3.1椭圆 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1椭圆 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 717.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-03 21:49:45 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 3.1椭圆 同步练习
一、单选题
1．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
5．设为椭圆C:的两个焦点，点P在椭圆C上，若成等差数列，则椭圆C的离心率为（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
9．椭圆上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．6
10．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
12．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
14．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
15．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．P、Q是椭圆C：的动点，则的最大值为__________.
17．已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．
18．已知椭圆的焦点为，，过的直线交于，，若，，则的方程为________．
三、解答题
19．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围．
20．已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．
21．已知椭圆：()的长轴长4，离心率，
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆左，右顶点，已知点为直线：上的动点，直线 与椭圆分别交于 两点，求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标.
22．已知椭圆，点 分别是其左 右焦点，点A B分别为其左 右顶点.若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为，且圆为该四边形的内切圆.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据椭圆方程，解得，然后由椭圆的定义求解.
【详解】
因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
2．C
直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果.
【详解】
解：直角坐标系中，椭圆，
所以，
当时，，
故，整理得，
故选：C.
本题考查的知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
3．A
由椭圆方程判断出焦点位置，求出，从而可得答案.
【详解】
因为椭圆的标准方程为，
所以其焦点在轴上，且，
则，
所以椭圆的焦点坐标是，
故选：A.
4．A
根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.
【详解】
由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以的值为1.
故选：A
5．B
由等差数列及椭圆的性质可得，再由离心率公式即可得解.
【详解】
设，
因为成等差数列，
所以即，
所以椭圆C的离心率.
故选：B.
6．D
分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.
【详解】
由已知可得，，且、、三点不共线，
故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，
由已知可得，得，，则，
因此，点的轨迹方程为.
故选：D.
7．C
分类讨论，，，用表示出离心率，解相应不等式可得的范围．
【详解】
当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得，综上知C正确．
故选：C．
8．A
由椭圆定义求得，已知焦点坐标得，再求出可得椭圆方程．
【详解】
∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
故选：A．
9．D
椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，然后算出即可.
【详解】
椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，所以最大值为.
故选：D
10．B
先求出给定方程表示椭圆的等价条件构成的集合，再与集合比对即可判断得解.
【详解】
方程表示椭圆，则有，解得或，
于是得方程表示椭圆的m取值集合为，
显然，，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
11．B
由椭圆的定义结合勾股定理求出，即可求解
【详解】
由，
得，
又因为，
所以，
由，
得，
所以，
又.
因为椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的方程是.
故选：B.
12．C
由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】
由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB的距离，
又三角形的内切圆的面积为，
则半径为1，
由等面积可得，
.
故选：C.
13．D
根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】
是焦点为、的椭圆上一点，
的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，
，
，，
由题意知是的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，
故选：D．
14．C
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
15．A
延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果.
【详解】
如图，
延长与交于点，则是的角平分线，
由可得与垂直，
可得为等腰三角形，故为的中点，
由于为的中点，
则为的中位线，故，
由于，所以，
所以，
问题转化为求的最值，
而的最小值为，的最大值为，即的值域为，
故当或时，取得最大值为
，
当时，在轴上，此时与重合，
取得最小值为0，又由题意，最值取不到，
所以的取值范围是，
故选：A.
该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.
16．4
根据椭圆中长轴是最长的弦，即可求出结果.
【详解】
由于椭圆中长轴是最长的弦，所以，
故答案为：4.
17．##
结合椭圆的定义求得正确答案.
【详解】
依题意，椭圆方程为，所以，
所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，
根据椭圆的定义可知，
，
所以的最大值为.
故答案为：
18．
设椭圆方程为，根据题目中线段长度的比例关系，以及椭圆的第一定义，可以得到点的坐标的表达式，代入椭圆方程即可求解参数的值
【详解】
如上图所示，设，则根据题意可得：，所以，，所以，且，所以，即，可得：点A为椭圆的上顶点；过点B作轴，所以，，所以B点坐标为
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程得：，解得：，又因为，所以，所以椭圆方程为：
故答案为：
19．．
【详解】
如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，
．
，
，
．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率．
20．（1）；（2）.
（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
（2）由（1）知曲线为，讨论直线的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.
【详解】
（1）由题意，椭圆半焦距且，则，又，
∴椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意：
当直线的斜率存在时，设，又，，三点共线，
可设直线，即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立，得，则，，
∴.
21．（1）；（2）证明见解析，定点.
（1）由题可得a的值，结合离心率求得c，利用平方关系得到b;
（2）当点是椭圆上顶点时，求得直线的方程，椭圆的对称性可知，若直线经过定点，则定点必在轴上，由此得到可能的定点.然后利用方程组联立，韦达定理和向量共线的条件证明，，三点共线，即证得了一般性.
【详解】
（1）由题可得，∴.
又知离心率，所以，则，
所以椭圆的方程为;
（2）当点是椭圆上顶点时，直线的方程为，
可得，则：与联立解得，
所以直线的方程为：，
由椭圆的对称性可知，直线经过：轴上的定点，
所以直线经过定点.
以下证明一般性：
设上任意点，设，,
则直线的方程为：,
联立,
消去得,
由韦达定理得，解得,
因为直线的方程为,
联立,
消去得,
由韦达定理得，解得,
直线经过定点，即，，三点共线.
因为，,
因为,
所以，那么，，三点共线,
所以直线经过定点.
本题考查根据离心率求椭圆的方程，椭圆中的直线过定点问题，属中档题.关键是利用特殊情况和椭圆的对称性先求得直线所过的可能的定点的坐标，然后证明其一般性，证明时常常使用向量共线得方法证明三点共线，可以简化运算过程.
22．（1）或；（2）.
（1）利用题设条件四边形面积为，以及直线与圆相切，列出等量关系，即得解；
（2）设直线，与椭圆联立，，借助韦达定理，可得，令，则分析单调性，即得解.
【详解】
（1）设半焦距为，则即，
又直线与圆相切，
∴，
故，
∴，故，
故，或，，
椭圆方程为或.
（2）较圆的椭圆为
根据题意，直线斜率不为0，设直线，
联立方程得，
令，则
易知单调递增，
所以当时，取最大值，此时.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
5．设为椭圆C:的两个焦点，点P在椭圆C上，若成等差数列，则椭圆C的离心率为（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
9．椭圆上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．6
10．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
12．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
14．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
15．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．P、Q是椭圆C：的动点，则的最大值为__________.
17．已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．
18．已知椭圆的焦点为，，过的直线交于，，若，，则的方程为________．
三、解答题
19．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围．
20．已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．
21．已知椭圆：()的长轴长4，离心率，
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆左，右顶点，已知点为直线：上的动点，直线 与椭圆分别交于 两点，求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标.
22．已知椭圆，点 分别是其左 右焦点，点A B分别为其左 右顶点.若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为，且圆为该四边形的内切圆.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据椭圆方程，解得，然后由椭圆的定义求解.
【详解】
因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
2．C
直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果.
【详解】
解：直角坐标系中，椭圆，
所以，
当时，，
故，整理得，
故选：C.
本题考查的知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
3．A
由椭圆方程判断出焦点位置，求出，从而可得答案.
【详解】
因为椭圆的标准方程为，
所以其焦点在轴上，且，
则，
所以椭圆的焦点坐标是，
故选：A.
4．A
根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.
【详解】
由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以的值为1.
故选：A
5．B
由等差数列及椭圆的性质可得，再由离心率公式即可得解.
【详解】
设，
因为成等差数列，
所以即，
所以椭圆C的离心率.
故选：B.
6．D
分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.
【详解】
由已知可得，，且、、三点不共线，
故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，
由已知可得，得，，则，
因此，点的轨迹方程为.
故选：D.
7．C
分类讨论，，，用表示出离心率，解相应不等式可得的范围．
【详解】
当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得，综上知C正确．
故选：C．
8．A
由椭圆定义求得，已知焦点坐标得，再求出可得椭圆方程．
【详解】
∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
故选：A．
9．D
椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，然后算出即可.
【详解】
椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，所以最大值为.
故选：D
10．B
先求出给定方程表示椭圆的等价条件构成的集合，再与集合比对即可判断得解.
【详解】
方程表示椭圆，则有，解得或，
于是得方程表示椭圆的m取值集合为，
显然，，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
11．B
由椭圆的定义结合勾股定理求出，即可求解
【详解】
由，
得，
又因为，
所以，
由，
得，
所以，
又.
因为椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的方程是.
故选：B.
12．C
由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】
由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB的距离，
又三角形的内切圆的面积为，
则半径为1，
由等面积可得，
.
故选：C.
13．D
根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】
是焦点为、的椭圆上一点，
的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，
，
，，
由题意知是的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，
故选：D．
14．C
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
15．A
延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果.
【详解】
如图，
延长与交于点，则是的角平分线，
由可得与垂直，
可得为等腰三角形，故为的中点，
由于为的中点，
则为的中位线，故，
由于，所以，
所以，
问题转化为求的最值，
而的最小值为，的最大值为，即的值域为，
故当或时，取得最大值为
，
当时，在轴上，此时与重合，
取得最小值为0，又由题意，最值取不到，
所以的取值范围是，
故选：A.
该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.
16．4
根据椭圆中长轴是最长的弦，即可求出结果.
【详解】
由于椭圆中长轴是最长的弦，所以，
故答案为：4.
17．##
结合椭圆的定义求得正确答案.
【详解】
依题意，椭圆方程为，所以，
所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，
根据椭圆的定义可知，
，
所以的最大值为.
故答案为：
18．
设椭圆方程为，根据题目中线段长度的比例关系，以及椭圆的第一定义，可以得到点的坐标的表达式，代入椭圆方程即可求解参数的值
【详解】
如上图所示，设，则根据题意可得：，所以，，所以，且，所以，即，可得：点A为椭圆的上顶点；过点B作轴，所以，，所以B点坐标为
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程得：，解得：，又因为，所以，所以椭圆方程为：
故答案为：
19．．
【详解】
如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，
．
，
，
．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率．
20．（1）；（2）.
（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
（2）由（1）知曲线为，讨论直线的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.
【详解】
（1）由题意，椭圆半焦距且，则，又，
∴椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意：
当直线的斜率存在时，设，又，，三点共线，
可设直线，即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立，得，则，，
∴.
21．（1）；（2）证明见解析，定点.
（1）由题可得a的值，结合离心率求得c，利用平方关系得到b;
（2）当点是椭圆上顶点时，求得直线的方程，椭圆的对称性可知，若直线经过定点，则定点必在轴上，由此得到可能的定点.然后利用方程组联立，韦达定理和向量共线的条件证明，，三点共线，即证得了一般性.
【详解】
（1）由题可得，∴.
又知离心率，所以，则，
所以椭圆的方程为;
（2）当点是椭圆上顶点时，直线的方程为，
可得，则：与联立解得，
所以直线的方程为：，
由椭圆的对称性可知，直线经过：轴上的定点，
所以直线经过定点.
以下证明一般性：
设上任意点，设，,
则直线的方程为：,
联立,
消去得,
由韦达定理得，解得,
因为直线的方程为,
联立,
消去得,
由韦达定理得，解得,
直线经过定点，即，，三点共线.
因为，,
因为,
所以，那么，，三点共线,
所以直线经过定点.
本题考查根据离心率求椭圆的方程，椭圆中的直线过定点问题，属中档题.关键是利用特殊情况和椭圆的对称性先求得直线所过的可能的定点的坐标，然后证明其一般性，证明时常常使用向量共线得方法证明三点共线，可以简化运算过程.
22．（1）或；（2）.
（1）利用题设条件四边形面积为，以及直线与圆相切，列出等量关系，即得解；
（2）设直线，与椭圆联立，，借助韦达定理，可得，令，则分析单调性，即得解.
【详解】
（1）设半焦距为，则即，
又直线与圆相切，
∴，
故，
∴，故，
故，或，，
椭圆方程为或.
（2）较圆的椭圆为
根据题意，直线斜率不为0，设直线，
联立方程得，
令，则
易知单调递增，
所以当时，取最大值，此时.
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