2.2直线的方程 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习
一、单选题
1．直线的倾斜角为．
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．下列有关直线的说法中正确的是（ ）．
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C．直线过定点 D．直线过定点
3．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．已知直线恒过定点，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A． B．
C．或 D．或
6．已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，则m的值为（　　）
A．﹣1 B． C．或﹣2 D．﹣1或﹣2
9．已知ab＜0，bc＞0，则直线ax＋by＋c＝0通过（ ）象限
A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四
10．直线和直线在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（ ）条
A． B． C． D．
二、填空题
13．直线过点A(2,1),且的一个法向量为则直线的方程为_______.
14．已知点在过和两点的直线上，则x的值是_______．
15．已知点在直线上运动，则的最小值为________.
16．若直线绕着其上一点逆时针旋转后得到直线，则直线的点斜式方程为_________．
17．已知直线过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的倍，则直线的方程是_______.
三、解答题
18．已知直线的倾斜角为.
（1）若直线过点，求直线的方程.
（2）若直线在轴上的截距为3，求直线的方程.
19．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，平行于x轴；
（3）经过点，；
（4）在x轴、y轴上的截距分别是，．
20．设直线l的方程为
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
21．已知直线l过点．
（1）若直线l不经过第四象限，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，的面积为S，其中O为坐标原点，求S的最小值，并求此时直线l的一般方程．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．B
将直线化成斜截式，前系数即为直线斜率，通过斜率求倾斜角．
【详解】
将直线化成斜截式得，所以直线斜率为，设直线的倾斜角是，则，即， 所以.
故选B.
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于简单题．
2．D
讨论和两种情况可得.
【详解】
直线可化为．
当时，直线的方程可化为，其斜率为，过定点；
当时，直线的方程为，其斜率不存在，过点(，
所以A，B，C不正确，D正确．
故选：D.
3．D
就直线与平行或过的中点可求直线的方程.
【详解】
若过的直线与平行，因为，
故直线的方程为：即.
若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，
故直线的方程为：即.
故选：D.
4．D
由恒成立得可得定点.
【详解】
由得，
因为恒成立，
所以 解得 所以恒过定点
故选：D
5．D
分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒
【详解】
当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为，
∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，
故选：D﹒
6．D
求出定点的坐标，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
，所以，函数的图象恒过定点，
由于点在直线上，则，则，
，则，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，同时也考查了直线过定点的问题，考查计算能力，属于基础题.
7．A
先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.
【详解】
联立得，所以两直线交点坐标为，
所求直线为，整理得.
故选：A.
8．A
利用直线与直线平行的性质直接求解．
【详解】
根据两直线平行的公式可得，故
解得
故选：A．
9．C
将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及轴上的截距的正负判断直线经过的象限.
【详解】
等价于，
根据题意，故直线必经过第一、三象限；
又因为，故直线必经过第三、四象限，
故直线必经过第一、三、四象限.
故选：C.
本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定.
10．D
由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解.
【详解】
根据题意可知，，
对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确；
对于，由可知，，此时：符合，故正确.
故选：D.
本题考查了根据直线方程识别图象，属于基础题.
11．C
由点到直线的距离表示出，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得，即可求出的最大值.
【详解】
由题意，点到直线的距离为，
则，
其中，，
所以当且仅当，时，取得最大值，
即.
故选：C
本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.
12．B
设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解.
【详解】
由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直线交轴于点，交轴于点.
由题意可得，即.
①当时，可得，即，；
②当时，可得，即，.
综上所述，符合条件的直线有条.
故选：B.
本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
13．
由的一个法向量求出其方向向量，进而写出直线的方程.
【详解】
解：的一个法向量为可得的一个方向向量为
所以直线的方程为：，即，
故答案为.
本题考查直线的方向向量和法向量间的关系，如果直线的一个法向量为，则它的一个方向向量为.
14．
由题可得直线方程，代入即求.
【详解】
过M，N两点的直线的方程为，
又在此直线上，
所以当时，．
故答案为：.
15．
把转化为两点距离的平方求解，可看成直线上的点与原点连线长度的平方的最小值，即为原点到该直线的距离平方.
【详解】
是直线上的任意一点，的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，
的最小值为原点到直线的距离的平方，
所求最小值为.
故答案为：.
【点晴】
本题主要考查点到直线的距离公式、根据几何性质求最值，着重考查了转化与化归思想的应用，属于基础题.
16．
先根据已知直线斜率求得倾斜角，旋转得到直线的倾斜角，再根据其斜率和定点得到点斜式方程.
【详解】
∵直线的斜率为1，∴倾斜角为45°．将其逆时针旋转90°后得到直线，
则直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率为．
又点在直线上，∴直线的点斜式方程为．
故答案为：.
本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题.
17．
求出直线的倾斜角，即可求得直线的倾斜角，从而可得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程，即可求出直线的方程．
【详解】
∵直线的斜率为
∴直线的倾斜角为
∵直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍
∴直线的倾斜角为，即直线的斜率为
∵直线过点
∴直线的方程为，即.
故答案为：.
18．（1）；（2）.
（1）利用点斜式方程，即可得答案；
（2）利用斜截式方程，即可得答案；
【详解】
解：∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率为.
（1）∵直线过点，∴由点斜式方程，得直线的方程为，即.
（2）∵直线在轴上的截距为3，∴由斜截式方程，得直线的方程为.
本题考查点斜式方程与斜截式方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
19．（1）；（2）；（3）；（4）
（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；
（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式；
【详解】
（1）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（2）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（3）由两点式写出直线方程，
其一般式为；
（4）由截距写出直线方程，
其一般式为；
20．（1）或 （2）
（1）对分类讨论，利用截距式即可得出；
（2），由于不经过第二象限，可得，解出即可得出．
【详解】
解：（1）若，解得，化为．
若，解得，化为，舍去．
若且，化为：，令，化为，解得，
可得直线的方程为：．
综上所述直线的方程为：或；
（2）直线的方程可化为
∵不过第二象限，
，.
本题考查了直线的方程、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（1）；（2），．
（1）若直线l不经过第四象限,则横截距小于0，纵截距大于0，即可得斜率k的取值范围
（2）根据直线l方程可以求出A，B两点坐标，可以用含k的式子表示出的面积S，利用基本不等式即可求出面积最小值和k的值，即得直线l的一般方程.
【详解】
（1）由题意知直线l的斜率存在．
当直线l的斜率时，直线的方程为，符合题意；
当时，直线l的方程为，
直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，
要使直线l不经过第四象限，则有解得．
综上，直线l的斜率k的取值范围为．
（2）由题意可知直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为，且易知，
由l的方程得．
依题意得得．
又
（当且仅当，即时等号成立），
所以当时，S取得最小值，且，
此时直线l的方程为．
本题主要考查了直线与方程和基本不等式，属于基础题.
答案第1页，共2页
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