2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知斜率为的直线被圆：截得的弦长为，则直线的方程为（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
4．设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
5．经过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知直线被圆所截得的弦长为4，则k为（ ）
A． B． C．0 D．2
7．过坐标原点且与圆相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．已知圆上任意一点M关于直线的对称点N也在圆上.则m的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．已知三条直线，，，其中，，，，为实数，，不同时为零，，，不同时为零，且．设直线，交于点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
11．圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．圆C：被直线截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
14．已知直线过点，则（ ）
A． B．
C． D．
15．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）
A．6.33平方寸 B．6.35平方寸
C．6.37平方寸 D．6.39平方寸
二、填空题
16．圆被直线分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1：3，则________.
17．已知圆，则直线和圆的位置关系为___________.
18．圆与圆的公共弦长为________．
三、解答题
19．已知圆.
（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
20．已知实数，满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
21．已知圆．
（1）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值．
22．已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为E.
(1)求轨迹方程；
(2)过点的直线与曲线E交于P，Q两点，若，其中O为坐标原点，求.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
由题意分析得知：直线经过圆心，求出b；由直线与直线垂直，求出k；
【详解】
∵直线与圆的两个交点关于直线对称，
∴直线经过圆心（-2,0）且直线与直线垂直，
∴解得：
故选：B
(1)坐标法是解析几何的基本方法；
(2)解析几何归根结底还是几何，寻找合适的几何关系可以简化运算．
2．A
分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案．
【详解】
圆，即，圆心为，半径，
圆，即，圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，
此时，即的最小值为，
故选：A．
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.
3．B
设出直线方程为，利用垂径定理求出m，即可求出直线.
【详解】
圆的标准方程为，设直线的方程为，可知圆心到直线的距离为，有，有或，直线的方程为或．
故选：B
4．A
求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
【详解】
解：圆，即，所以圆心为，
所以，即，因为、，
则，
当且仅当时，取等号．
故选：．
5．D
判断点在圆上，再由切线的几何性质求斜率，进而求切线方程.
【详解】
，
在圆上，且，
过的切线斜率为.
过的切线方程为：，即.
故选:D.
6．A
利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k.
【详解】
设圆心到直线的距离为d，则由点到直线的距离公式得，
由题意得：，解得．
故选：A
7．A
求出圆心及半径，分直线斜率不存在和存在两种情况，当斜率存在时，可设切线方程为，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，解得即可得出答案.
【详解】
解：化为标准方程，即得圆心和半径，
当切线斜率不存在时，切线方程为，此时，圆心到切线的距离为，不符题意，故舍去；
当斜率存在时，设过坐标原点的切线方程为，即，
∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或，
故选：A.
8．B
由圆心在直线上得出的值.
【详解】
圆可化为
由题意可知直线经过圆心，即
故选：B
9．D
分析出直线，且直线过原点，直线过定点，直线过定点，求出点P的轨迹是以OM为直径的圆，求出圆心到点N的距离，再加上半径即可得解.
【详解】
由于，，且，，
易知直线过原点，
将直线的方程化为，由，解得，
所以，直线过定点，所以，
因为，则，直线的方程为，
直线的方程可化为，由，解得，
所以，直线过定点，如下图所示：
设线段OM的中点为点E，则，
若点P不与O或M重合，由于，由直角三角形的性质可得；
若点P与O或M重合，满足.
由上可知，点P的轨迹是以OM为直径的圆E，该圆圆心为，半径为.
设点E到直线的距离为d，当时，；
当EN不与垂直时，.
综上，.
所以，点P到直线的距离的最大值为.
故选：D.
方法点睛：解析几何的最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
10．B
求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.
【详解】
解：直线，即，
由得，所以直线恒过定点，
因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，
故选：B.
11．C
由题意可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，根据两直线垂直求出线段的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，
由圆的几何性质可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，
直线的斜率为，则所求直线的斜率为，
因此，线段的垂直平分线的方程是，即.
故选：C.
12．D
先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线的距离等于，即可求解.
【详解】
由可得：，
所以圆心，半径，
由为等腰直角三角形知，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
故选：D.
13．B
由于直线过定点，所以由圆的性质可知当直线与弦垂直时，弦长最短，从而利用弦、弦心距和半径的关系可求得答案
【详解】
直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，所以最短弦长为，
故选：B．
14．D
根据题意可知点在单位圆上，所以直线与该圆有交点，由点到直线的距离可得答案.
【详解】
由可得点在单位圆上，
所以直线和圆有公共点.
所以圆心到直线的距离，即得到.
故选：D
15．A
连接OC，设半径为r，则，在直角三角形中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形的面积，减去三角形即可得阴影部分的面积．
【详解】
连接OC，设半径为r，寸，则
在直角三角形中，
即，解得
则 ，所以
则
所以扇形的面积
三角形的面积
所以阴影部分面积为
所以选A
本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题．
16．1或
由题意可知较短弧所对圆心角是，此时圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式求解即可
【详解】
由题意知，圆的标准方程为，
较短弧所对圆心角是，所以圆心到直线的距离为，
即，解得或.
故答案为：1或
17．相交
根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径，再求圆心到直线的距离，且与圆的半径比较可得结论.
【详解】
解：由圆得，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线和圆的位置关系为相交，
故答案为：相交.
18．
两圆方程相减得公共弦据直线方程，然后求出一个圆心到该直线距离，由勾股定理得弦长．
【详解】
两圆方程相减得，即，
原点到此直线距离为，圆半径为，
所以所求公共弦长为．
故答案为：．
本题考查两圆公共弦长，解题关键是求出公共弦所在直线方程．
19．（1）或；（2）最大值2，直线的方程为或.
（1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况；
（2）圆心到直线的距离为，然后利用的面积求得最值得到及k，求得答案.
【详解】
（1）圆的圆心坐标为，半径，
直线被圆截得的弦长为，由勾股定理得到圆心到直线的距离
①当直线的斜率不存在时，，显然满足；
②当直线的斜率存在时，设，即，
由圆心到直线的距离得：，解得，故；
综上所述，直线的方程为或
（2）直线与圆相交，的斜率一定存在且不为0，设直线方程：，
即，则圆心到直线的距离为，
又的面积
当时，取最大值2，由，得或，
直线的方程为或.
本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的最值及直线的方程.
20．（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.
（1）设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，解方程即得解；
（2）设，当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，解方程即得解；
（3）最大值和最小值分别为圆心到原点的距离与半径的和与差的平方.
【详解】
（1）方程表示以点为圆心，为半径的圆，
设，即，
当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，
此时，解得.
故的最大值为，最小值为.
（2）设，即，
当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，
此时，即.
故的最大值为，最小值为.
（3）表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故，
.
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到圆上的点的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（1）或；（2）的面积的最大值为2．
（1）求出圆C的圆心坐标为，半径，推出圆心C到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程：，判断是否满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：，利用点到直线的距离公式求解即可．
（2）设直线l方程：，利用点到直线的距离公式以及三角形面积公式，通过二次函数的最值求解即可．
【详解】
（1）圆C的圆心坐标为，半径，
直线l被圆C截得的弦长为，
圆心C到直线l的距离．
①当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程：，显然满足；
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程：，即，
由圆心C到直线l的距离得：，解得，
故直线l的方程：；
综上所述，直线l的方程为或．
（2）直线与圆相交于P、Q两点，
的斜率一定存在且不为0，
设直线l方程：，即，
则圆心C到直线l的距离为，
又的面积
，
当时，S取最大值2，
此时，得或.
直线l方程为：或.
22．(1)
(2)
（1）利用中点坐标公式将点用的中点坐标和点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程；
（2）联立直线与曲线E，利用韦达定理结合即可求出直线的方程，进而求出.
(1)
解：设的中点为，
的中点为，且
，即
点在圆上
即
化简得：
所以的轨迹方程为：
(2)
解：设，
由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为
设直线的方程为：
联立直线与圆的方程：
得：
解得：
，
由得：
即
化简得：
将韦达定理代入得：
解得：，符合题意
此时直线的方程为：
由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为
在直线的方程中，当时，，即直线过圆心
所以
方法点睛：求轨迹方程的常见方法
①直接法：将动点满足的（与斜率、距离、数量积等有关的，或由平面几何知识推出的）等量关系，直接坐标化，即可得到动点轨迹方程．
②定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可根据定义直接求，又称几何法，利用平面几何知识转化是关键．
③代入法：若动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知(或容易先确定的)曲线上，则可先用，的代数式表示，，再将，代入已知曲线即可得到要求的轨迹方程．又称相关点法或转移法．
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