取的值为，，，，
则，，
，
，
则的数学期望.
故选：A.
本题主要考查求离散型随机变量的期望，属于常考题型.
11．D
先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.
【详解】
，
，
，∴先增后减，因此选D.
12．C
表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。
【详解】
解：依题意可得，
因为
所以即故，错误；
即，故成立；
故错误
故选：
本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。
13．
根据题意得出的所有可能取值为，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算取每个值时的概率，从而求的均值.
【详解】
的所有可能取值为，
大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；
每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有个；
每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有个小正方体涂有一面油漆；
剩余的个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，
所以，，，，
.
故答案为：.
14．
写出X的所有可能值，算出X取每个值时的概率即可作答.
【详解】
依题意，X的所有可能值是0，1，2，
，，，
，
所以的数学期望是.
故答案为：
15．
设随机变量，可求得随机变量两个取值所对应的概率，由此得到分布列，从而计算得到，由可求得结果.
【详解】
由题意知：大楼共层，
设随机变量，则，
，，
则的分布列如下：
，
.
故答案为：.
关键点点睛：本题解题关键是能够明确当电梯不停时，无人能走出电梯，从而结合对立事件概率公式确定电梯在每层停与不停所对应的概率，进而得到分布列.
16．576
先分析可得的可能取值为190，150，110，然后根据超几何分布的概率计算公式求出概率，然后再根据均值和方差的计算公式进行计算即可得解.
【详解】
由题意，可得的可能取值为190，150，110，
且，，，
则，
所以方差.
故答案为：576.
17．
本题可分别求出、以及时的概率，然后通过数学期望的计算公式即可得出结果.
【详解】
由题意易知，的可能取值为、、，
若，则；
若，则；
若，则，
故，
故答案为：.
18．（1）；（2）①分布列见解析，均值为；②每天购进盒比较合理，理由见解析．
（1）分、两种情况分析，结合题意可得出关于的函数关系式；
（2）①分析可知随机变量的可能取值有、、，结合表格计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；
②设每天购进盒时，该牛奶店所获利润的数学期望值，与的值比较大小，即可得出结论.
【详解】
（1）当时，，
当时，.
所以，函数解析式为；
（2）①由（1）可知，当时，，当时，，当时，．
所以，随机变量的可能取值为、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
；
②由①知当购进盒时，，
当购进盒时，，
设表示当天的利润，当时，，当时，，当时，，当时，，
，，，，
所以，，
因为，因此，每天购进盒比较合理.
19．(1)
(2)分布列见解析，的数学期望为；
(3).
（1）运用古典概率公式即可；
（2）的取值有0，1，2，分别求得随机变量取每一个值的概率得出分布列，由公式求得其数学期望；
（3）由表中数据可得结论.
(1)
解：由已知得，清楚垃圾分类后处理方式的有人，
所以从该校学生中随机抽取一人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为；
(2)
解：高中部共有名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，
初中部共有名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，
从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，则的取值有0，1，2，所以
，，，
所以的分布列为：
X 0 1 2
P
所以的数学期望为；
(3)
解：.
20．(1)
(2)
0 1 2
P
(3)比较见解析，甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口
（1）用组合知识求解古典概型；（2）求的可能取值及相应的概率，求出分布列及期望；（3）分别求出后与后的1分钟内15辆车在路口等待的时间平均值，
通过比较大小得到结论.
(1)
这15辆车到达路口的时间在15秒以内的有5辆，
记“两辆车到达路口的时间均在15秒以内”为事件A，则，
所以从这15辆车中任取2辆，到达路口的时间在15秒以内的概率为
(2)
一分钟内的这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，
则，
所以的可能值为，0，1，2，
，
所以的分布列为
0 1 2
P
所以
(3)
后的1分钟内这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，2，4，6，8，10，11，10，10，11，12，9，
因为后的1分钟内15辆车在路口等待的时间之和为15，
设后的1分钟内的15辆车在路口等待的时间之和为X，
则，所以，
所以后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间大于后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间，所以甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口
21．（1）0.1；（2）分布列见解析，0.3；（3）.
（1）计算100件乙种型号的净化器评估综合得分不低于80分的频率即可；
（2）易得的所有可能值为0，1，2，再列出分布列求解数学期望即可；
（3）分别根据平均值的算法求出和再比较大小即可
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，100件乙种型号的净化器评估综合得分不低于80分的频率为，所以从公司生产的乙种型号净化器中随机抽取一件，
这件产品的评估综合得分不低于80分的概率大约为0.1.
（2）甲种型号产品综合得分不低于80的概率为，乙种型号产品综合得分不低于80的概率为，的所有可能值为0，1，2.
所以，
.
所以的分布列为
0 1 2
0.72 0.26 0.02
故的数学期望.
（3）由表得，，故
500件净化器中，，，内的频率分别为
；
；
；
故
故
答案第1页，共2页
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