3.2双曲线 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 3.2双曲线 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 946.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-03 21:50:32 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2双曲线 同步练习
一、单选题
1．已知双曲线的左 右焦点分别为，，实轴长为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．焦点在x轴，一条渐近线的方程为，虚轴长为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于
A．6 B．8 C．9 D．10
5．已知双曲线（m≠0）的一个焦点为F（3，0），则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左 右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
9．已知双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点） F（右焦点）的距离相等，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，2） D．
10．已知抛物线（是正常数）上有两点，，焦点，
甲：
乙：
丙：.
丁：以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知双曲线的离心率为，则点到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离是其右顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.
14．已知双曲线：(，)的左 右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为___________.
15．已知双曲线C：（，）的渐近线方程为，若动点P在C的右支上，，分别为C的左，右焦点，的最小值是2a（其中O为坐标原点），则的最小值为___________
16．设 分别是双曲线(，)的左 右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则___________.
17．已知，若圆经过双曲线的焦点，则______．
三、解答题
18．已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左 右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
19．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：
（i）点在定直线上；
（ii）若直线与交于点，则.
20．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为，，实轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，
①求直线与双曲线有两个公共点时，直线的斜率的取值范围；
②设直线与双曲线的交点为、，求当为线段的中点时直线的方程．
21．（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线有公共渐近线，且焦距为的双曲线的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
作出图形，结合双曲线的定义，，则，
所以，进而解出和的值，再由 即可得渐近线方程.
【详解】
因为双曲线的实轴长为，所以，
由双曲线的定义可得：，则，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
如图，与渐近线垂直时，取得最小值，
因为，所以，可得，
所以双曲线的渐近线方程为：，
故选：D.
2．A
根据题意，有双曲线的虚轴长可得的值，有双曲线的焦点位置可得其渐近线方程为，分析可得的值，将、的值代入双曲线的方程即可得答案．
【详解】
解：根据题意，要求双曲线的虚轴长为，即，即，
又由要求双曲线的焦点在轴，其渐近线方程为，
若双曲线的一条渐近线的方程为，即，则，
故要求双曲线的标准方程为，
故选：．
3．B
根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程
【详解】
设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，
故选：B．
本题目比较巧妙的地方在于借助渐近线的倾斜角，得到倾斜角与的关系，结合解三角形的方法来表示三角形的面积，求出的值；题目也可以用渐近线方程直接求解
4．B
直接由双曲线方程求解左焦点和右顶点坐标，进而可得解.
【详解】
由已知得左焦点的坐标为，右顶点的坐标为，
所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
故选：B.
本题主要考查了由双曲线的方程求解焦点及顶点坐标，属于基础题.
5．A
根据双曲线的焦点求出的值，进而可以求出结果.
【详解】
由双曲线方程可知，
且，，则，得，
所以双曲线的方程为，
则渐近线方程为.
故选：A.
6．C
根据双曲线的定义和余弦定理建立关于的方程，从而可得双曲线的离心率．
【详解】
根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，因为，点到直线的距离，
所以，因为，所以，因为，所以，
由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得，整理得，
所以，即离心率.
故选：C.
方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
7．A
由题知顶点坐标为,渐近线方程为:,进而利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
解:由题知双曲线中,,焦点在轴上,
所以顶点坐标为,渐近线方程为:,
由双曲线的对称性,不妨求顶点到渐近线的距离
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为
故选：A
8．A
设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.
【详解】
由题意知，
在中，，可设，则，
由勾股定理可得，
又由得，所以，.
故选：A.
9．D
由题意只需线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点即可，可得，从而得出离心率的取值范围.
【详解】
双曲线的右焦点，
若双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）
F（右焦点）的距离相等，
则线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点，
所以，所以，
所以双曲线的离心率e的取值范围是.
故选：D
10．B
先证明必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，代入抛物线方程得：，计算、、、即可判断甲、乙、丙、丁都是必要条件，再设直线的方程为：，代入抛物线方程得：，由韦达定理验证四个结论成立时，实数的值，即可判断充分性，进而可得正确答案.
【详解】
必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，
代入抛物线方程得：；
由直线上两点，，
则有，
，
，
由
＝，
故：甲、乙、丙、丁都是必要条件，
充分性：设直线方程为：，则直线交轴于点，
抛物线焦点将直线的方程与抛物线方程得：，
由直线上两点，，
对于甲：
若
，
可得，直线不一定经过焦点.所以甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于乙：若，则，直线经过焦点，所以乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；
对于丙：，可得或，直线不一定经过焦点，所以丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于丁：
可得，直线不一定经过焦点.所以丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
综上，只有乙正确，正确的结论有1个.
故选：B
结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
11．C
根据离心率结合得出关系，求得渐近线方程，利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】
由题离心率，即，
又，则，即，
则渐近线方程为，
则点到双曲线C的渐近线的距离为.
故选：C.
12．C
利用双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，分别求得焦点和顶点到渐近线的距离，根据，求得，进而求得，即可求得渐近线方程.
【详解】
由双曲线，可得右顶点，右焦点，
渐近线方程为，即，
则右焦点到渐近线的距离为，
右顶点到渐近线的距离为，
根据题意，可得，即，即，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
13．
设点的坐标为，根据可得点的轨迹为双曲线.
【详解】
设点的坐标为
因为
所以点的轨迹为焦点在轴的双曲线
且
所以
所以点的轨迹方程为：
故答案为：
14．
解法一：根据已知可得，而可得，进而利用等面积法可得，再根据向量关系可得点的横坐标，将点的坐标代入双曲线方程，解方程即可求得结果；
解法二：设为坐标原点，根据题意可得，根据设及可得，再根据相似比可得，又根据勾股定理可得，最后根据双曲线定义即可求得结果.
【详解】
解法一：由题意知，，
所以.
设，则，所以，
因为，所以，
将代入双曲线方程，整理得，
解得或，
因为，所以.
解法二：设为坐标原点，由题易得，所以，
设，因为，所以，
则，得.
又，所以，
所以，得，
所以.
故答案为：.
15．8
根据的最小值是2a可得，进而结合渐近线方程可得方程组，进而求出的值，然后设，借助双曲线的定义可得，利用均值不等式即可求出结果.
【详解】
设，且，，则,，因此，当时，取得最小值，且最小值为，即，
所以，解得，，
设（），则，
所以，（当即时取等号），
即的最小值为8.
故答案为：8
16．
设双曲线的半焦距为，求得双曲线的渐近线方程可得，，的关系，求出的三条边，运用余弦定理可求值．
【详解】
设双曲线的半焦距为，
由双曲线的渐近线方程，可得，
则，
在中，，，
由余弦定理可得
．
故答案为：．
关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.
17．
求双曲线的焦点，代入圆的方程，即可求得的值.
【详解】
双曲线的焦点坐标是，代入圆的方程，
得，，，
解得：.
故答案为：
18．(1)
(2)
（1）根据双曲线右焦点为，且，由求解；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，求得，与双曲线C的渐近线方程联立，求得，根据求解.
(1)
解：由题意得，
解得
故C的方程为.
(2)
显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故，
解得，
此时有.
，
，
由，解得，同理可得，
所以.
因为，故.
因为，故，
故实数的取值范围是.
19．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
（1）根据复数模的计算公式，由题中条件，得到，再由双曲线的定义，即可得出结果；
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，得到，，表示出直线与的方程，两直线方程联立，求出交点横坐标为定值，即可证明结论成立；
（ii）先同理得到点也在定直线上，设，， 代入（i）中直线与的方程，得出，再计算，即证结论成立.
【详解】
（1）由题意可知：，
所以点到点与到点的距离之差为2，且，
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设其方程为，其中，，
所以，，
所以，所以曲线的方程为.
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，.
联立，消去，可得，
由题意知且，
所以，.
直线：，直线：①，
由于点在曲线上，可知，所以，
所以直线：②.
联立①②，消去可得，
即，
所以，
所以，所以，
所以点在定直线上.
（ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上.
设，，
由于在直线：上，在直线：上，
所以，，
所以
，
又因为，，
所以，所以.
思路点睛：
求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时，一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系时，从而可确定结果（一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）.
20．（1）；（2）①；②．
（1）由题意可知双曲线得焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，解方程组即可求出结果；
（2）①首先检验斜率不存在是否成立，斜率存在时，设出直线得方程与双曲线联立，解不等式，注意考虑与渐近线平行时的情况，即可求出结果；
①结合韦达定理以及中点坐标公式即可求出结果.
【详解】
（1）由题意可知双曲线得焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意可得，解得，双曲线的标准方程为．
（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为，显然成立，
当斜率存在时，设直线方程为，
则，化简可得，
因为有两个公共点，
所以，
解得或，
由于当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，所以，
因此直线的斜率的取值范围；
②直线斜率不存在时，则由双曲线对称性，线段的中点在轴上，所以不满足题意；
设，，由①得，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，由①知符合题意，
所以直线方程为，即．
求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
21．（1）或；（2）或.
（1）根据题意求出的值进而可以直接写出椭圆的方程；
（2）设所求双曲线的标准方程为，进而求出的值，化成标准方程即可.
【详解】
（1）由长轴长知：，∴，
由焦距知：，∴，解得：，
∴椭圆标准方程为：或；
（2）与双曲线有公共渐近线的双曲线可设为，
即为.
当焦点在轴上时，，，，
此时双曲线方程为.
当焦点在轴上时，，，，
此时双曲线方程为.
综上：双曲线的标准方程为或.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知双曲线的左 右焦点分别为，，实轴长为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．焦点在x轴，一条渐近线的方程为，虚轴长为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于
A．6 B．8 C．9 D．10
5．已知双曲线（m≠0）的一个焦点为F（3，0），则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左 右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
9．已知双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点） F（右焦点）的距离相等，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，2） D．
10．已知抛物线（是正常数）上有两点，，焦点，
甲：
乙：
丙：.
丁：以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知双曲线的离心率为，则点到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离是其右顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.
14．已知双曲线：(，)的左 右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为___________.
15．已知双曲线C：（，）的渐近线方程为，若动点P在C的右支上，，分别为C的左，右焦点，的最小值是2a（其中O为坐标原点），则的最小值为___________
16．设 分别是双曲线(，)的左 右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则___________.
17．已知，若圆经过双曲线的焦点，则______．
三、解答题
18．已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左 右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
19．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：
（i）点在定直线上；
（ii）若直线与交于点，则.
20．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为，，实轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，
①求直线与双曲线有两个公共点时，直线的斜率的取值范围；
②设直线与双曲线的交点为、，求当为线段的中点时直线的方程．
21．（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线有公共渐近线，且焦距为的双曲线的方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
作出图形，结合双曲线的定义，，则，
所以，进而解出和的值，再由 即可得渐近线方程.
【详解】
因为双曲线的实轴长为，所以，
由双曲线的定义可得：，则，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
如图，与渐近线垂直时，取得最小值，
因为，所以，可得，
所以双曲线的渐近线方程为：，
故选：D.
2．A
根据题意，有双曲线的虚轴长可得的值，有双曲线的焦点位置可得其渐近线方程为，分析可得的值，将、的值代入双曲线的方程即可得答案．
【详解】
解：根据题意，要求双曲线的虚轴长为，即，即，
又由要求双曲线的焦点在轴，其渐近线方程为，
若双曲线的一条渐近线的方程为，即，则，
故要求双曲线的标准方程为，
故选：．
3．B
根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程
【详解】
设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，
故选：B．
本题目比较巧妙的地方在于借助渐近线的倾斜角，得到倾斜角与的关系，结合解三角形的方法来表示三角形的面积，求出的值；题目也可以用渐近线方程直接求解
4．B
直接由双曲线方程求解左焦点和右顶点坐标，进而可得解.
【详解】
由已知得左焦点的坐标为，右顶点的坐标为，
所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
故选：B.
本题主要考查了由双曲线的方程求解焦点及顶点坐标，属于基础题.
5．A
根据双曲线的焦点求出的值，进而可以求出结果.
【详解】
由双曲线方程可知，
且，，则，得，
所以双曲线的方程为，
则渐近线方程为.
故选：A.
6．C
根据双曲线的定义和余弦定理建立关于的方程，从而可得双曲线的离心率．
【详解】
根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，因为，点到直线的距离，
所以，因为，所以，因为，所以，
由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得，整理得，
所以，即离心率.
故选：C.
方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
7．A
由题知顶点坐标为,渐近线方程为:,进而利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
解:由题知双曲线中,,焦点在轴上,
所以顶点坐标为,渐近线方程为:,
由双曲线的对称性,不妨求顶点到渐近线的距离
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为
故选：A
8．A
设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.
【详解】
由题意知，
在中，，可设，则，
由勾股定理可得，
又由得，所以，.
故选：A.
9．D
由题意只需线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点即可，可得，从而得出离心率的取值范围.
【详解】
双曲线的右焦点，
若双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）
F（右焦点）的距离相等，
则线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点，
所以，所以，
所以双曲线的离心率e的取值范围是.
故选：D
10．B
先证明必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，代入抛物线方程得：，计算、、、即可判断甲、乙、丙、丁都是必要条件，再设直线的方程为：，代入抛物线方程得：，由韦达定理验证四个结论成立时，实数的值，即可判断充分性，进而可得正确答案.
【详解】
必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，
代入抛物线方程得：；
由直线上两点，，
则有，
，
，
由
＝，
故：甲、乙、丙、丁都是必要条件，
充分性：设直线方程为：，则直线交轴于点，
抛物线焦点将直线的方程与抛物线方程得：，
由直线上两点，，
对于甲：
若
，
可得，直线不一定经过焦点.所以甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于乙：若，则，直线经过焦点，所以乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；
对于丙：，可得或，直线不一定经过焦点，所以丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于丁：
可得，直线不一定经过焦点.所以丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
综上，只有乙正确，正确的结论有1个.
故选：B
结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
11．C
根据离心率结合得出关系，求得渐近线方程，利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】
由题离心率，即，
又，则，即，
则渐近线方程为，
则点到双曲线C的渐近线的距离为.
故选：C.
12．C
利用双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，分别求得焦点和顶点到渐近线的距离，根据，求得，进而求得，即可求得渐近线方程.
【详解】
由双曲线，可得右顶点，右焦点，
渐近线方程为，即，
则右焦点到渐近线的距离为，
右顶点到渐近线的距离为，
根据题意，可得，即，即，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
13．
设点的坐标为，根据可得点的轨迹为双曲线.
【详解】
设点的坐标为
因为
所以点的轨迹为焦点在轴的双曲线
且
所以
所以点的轨迹方程为：
故答案为：
14．
解法一：根据已知可得，而可得，进而利用等面积法可得，再根据向量关系可得点的横坐标，将点的坐标代入双曲线方程，解方程即可求得结果；
解法二：设为坐标原点，根据题意可得，根据设及可得，再根据相似比可得，又根据勾股定理可得，最后根据双曲线定义即可求得结果.
【详解】
解法一：由题意知，，
所以.
设，则，所以，
因为，所以，
将代入双曲线方程，整理得，
解得或，
因为，所以.
解法二：设为坐标原点，由题易得，所以，
设，因为，所以，
则，得.
又，所以，
所以，得，
所以.
故答案为：.
15．8
根据的最小值是2a可得，进而结合渐近线方程可得方程组，进而求出的值，然后设，借助双曲线的定义可得，利用均值不等式即可求出结果.
【详解】
设，且，，则,，因此，当时，取得最小值，且最小值为，即，
所以，解得，，
设（），则，
所以，（当即时取等号），
即的最小值为8.
故答案为：8
16．
设双曲线的半焦距为，求得双曲线的渐近线方程可得，，的关系，求出的三条边，运用余弦定理可求值．
【详解】
设双曲线的半焦距为，
由双曲线的渐近线方程，可得，
则，
在中，，，
由余弦定理可得
．
故答案为：．
关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.
17．
求双曲线的焦点，代入圆的方程，即可求得的值.
【详解】
双曲线的焦点坐标是，代入圆的方程，
得，，，
解得：.
故答案为：
18．(1)
(2)
（1）根据双曲线右焦点为，且，由求解；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，求得，与双曲线C的渐近线方程联立，求得，根据求解.
(1)
解：由题意得，
解得
故C的方程为.
(2)
显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故，
解得，
此时有.
，
，
由，解得，同理可得，
所以.
因为，故.
因为，故，
故实数的取值范围是.
19．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
（1）根据复数模的计算公式，由题中条件，得到，再由双曲线的定义，即可得出结果；
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，得到，，表示出直线与的方程，两直线方程联立，求出交点横坐标为定值，即可证明结论成立；
（ii）先同理得到点也在定直线上，设，， 代入（i）中直线与的方程，得出，再计算，即证结论成立.
【详解】
（1）由题意可知：，
所以点到点与到点的距离之差为2，且，
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设其方程为，其中，，
所以，，
所以，所以曲线的方程为.
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，.
联立，消去，可得，
由题意知且，
所以，.
直线：，直线：①，
由于点在曲线上，可知，所以，
所以直线：②.
联立①②，消去可得，
即，
所以，
所以，所以，
所以点在定直线上.
（ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上.
设，，
由于在直线：上，在直线：上，
所以，，
所以
，
又因为，，
所以，所以.
思路点睛：
求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时，一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系时，从而可确定结果（一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）.
20．（1）；（2）①；②．
（1）由题意可知双曲线得焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，解方程组即可求出结果；
（2）①首先检验斜率不存在是否成立，斜率存在时，设出直线得方程与双曲线联立，解不等式，注意考虑与渐近线平行时的情况，即可求出结果；
①结合韦达定理以及中点坐标公式即可求出结果.
【详解】
（1）由题意可知双曲线得焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意可得，解得，双曲线的标准方程为．
（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为，显然成立，
当斜率存在时，设直线方程为，
则，化简可得，
因为有两个公共点，
所以，
解得或，
由于当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，所以，
因此直线的斜率的取值范围；
②直线斜率不存在时，则由双曲线对称性，线段的中点在轴上，所以不满足题意；
设，，由①得，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，由①知符合题意，
所以直线方程为，即．
求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
21．（1）或；（2）或.
（1）根据题意求出的值进而可以直接写出椭圆的方程；
（2）设所求双曲线的标准方程为，进而求出的值，化成标准方程即可.
【详解】
（1）由长轴长知：，∴，
由焦距知：，∴，解得：，
∴椭圆标准方程为：或；
（2）与双曲线有公共渐近线的双曲线可设为，
即为.
当焦点在轴上时，，，，
此时双曲线方程为.
当焦点在轴上时，，，，
此时双曲线方程为.
综上：双曲线的标准方程为或.
答案第1页，共2页
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