2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
2．设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为A(0,0)，B(4,0)，，则该三角形的欧拉线方程为
A． B． C． D．
6．点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知，满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
8．已知点点，则为　　
A．4 B．2 C． D．
9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
10．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
11．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（ ）
A．－1 B．19
C．－1或19 D．1或－19
12．已知点、．若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．过和的交点，且与直线垂直的直线方程是________.
14．直线l到直线的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是___________.
15．若三直线：，：，：经过同一个点，则______
16．已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________．
三、解答题
17．已知直线：与：的交点为.
（1）求交点的坐标；
（2）求过点且平行于直线：的直线方程；
（3）求过点且垂直于直线：直线方程.
18．已知直线
(1)若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
19．已知直线.
（1）若直线的倾斜角为，求实数a的值；
（2）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（3）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离.
20．如图，已知点，，直线l过原点，且A、B两点位于直线l的两侧，过A、B作直线l的垂线，分别交l于C、D两点．
（1）当C、D重合时，求直线l的方程；
（2）当时，求线段CD的长度．
21．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.
【详解】
直线的方程为，即.
由解得.
设，直线的方程分别为 ，即
，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以
，
，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得
，解得（），所以.
所以到直线的距离为，而，所以.
故选：C
本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
2．D
求出线段的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由可求得的范围．
【详解】
，∴方程为，即，
由，解得，（显然），
由解得或．
故选：D．
方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：
（1）求出直线方程，由直线方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；
（2）求出直线过定点，再求出定点与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．
3．B
由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.
【详解】
∵直线与平行，
∴且，解得．
∴直线与间的距离．
故选：B．
4．A
根据圆心为直径两端点的中点，得到圆心坐标；再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的标准方程．
【详解】
直径两端点为 圆心坐标为
圆的半径，
圆的方程为：.
故选：A.
求解圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题．
5．A
利用点A,B,C坐标得出重心G的坐标，设的外心为,可得，从而解出，利用点斜式即可得出欧拉线.
【详解】
的顶点为A(0，0)，B(4，0)， ，∴重心.设的外心为，则，即，解得，∴W(2，0).则该三角形的欧拉线即直线GW的方程为，化简.故选A.
本题主要考查了直线的方程的求法，利用点斜式求方程时要知道直线的斜率以及直线上一点的坐标，属于中档题.
6．D
先求得点到直线距离的表达式，结合辅助角公式以及三角函数最值，求得点到直线距离的最大值.
【详解】
点到直线距离，
化简得，
其中满足，
当时取得最大值，
即.
故选：D
本小题主要考查点到直线的距离公式，考查三角函数求最值，属于中档题.
7．C
根据题意可以判断出直线过定点，则根据一次函数图像性质可知，当且仅当定点恰为垂足时，距离取得最大值.
【详解】
将代入直线方程，得，所以直线必过定点，
故点到直线的距离的最大值为.
故选:C
8．C
直接利用两点间距离公式求解即可．
【详解】
解：点点，
则．
故选C．
本题考查两点间距离公式的应用，是基本知识的考查．
9．C
作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】
如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.
10．A
由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得
，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．
【详解】
曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，
可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，
所以直线的方程为，
由，解得或（舍去），
∴当时，取得最大值，且，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，且，即时等号成立．
故选A．
（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将
转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．
（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值．
11．C
由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c的值．
【详解】
由两平行线间的距离公式得，
d＝＝，
所以| c－9|＝10，得c＝－1或c＝19．
故选：C.
12．C
设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【详解】
设点的坐标为，直线的方程为，即，
设点到直线的距离为，则，解得，
另一方面，由点到直线的距离公式得，
整理得或，，解得或或.
综上，满足条件的点共有三个．
故选：C.
本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．
13．
求出直线和的交点坐标，进而可得出所求直线方程.
【详解】
解方程组，得，即交点为.
直线的斜率，所求直线的斜率是.
故所求直线的方程是，即.
故答案为：.
14．
根据点到直线距离公式和两条平行线间的距离公式即可得到答案.
【详解】
由题意设所求直线l的方程为，
则，解得，故直线l的方程为.
故答案为：.
15．
先求出直线与的交点坐标，然后将交点坐标代入直线的方程后可求得.
【详解】
由，解得，
∴直线与的交点坐标坐标为．
由题意得点在直线上，
∴，解得．
故答案为：-3．
本题考查直线的交点，考查计算能力和数形结合思想方法，解题时根据代数方法求解即可，注意解析法的运用，属于基础题．
16．3
由题意可得两点在直线的同侧，求出点关于直线的对称点，所以当点为直线与直线的交点时，取得最小值为
【详解】
如图，可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点，
则，
所以的最小值为，
因为，直线为，所以，
所以，
所以的最小值是3
故答案为：3
17．（1）；（2）；（3）.
（1）联立直线与，即可求解；
（2）先设直线：，把点的坐标代入即可求解；
（3）先设直线：，把点的坐标代入即可求解；
【详解】
（1）由解得
所以点的坐标是；
（2）因为所求直线与平行，
所以设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得，得，
故所求直线的方程为；
（3）因为所求直线与垂直，
所以设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得，得，
故所求直线的方程为.
本题主要考查直线与直线的位置关系，重点考查直线的平行与垂直，属于基础题.
18．(1)
(2)
（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
(1)
直线，令，，则
(2)
直线与直线平行，则，得
当时，直线，即满足条件
此时直线与之间的距离为
19．（1）；（2）；（3）.
（1）根据直线，得到，再根据斜率与倾斜角的关系求解.
（2）根据直线，令得，再求解.
（3）根据直线与直线平行，则有求解，然后根据两平行直线间的距离公式求解.
【详解】
（1）因为直线，
所以，
又因为直线的倾斜角为，
所以，
解得.
（2）因为直线，
令得，，
解得.
（3）因为直线与直线平行，
所以，解得，
所以直线，
两平行直线与之间的距离 .
本题主要考查正弦得倾斜角，斜率，截距以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．（1）；（2）.
（1）求出直线的斜率，由可求得直线l的斜率，进而可求得直线l的方程；
（2）设直线的方程为，可知，利用点到直线的距离公式和可求得的值，进而可求得、，利用勾股定理可求得、，由此可求得.
【详解】
（1）当、重合时，，
直线的斜率为，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为；
（2）设直线的方程为，可知，
则，，
，所以：
，解得，
，，
由勾股定理可得，
，
所以.
21．
设其中一个交点坐标，结合对称性可得方程，即可得解.
【详解】
设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，
∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.
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