1.2空间向量基本定理 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．在空间四点，，，中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）.
A．，，，四点不共线 B．，，，四点共面，但不共线
C．，，，四点不共面 D．，，，点中任意三点不共线
2．下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
3．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（ ）．
A． B．
C． D．
4．如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在正方体中，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知空间向量，满足||=||=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在平行六面体中，若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则＝（ ）
A． B．
C． D．
12．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知向量和在基底下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．在三棱柱中，是四边形的中心，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
15．空间四边形的各边和对角线均相等，是的中点，那么（ ）.
A． B．
C． D．与的大小不能比较
二、填空题
16．如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，=__________.
17．在平行六面体中，设，，，用、、作为基底向量表示________．
18．如图，在平行六面体中，，，，，，则________．（用基底表示）
三、解答题
19．如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝，＝，＝，试用，， ，表示向量.
20．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值．
21．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．
（1）求证：；
（2）求EF与CG所成角的余弦值．
22．已知四面体OABC，，．求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
利用空间向量基底的定义依次判断即可
【详解】
选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；
选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；
选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基底；
选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底.
故选：B
此题考查空间向量的基底的定义，属于基础题
2．C
根据空间向量基本定理判断选项可解.
【详解】
项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项，空间基底有无数个, 所以错.
项中因为基底不唯一，所以错.
故选.
本题考查空间向量基本定理.
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得
3．B
由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可．
【详解】
连接ON，则
由题可得
故选：B.
4．A
结合空间向量的加法、减法和数乘运算，把向量逐步向基底靠拢，再结合点的位置关系可得答案.
【详解】
.
因为分别为的中点，
所以
所以.
故选：A.
5．B
以为基底表示出，由此确定的值，进而求得的值.
【详解】
由题意可得，
∵，∴x=1，y=-1，z=1，故x+y+z=1，
故选：B
本小题主要考查用基底表示向量，考查空间向量基本定理，属于基础题.
6．C
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：C.
7．A
用表示出，计算，开方得出AO的长度.
【详解】
因为四边形是平行四边形，
,
,
,
,
，
即.
故选：A
8．D
利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解.
【详解】
如图，连接，
因为点，分别是，的中点，
所以.
因为点是的中点，
所以
.
因为点是的中点，
所以，
则.
故选：D.
9．B
求出和，cos∠AOB和sin∠AOB，根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】
||===，
||=，
则cos∠AOB===，
从而有sin∠AOB=，
∴△OAB的面积S=×××=，
故选：B．
10．D
根据条件用表示出，结合空间向量基本定理求出a，b，c即可.
【详解】
在平行六面体中，，如图，
则有，而，且不共面，
于是得，即，则，
的值等于
故选：D
11．C
根据给定条件用表示出，再借助向量加法法则即可得解.
【详解】
在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，
=，=，=，因=，N为BC中点，则，，
于是得.
故选：C
12．C
根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，
所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；
对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；
同理选项D中，共面，故D错误.
故选：C
13．A
根据向量的加减法运算可求得，再由＝可求得，由此可得选项.
【详解】
解：因为＝－
所以，所以向量在基底下的坐标是，
故选：A．
14．C
由向量线性运算依次推导即可得到结果.
【详解】
是四边形的中心，为中点，
.
故选：C.
15．C
空间四边形ABCD的各边及对角线均相等设为a，运用等边三角形的性质，可得，取BD的中点F，连接AF，EF，由余弦定理和向量的数量积的定义，计算可得，即可得到结论．
【详解】
空间四边形ABCD的各边及对角线均相等，设为a，E是边BC的中点，即有AE⊥BC，即，取BD的中点F，连接AF，EF，可得AF＝AE＝a，EF＝a，
由余弦定理可得cos∠AEF＝，可得与夹角的余弦值为，则，所以.
故选：C．
本题考查向量的数量积的运算和性质，运用向量垂直的条件和定义，以及余弦定理的运用，属于基础题．
16．
连接，根据向量的加减运算法则，求得，进而求得向量，得到答案.
【详解】
由题意，，，，
连接，根据向量的线性运算法则，可得，
因为为中点，，
又由点在上，且，可得，
所以.
17．
根据空间图形，根据向量加，减法的规则计算结果.
【详解】
有图形可知
.
故答案为：
18．
根据空间向量的线性运算求解．
【详解】
在平行六面体中
由题意，
，
所以
故答案为：．
19．
利用空间向量的线性运算及基本定理求解.
【详解】
因为M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，
，
，
，
，
.
20．.
以作为空间的一个基底，结合题意，可用基底表示出，，分别求得，，，代入求夹角公式，即可得答案.
【详解】
因为两两不共线，所以可以作为空间的一个基底，
且，
又 ，
∴
＝a2＋b2＋a2＋2abcos 120°－0－2abcos 120°＝2a2＋b2，
∴.
又
＝0＋a2＋abcos 120°＋abcos 120°－a2－0＝－ab.
∴
∴异面直线BD1和AC所成角的余弦值为 .
解题的关键是根据题意，确定基底，利用数量积公式、求模、求夹角公式求解，考查计算化简的能力.
21．（1）证明见解析；（2）．
（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明；
（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值
【详解】
（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
则，，
所以，即，
所以.
（2）由（1）知，，，
则，
因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.
22．证明见解析.
利用向量的运算，计算出，从而证明
【详解】
因为,
所以,
因为，，
所以，
所以，即.
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