2.4圆的方程 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.4 圆的方程 同步练习
一、单选题
1．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪ D．R
2．已知过点的直线l与圆交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
3．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交不过圆心
4．若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
5．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3
C． D．
6．已知点，，，则外接圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．若直线始终平分圆，则（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
8．圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的图象是（ ）
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半圆弧
10．若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．“”是“点在圆外”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
二、填空题
13．已知圆C过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C的方程为________.
14．已知点在圆外，则实数的取值范围为______．
15．圆关于直线的对称圆的方程为________．
16．已知圆圆心为，为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为_____.
17．已知圆心C在直线上，且该圆经过和两点，则圆C的标准方程为_______.
三、解答题
18．已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
19．求以，，为顶点的三角形的外接圆的标准方程．
20．已知隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为，高为的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？
21．已知抛物线C：x2= 2py经过点（2， 1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y= 1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据表示圆的条件D2＋E2―4F＞0，解不等式即可.
【详解】
因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．
故选：A.
2．C
先根据题意求出圆心的坐标和半径，再求圆心到定点的距离，最后求的最小值
【详解】
解：将圆的方程化为标准方程，
则圆心为，半径，则圆心到定点的距离为，
最小值为.
故选：C.
本题考查直线与圆的位置关系、求弦长的最小值，是基础题.
3．C
首先求出直线过定点，再判断点与圆的位置关系，即可得解；
【详解】
解：直线的方程可变为，可知该直线恒过点，
又，所以点在圆的内部，
所以直线与圆的位置关系是相交.
当时，直线方程为，过圆心.
故选：C.
本题考查直线过定点以及点与圆的位置关系的判断，属于基础题.
4．C
先化圆标准方程，再结合几何意义确定最长的弦所在的直线方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，
则过点且过圆心的弦最长．
则最长弦所在直线的斜率，直线方程是
故选：C
本题考查圆标准方程以及几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．D
根据圆的标准方程，直接进行判断即可.
【详解】
根据圆的标准方程可得，
的圆心坐标为，半径为，
故选：D.
6．B
将A,B,C三点画在坐标系中，根据三角形外接圆圆心到各顶点距离相等，可得外接圆的圆心，进而求解.
【详解】
如图所示，易得外接圆的圆心为M(-3,0),
∴半径=5,
∴圆的方程为：
故选:B.
7．A
根据圆的一般方程求得圆的圆心，再根据圆的直径的性质可得选项.
【详解】
解：由得圆心，因为直线平分圆，所以直线必过圆心，则，则．
故选：A.
8．B
由圆的方程确定圆心和半径，求得圆心关于原点对称点的坐标后，半径不变，可得其关于原点对称的圆的方程.
【详解】
由圆的方程知：圆心，半径，
圆心关于原点对称的点的坐标为，
则圆关于原点对称的圆的方程为.
故选：B.
9．D
将函数化为，即可得出结论.
【详解】
解：可化为，所以的图象是半圆弧．
故选：D.
10．A
由得出直线的斜率，进而写出直线方程.
【详解】
圆的圆心为，则.因为，所以，故直线的方程为.
故选：A
11．B
根据点在圆外得求解集，应用等价法，由集合的包含关系即可判断条件间的充分、必要关系.
【详解】
将化为标准方程，得
当点在圆外时，有，解得
∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.
故选：B.
12．C
设出圆的一般式，根据求出，然后将点带入圆的方程即可求得结果.
【详解】
设圆的方程为，
由题意得，解得，
所以，
又因为点在圆上，所以，即.
故选：C.
13．
设圆的方程为，代入点，求得或，进而得到圆的方程.
【详解】
由题意，圆过点，且与两坐标轴都相切，
设圆的方程为，
将点代入圆的方程，可得，
整理得，解得或，
当时，圆的面积较小，所以圆的方程为.
故答案为：.
求解圆的方程的两种方法：
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；
2、待定系数法：
①根据题意，选择标准方程与一般方程；
②根据条件列出关于或的方程组；
③解出或的值，代入标准方程或一般方程.
14．
由方程表示圆可得，再由点在圆外，可得，从而可求出实数的取值范围
【详解】
解：因为在圆外，
所以且，得，
解得或，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
15．x 62+y+22=1##x2+y2-12x+4y+39=0
求出圆心关于直线的对称点，即可得到对称圆的方程．
【详解】
因为圆心关于直线的对称点为，所以对称圆的方程为．
故答案为：．
16．
求出圆心的坐标以及，并求出线段的中点的坐标，由此可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆的标准方程为，则点，
线段的中点为，且，
因此，以为直径的圆的标准方程为.
故答案为：.
本题考查圆的标准方程的求解，要结合题意求出圆心坐标和半径长，考查计算能力，属于基础题.
17．
设出圆的标准方程，利用圆心C在直线上，且该圆经过和两点，列方程组求解即可.
【详解】
设圆C的标准方程为，
因为心C在直线上，且该圆经过和两点，
所以，
解得，
所以圆C的标准方程为.
故答案为：.
求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
18．(1)证明见解析；(2) ， 或， .
【详解】
（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
【名师点睛】
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
19．
先设圆的方程，将点的坐标代入，解方程组即可求解．
【详解】
设所求圆的圆心为，标准方程为，
则有，解得，
所以的外接圆的标准方程为．
本题主要考查三角形外接圆问题，属于中档题．
20．货车能驶入这个隧道；最大高度为.
构建以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为轴的坐标系，易知半圆的方程为，将、代入方程求y值，即可判断货车是否能驶入及求出货车的最大高度.
【详解】
以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆的方程为.
将代入，得.
∵在离中心线处，隧道高度高于货车的高度，
∴货车能驶入这个隧道，将代入，得
∴货车要驶入该隧道，最大高度为.
21．(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)见解析.
(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
答案第1页，共2页
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