第七章随机变量及其分布 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 同步练习
一、单选题
1．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
2．已知圆的圆心到直线的距离为，若，则使的值为（ ）
A． B． C． D．
3．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为
A． B． C． D．
5．随机变量的分布列为
若，则（ ）A． B． C． D．
6．设，，则（ ）
A． B． C． D．
7．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（ ）
A． B． C． D．
8．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ）（参考数据：）
A．16 B．18 C．20 D．25
9．正态分布概念是由德国数学家和天文学家在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量近似服从，若，则
A． B． C． D．
10．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是（ ）
A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003
11．为准备年北京-张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有名运动员报名参加测试，其测试成绩(满分分)服从正态分布，成绩为分及以上者可以进入集训队.已知分及以上的人数为人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为（ ）
附：，，.
A． B． C． D．
12．已知随机变量，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
13．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，设其级别为随机变量ξ，则_____.
14．一用户在打电话时忘记了最后3个号码,只记得最后3个数两两不同,且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同),设他拨到正确号码的次数为X,随机变量X的可能值有_____个.
15．将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④.
其中，所有正确结论的序号是__________.
16．若随机变量，则服从的正态分布为______（填序号）.
①；②；③；④.
三、解答题
17．自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．
（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望．
（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．
18．某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为，女青年志愿者3人，记为.现从这8人中选4人参加某项公益活动.
（1）求男青年志愿者或女青年志愿者被选中的概率；
（2）在男青年志愿者被选中的情况下，求女青年志愿者也被选中的概率.
19．在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
20．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得分的概率；
（2）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；
（3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
21．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.
（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；
（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】
，
故选：B
判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
2．D
由点到直线距离公式求得k的值，再由二项分布概率公式可求得的值.
【详解】
由题意，知圆心坐标为，
圆心到直线的距离为
则，解得或．
因为，所以．
因为，
所以．
故选：D．
本题考查点到直线距离公式，考查二项分布概率公式，属于基础题.
3．B
首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可．
【详解】
若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.
4．C
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解.
【详解】
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为
故答案为：C.
本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.
5．A
由分布列性质和数学期望公式可求得的值，由方差的公式可计算得到结果.
【详解】
由分布列性质知：，解得：；
，；
.
故选：A.
6．C
根据条件概率公式可求出，然后根据对立事件的概率公式即可求出的值.
【详解】
因为，，，
所以．
故选：C．
7．B
先求得该产品能销售的概率，易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后利用二项分布求解.
【详解】
由题意得该产品能销售的概率为，
易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，
所以，，
，
故，
，
故选：B．
8．B
由题可得，即得.
【详解】
∵小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，
∴，
∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为.
故选：B.
9．A
利用正态分布的对称性求概率．
【详解】
，
故选：.
10．A
设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解
【详解】
设事件A为“任取一件为次品”，
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3，
则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.
∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
故选：A
11．C
先计算出，利用正态分布曲线的对称性得到，由，对照参数得到，从而计算出进入集训队的人数.
【详解】
正态分布，分及以上的人数为人，则，
由正态分布曲线的对称性可得：
，
故，∴，
则分及以上的人数为人.
故选C.
正态分布的问题通常利用正态曲线的特点解题：
（1）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交.
（2）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降.
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%.
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形.
12．D
先判断乙、丙的真假性，然后判断甲、丁的真假性，由此确定正确选项.
【详解】
由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故，
根据正态分布的对称性可知：甲：为真命题，所以丁为假命题.
并且，.
所以假命题的是丁.
故选：D
13．
由题可得，，，根据概率和为1即可求出.
【详解】
依题意，，，，
由分布列性质得，
则，即，.
所以.
故答案为：.
14．
大于的数是，利用排列数计算出随机拨打的所有可能，由此得出所有可能取值的个数.
【详解】
大于的数是，一共有个，从中取出不同的三个进行排列，方法数有种.
本小题主要考查对离散型随机变量的理解，考查排列问题的识别以及排列数的计算，考查分析和解决问题的能力，属于基础题.题目关键点有两点，一个是记得的数都大于，这样的话可以确定出拨打的数为中的三个.由于电话号码是有顺序的差别的，故是排列问题，需要用排列数来计算出方法数.
15．①③④
由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.
【详解】
当时，，①正确；
当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，
所以，②错误；
要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次 n-1次 n-2次 概率
反面
正面 反面
正面 正面 反面
所以，④正确；
由上式可得
，
所以，
又，满足当时，，③正确.
故答案为：①③④.
关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第n-1和第n-2次的关系，通过分类讨论及列表格的形式得到，属于难题.
16．④
根据变量线性变化后，其均值、方差的变化情况判断．
【详解】
∵，，
∴，，故.故④正确.
故答案为：④
17．（1）分布列见解析；期望为；（2）不可以；每支疫苗的有效率至少要达到80%才能满足以上要求．
（1）先分析出的可取值，然后根据超几何分布模型求解取不同值时的概率，由此可求得的分布列，并根据分布列可计算出数学期望；
（2）根据已知条件先分析出注射一次疫苗的有效率，然后计算注射两次疫苗的有效率并与作比较，得到结果为无法保证后先假设疫苗的有效率，利用减去两次疫苗都无效的概率等于，由此求解出结果.
【详解】
解：（1）因为可取，所以
所以，
，．
所以的分布列如下：
；
（2）因为实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为，
所以注射一次疫苗的有效率为，
又因为每次注射的疫苗对白兔是否有效相互独立，
所以一只白兔注射两次疫苗的有效率为：，所以无法保证，
设每支疫苗有效率至少达到才能满足要求，
则，解得
所以每支疫苗的有效率至少要达到才能满足以上要求.
关键点点睛：超几何分布模型的理解：
一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，即：
其中，且；
如果随机变量的分布列具有上表的形式，则称随机变量服从超几何分布.
18．（1）；（2）.
（1）其对立事件是和都没被选中，由对立事件概率公式计算可得．
（2）先求出被选中的概率，再求出都被选中的概率，然后由条件概率公式计算可得．
【详解】
（1）设“男青年志愿者和女青年志愿者都不被选中”为事件，则，
所以所求概率为.
（2）记“男青年志愿者被选中”为事件，“女青年志愿者被选中”为事件，
则，
所以.
所以在男青年志愿者被选中的情况下，女青年志愿者也被选中的概率为.
方法点睛：本题考查对立事件的概率公式，考查条件概率．在一个事件较为复杂，而其对立事件较简单时，常常先求出对立事件的概率，再由对立事件概率公式计算．
19．（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．
（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.
【详解】
（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
20．（1）；（2）答案见解析；（3）．
（1）由条件概率公式可求；
（2）根据题意分四种情况求分布列即可.
（3）求对立事件“玩三盘游戏全都没出现出现音乐”的概率再求解即可.
【详解】
（1）若第一次击鼓出现音乐，则该盘游戏获得分的概率为：；
（2）可能的取值为，，，．根据题意，有
，，
，．
所以的分布列为：
（3）设“第盘游戏没有出现音乐”为事件（，则
．
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为：
．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是．
21．（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）证明见解析.
（1）首先确定的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；
（2）根据已知的关系，求出与，的关系式，再通过化简和等比数列的定义求解即可.
【详解】
解：（1）依题意可得，，
，，
，，
，，
则的分布列如表所示.
5 6 7 8 9 10
.
（2）处于第个等级有两种情况：
由第等级到第等级，其概率为；
由第等级到第等级，其概率为；
所以，所以，
即.
所以数列为等比数列.
本题考查概率公式 随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力 数据处理能力，考查数学运算 逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找与，的关系式，即：，进而根据等比数列的定义证明.
答案第1页，共2页
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