1.4空间向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习
一、单选题
1．给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
C．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β
D．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1
2．正方体的棱长为3，点E，F分别在棱上，且，，下列几个命题：
①异面直线与垂直；
②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；
③三棱锥的体积为
④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为．
其中真命题的序号为（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
3．如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，正方体的棱长为，，分别为和上的点，且，则与平面的位置关系是（ ）．
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
5．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（ ）
A．，1， B．，1， C．，， D．，1，
7．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．①②
10．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知正四棱锥，侧棱长是底面边长的2倍，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内，则实数x的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
二、填空题
13．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则=_________．
14．如图，在长方体中，，以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴 轴 轴的正方向，建立空间直角坐标系，点在平面上，若平面，则点的坐标是___________.
15．已知，若，且平面，则__________．
16．已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是________________.（结果用反三角函数值表示）
17．在正方体中，是线段上的一点，且，若为锐角，则的取值范围是______.
三、解答题
18．如图1，在等腰直角中，分别为的中点，将沿直线翻折，得到如图2所示的四棱锥，若二面角的大小为，为中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，四棱锥中，，，，，，．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
（1）平面BDD1B1的一个法向量；
（2）平面BDEF的一个法向量．
21．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】
对于A，∵，
∴，∴l与m垂直，A正确；
对于B，∵与不共线，
∴直线l不垂直平面α，B错误；
对于C，∵与不共线，
∴平面α与平面β不平行，C错误；
对于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，
由n·=-1-u+t=0，n·=-1+3u=0，解得u=，t=，∴u+t=，D错误.
故选：A.
2．B
对于①：取的三等分点为，使，利用已知条件找到异面直线， 所成的角，即可得出结果；
对于②：取 的三等分点为，使，利用已知条件得到四边形 即为所求截面，即可得出结论；
对于③：利用等体积法求解即可；
对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使，
猜想出面 即为所求的截面，建立空间坐标证明推测，代入数值即可求出结论．
【详解】
解：对于①：取的三等分点为，使，又，
且，
四边形为平行四边形，
且，
四边形 为平行四边形，
，
则 为异面直线， 所成的角，
连接，由题意得：，
所以，
故①正确；
对于②：取 的三等分点为，使，又，
且，
四边形 为平行四边形，
则 且，
又由①得： 且，
于是且，
四边形 为平行四边形，
，
取的中点为，连接，
又，
，
则四边形 即为所求截面，
由题意知：，
则②不正确；
对于③：，
又面，，
所以，
故③正确；
对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使，
，
则面 即为所求的截面，
建立如图所示的空间坐标系，
则，0，，，3，，，3，，，0，，，1，，
，，，
所以面，
由已知条件得：
，
等腰梯形 的高为：
，
所以截面面积为：，
故④正确．
故选：．
本题主要考查异面直线所成角以及线线平行问题，还考查了等体积法求四棱锥的体积以及利用空间向量解决线面垂直问题； 问题的关键是截面不容易找．
3．A
建立空间直角坐标系，写出，的坐标，由夹角公式可得结果.
【详解】
如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
故选：A.
4．B
设，，，由空间向量的线性运算可得到，由此证得与，共面，可知平面，进而得到结论.
【详解】
设，，，
由题意知：，又，
，，
则，
与，共面，
平面，又平面平面，平面．
故选：B.
5．C
【详解】
分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
6．A
设平面的法向量是，，，由可求得法向量.
【详解】
在单位正方体中，
以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，0，，
设平面的法向量是，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量是，1，.
故选：.
7．B
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面与平面所成二面角的余弦值为求出的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案
【详解】
解：如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，
平面的一个法向量为，
由题意得，解得或（舍去），
延长，设，连接，交于，延长，交的延长线于，连接，交于，则五边形为截面图形，
由题意求得，，，，，，截面五边形如图所示，
则等腰三角形底边上的高为，等腰梯形的高为，
则截面面积为
故选：B
关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为求出，属于中档题
8．A
可设出平面内内一点坐标，求出与平面平行的向量，利用数量积为0可得到，，的关系式，代入各选项的数据可得结果．
【详解】
解：设平面内一点，则：
，
是平面的法向量，
，，
由得
把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合．
故选：．
本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念．
9．B
求出判断①不正确；根据 判断②正确；由，判断③正确；假设存在使得，由无解，判断④不正确.
【详解】
由，，，，2，，，2，，知：
在①中，，故①不正确；
在②中，，，，故②正确；
在③中，， ，又因为，，知是平面的法向量，故③正确；
在④中，，3，，假设存在使得，则，无解，故④不正确；
综上可得：②③正确．
故选：B．
本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
10．B
根据题中的线面关系建立空间坐标系，运用空间向量求解即可.
【详解】
如图以点D为坐标原点建立空间坐标系
设点P的坐标为 图中各点的坐标表示如下：
B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)
，又
即，，所以
所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，
且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角B-AD-P逐渐增大
当点P位于C点处时，二面角B-AD-P最小，最小值为0
当点P为与BB1四等分点处时，二面角B-AD-P最大，此时，
即为二面角B-AD-P的平面角，
所以二面角B-AD-P正切值的取值范围为[0，].选项ACD错误，选项B正确
故选：B.
11．C
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值．
【详解】
解：如图所示建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，所以
，，， ，， ．
．
与所成角的余弦值为．
故选：．
12．A
先由点的坐标确定三个向量，，，再根据三点在平面ABC内，则有成立求解.
【详解】
因为，，，
所以，，
因为空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内
所以设，
则有.
解得
故选：A
本题主要考查了四点共面问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13．2
由条件可得两个平面的法向量平行，然后可得答案.
【详解】
，，解得．
故答案为：2
14．##（1,0.5,1）
设出点，利用平面，得到，求出点的坐标
【详解】
由题意得：，，，，因为点在平面上，所以设点，若平面，则 ，即，解得：，所以点的坐标是
故答案为：
15．
根据，由求得，再根据平面，由，且求解即可.
【详解】
因为，
所以，
即，
所以．
因为平面，
所以，且，
即
解得
所以．
故答案为：
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题.
16．
建立空间直角坐标系，求出异面直线与的方向向量，再求出两向量的夹角，进而可得异面直线与所成角的大小．
【详解】
解：建立如图所示的空间直角坐标系：
在长方体中，
，，
，，，，
，，
，
异面直线与所成角的大小是．
故答案为：．
17．
如图，建立空间坐标系，设正方体的边长为，设，写出点的坐标，代入已知条件，利用空间向量的数量积坐标公式求解即可得出结果.
【详解】
如下图，建立空间坐标系，
设正方体的边长为，设，
则，
由，得，
，
则，
为锐角，
，
，
则或，
又，
故.
故答案为：.
本题主要考查了利用空间向量的数量积坐标公式求解参数的问题.属于较易题.
18．(1)证明见解析
(2)
（1）以线面垂直判定定理的要求去证明平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求直线与平面所成角的正弦值即可.
(1)
∵ ∴
设的中点为N，连接.
又∵M为的中点，∴，∴，∴ M，N，C，D四点共面
又
∴即为二面角的平面角，∴
又，∴ △为正三角形，∴
又，平面
∴平面.
(2)
以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，
则，，，，
∴，，
设为平面的法向量，则
即：
令，解得，则
设直线与平面所成的角为，则
∴直线与平面所成角的正弦值为
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）先证平面，即可通过线面垂直推证线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，用向量法即可求得线面夹角.
【详解】
（1）如下图所示，取的中点，连接.
，，为的中点，则，，
又，可得，故四边形为平行四边形，，
且，，
，，，则，，
，，平面，
平面，因此，；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点、、、，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由，得，可得，
令，可得，，则，
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查利用线面垂直证明线线垂直，以及用向量法求线面角，属综合基础题.
20．（1）；（2）.
（1）设棱长为2，平面BDD1B1的一个法向量为，利用 即可求得；
（2）设平面BDEF的一个法向量为，利用 即可求出.
【详解】
设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则，
（1）设平面BDD1B1的一个法向量为，
，
则，即 ，令，则，
平面BDD1B1的一个法向量为；
（2），
设平面BDEF的一个法向量为．
∴， ，令，得，
平面BDEF的一个法向量为.
21．（1）；（2）
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；
（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】
（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结．因为底面，且底面，所以．
又因为，，所以平面．
又平面，所以．
从而．
因为，所以．
所以，于是．
所以．所以．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结交于点N．
由[方法二]知．
在矩形中，有，所以，即．
令，因为M为的中点，则，，．
由，得，解得，所以．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．
联结，由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角．
易证四边形是边长为的正方形，联结，．
，
由等积法解得．
在中，，由勾股定理求得．
所以，，即二面角的正弦值为．
【整体点评】
（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.
（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页